「学习笔记」树链剖分

yi_fan03052023-09-21 20:58

树链剖分用于将树分割成若干条链的形式，以维护树上路径的信息。

具体来说，将整棵树剖分为若干条链，使它组合成线性结构，然后用其他的数据结构维护信息。

树链剖分有很多种形式，本文要讲的是其中的轻重链剖分。

树链剖分本质上就是把链从树上砍下来，然后放到树状数组或线段树上来维护。

轻重链剖分

我们给出一些定义：

定义 重子节点 表示其子节点中 子树最大 的子结点。如果有多个子树最大的子结点，取其一。如果没有子节点，就无重子节点。

定义 轻子节点 表示剩余的所有子结点。

从这个结点到重子节点的边为 重边。

到其他轻子节点的边为 轻边。

若干条首尾衔接的重边构成 重链。

把落单的结点也当作重链，那么整棵树就被剖分成若干条重链。

如图:

图片来自 \(\texttt{OI-Wiki}\)。

实现

要进行树链剖分，得先有一棵树，通过一个 dfs 来得到所有的子树大小、重儿子以及每个结点的深度。

cpp 复制代码 
void dfs(int u, int fat) {
    siz[u] = 1;
    fa[u] = fat;
    dep[u] = dep[fat] + 1;
    for (int v : e[u]) {
        if (v == fat)   continue ;
        dfs(v, u);
        siz[u] += siz[v];
        if (siz[v] > siz[son[u]]) {
            son[u] = v;
        }
    }
}

得到这些信息后，我们就要把树分成好多的链，通过另一个 dfs 来确定好链顶，有时我们要用线段树或树状数组来维护这些链，所以可能还要维护在线段树上的位置（dfs 序）等信息。

cpp 复制代码 
void getpos(int u, int top) {
    dfn[u] = ++ tim; // 在线段树上的位置 （dfs 序）
    pos[tim] = u; // 线段树这个位置所代表的节点
    tp[u] = top; // 链顶
    if (!son[u])    return ;
    getpos(son[u], top); // 优先跑重儿子
    for (int v : e[u]) {
        if (v == fa[u] || v == son[u])  continue ;
        getpos(v, v); // 轻儿子再单独分链
    }
}

到这里，处理部分就完成了，接下来就是根据题目来对这些链进行处理了，可以使用线段树、树状数组等数据结构来维护链的信息，也可以利用跳链顶的优秀复杂度求 LCA 等。

例题

P3384 【模板】重链剖分/树链剖分 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

模板题。

要求我们对链上节点的权值进行修改、求和，以及对子树内的所有节点进行修改、求和，我们使用线段树来进行维护。

对于链上的操作，由于我们已经把链都摆在了线段树上，所以只需要对线段树进行区间操作即可。对于子树的操作，根据 dfs 序的性质，一棵子树在 dfs 序上的范围是 \([dfn_{rt}, dfn_{rt} + siz_{rt} - 1]\)，对这个区间进行区间操作即可。

cpp 复制代码 
void Modify(int x, int y, ll z) {
    while (tp[x] != tp[y]) {
        if (dep[tp[x]] < dep[tp[y]]) {
            swap(x, y);
        }
        modify(1, 1, n, dfn[tp[x]], dfn[x], z);
        x = fa[tp[x]];
    }
    if (dep[x] > dep[y]) {
        swap(x, y);
    }
    modify(1, 1, n, dfn[x], dfn[y], z);
    return ;
}

ll Query(int x, int y) {
    ll ans = 0;
    while (tp[x] != tp[y]) {
        if (dep[tp[x]] < dep[tp[y]]) {
            swap(x, y);
        }
        ans = (ans + query(1, 1, n, dfn[tp[x]], dfn[x])) % mod;
        x = fa[tp[x]];
    }
    if (dep[x] > dep[y]) {
        swap(x, y);
    }
    ans = (ans + query(1, 1, n, dfn[x], dfn[y])) % mod;
    return ans;
}

这两段代码就是跳链的过程，可以这样理解一下，如果两个节点的链顶不相同，说明他们不在同一条链中，我们让链顶深度大的节点向上跳（这样可以防止跳过头），在跳之前，先对这段链的信息进行修改维护，也就是 Modify 中的 modify 函数和 Query 中的 query 函数，然后，跳到这个链顶的父亲，离开这条链，以此继续，直到这两个节点链顶一样时（即在同一条链上时），对这两个节点之间的链进行操作，退出函数。

cpp 复制代码 
// The code was written by yifan, and yifan is neutral!!!

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define bug puts("NOIP rp ++!");
#define rep(i, a, b, c) for (int i = (a); i <= (b); i += (c))
#define per(i, a, b, c) for (int i = (a); i >= (b); i -= (c))
#define Mod(x) ((x) >= mod ? (x) %= mod : (x))

template<typename T>
inline T read() {
    T x = 0;
    bool fg = 0;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') {
        fg |= (ch == '-');
        ch = getchar();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    return fg ? ~x + 1 : x;
}

const int N = 1e5 + 5;

int n, m, rt, mod, tim;
int val[N], siz[N], son[N], fa[N];
int dfn[N], pos[N], tp[N], dep[N];
vector<int> e[N];

struct seg {
    int len;
    ll val, tag;
} t[N << 2];

void dfs(int u, int fat) {
    siz[u] = 1;
    fa[u] = fat;
    dep[u] = dep[fat] + 1;
    for (int v : e[u]) {
        if (v == fat)   continue ;
        dfs(v, u);
        siz[u] += siz[v];
        if (siz[v] > siz[son[u]]) {
            son[u] = v;
        }
    }
}

void getpos(int u, int top) {
    dfn[u] = ++ tim;
    pos[tim] = u;
    tp[u] = top;
    if (!son[u])    return ;
    getpos(son[u], top);
    for (int v : e[u]) {
        if (v == fa[u] || v == son[u])  continue ;
        getpos(v, v);
    }
}

#define ls (u << 1)
#define rs (u << 1 | 1)
#define mid ((l + r) >> 1)

void pushup(int u) {
    t[u].val = (t[ls].val + t[rs].val) % mod;
}

void pushdown(int u, int l, int r) {
    if (!t[u].tag)  return ;
    if (l == r) {
        t[u].tag = 0;
        return ;
    }
    t[ls].tag = (t[ls].tag + t[u].tag) % mod;
    t[ls].val = (t[ls].val + t[u].tag * t[ls].len % mod) % mod;
    t[rs].tag = (t[rs].tag + t[u].tag) % mod;
    t[rs].val = (t[rs].val + t[u].tag * t[rs].len % mod) % mod;
    t[u].tag = 0;
    return ;
}

void build(int u, int l, int r) {
    t[u].tag = 0;
    t[u].len = r - l + 1;
    if (l == r) {
        t[u].val = val[pos[l]];
        return ;
    }
    build(ls, l, mid);
    build(rs, mid + 1, r);
    pushup(u);
}

void modify(int u, int l, int r, int lr, int rr, ll v) {
    if (lr <= l && r <= rr) {
        t[u].tag = (t[u].tag + v) % mod;
        t[u].val = (t[u].val + (t[u].len * v) % mod) % mod;
        return ;
    }
    pushdown(u, l, r);
    if (lr <= mid) {
        modify(ls, l, mid, lr, rr, v);
    }
    if (rr > mid) {
        modify(rs, mid + 1, r, lr, rr, v);
    }
    pushup(u);
}

void Modify(int x, int y, ll z) {
    while (tp[x] != tp[y]) {
        if (dep[tp[x]] < dep[tp[y]]) {
            swap(x, y);
        }
        modify(1, 1, n, dfn[tp[x]], dfn[x], z);
        x = fa[tp[x]];
    }
    if (dep[x] > dep[y]) {
        swap(x, y);
    }
    modify(1, 1, n, dfn[x], dfn[y], z);
    return ;
}

ll query(int u, int l, int r, int lr, int rr) {
    if (lr <= l && r <= rr) {
        return t[u].val;
    }
    pushdown(u, l, r);
    ll ans = 0;
    if (lr <= mid) {
        ans = (ans + query(ls, l, mid, lr, rr)) % mod;
    }
    if (rr > mid) {
        ans = (ans + query(rs, mid + 1, r, lr, rr)) % mod;
    }
    return ans;
}

ll Query(int x, int y) {
    ll ans = 0;
    while (tp[x] != tp[y]) {
        if (dep[tp[x]] < dep[tp[y]]) {
            swap(x, y);
        }
        ans = (ans + query(1, 1, n, dfn[tp[x]], dfn[x])) % mod;
        x = fa[tp[x]];
    }
    if (dep[x] > dep[y]) {
        swap(x, y);
    }
    ans = (ans + query(1, 1, n, dfn[x], dfn[y])) % mod;
    return ans;
}

#undef ls
#undef rs
#undef mid

int main() {
    n = read<int>(), m = read<int>();
    rt = read<int>(), mod = read<int>();
    rep (i, 1, n, 1) {
        val[i] = read<int>();
    }
    int x, y;
    rep (i, 1, n - 1, 1) {
        x = read<int>(), y = read<int>();
        e[x].emplace_back(y);
        e[y].emplace_back(x);
    }
    dfs(rt, 0);
    getpos(rt, rt);
    build(1, 1, n);
    int op, z;
    rep (i, 1, m, 1) {
        op = read<int>(), x = read<int>();
        if (op == 1) {
            y = read<int>(), z = read<ll>();
            Modify(x, y, z);
        }
        if (op == 2) {
            y = read<int>();
            cout << Query(x, y) % mod << '\n';
        }
        if (op == 3) {
            z = read<ll>();
            modify(1, 1, n, dfn[x], dfn[x] + siz[x] - 1, z);
        }
        if (op == 4) {
            cout << query(1, 1, n, dfn[x], dfn[x] + siz[x] - 1) % mod << '\n';
        }
    }
    return 0;
}

P4211 [LNOI2014] LCA - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

询问 LCA 的深度，其实就是在树上差分 中，一个节点权值 \(+ 1\)，另一个点求该节点到根节点的路径和。在树链剖分 中，就是将根节点到一个节点这条链上所有的点 \(+ 1\)，另一个节点求该节点到根节点的路径的权值和。

可以经询问进行离线处理，离线来完成这道题，具体看代码。

cpp 复制代码 
//The code was written by yifan, and yifan is neutral!!!

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define bug puts("NOIP rp ++!");
#define lowbit(x) (x & (-x))
#define ls (u << 1)
#define rs (u << 1 | 1)
#define mid ((l + r) >> 1)

template<typename T>
inline T read() {
    T x = 0;
    bool fg = 0;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') {
        fg |= (ch == '-');
        ch = getchar();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    return fg ? ~x + 1 : x;
}

const int N = 5e4 + 5;
const int mod = 201314;

int n, m;
int fa[N], dep[N], siz[N], son[N], tp[N], pos[N];
int dfn[N];
vector<int> e[N];

struct ask {
    int be, R, z;
    bool fg;

    int operator < (const ask& b) const {
        return R < b.R;
    }
} xunwen[N << 1];

struct seg {
    int val, tag;

    seg operator + (const seg& b) {
        seg& a = *this, res;
        res.val = (a.val + b.val) % mod;
        return res;
    }
} t[N << 2];

struct ANS {
    ll ans1, ans2;
} ans[N << 1];

void dfs(int u) {
    siz[u] = 1;
    dep[u] = dep[fa[u]] + 1;
    for (int v : e[u]) {
        if (v == fa[u]) continue ;
        dfs(v);
        siz[u] += siz[v];
        if (siz[v] > siz[son[u]]) {
            son[u] = v;
        }
    }
}

void gettop(int u, int Top) {
    static int t = 0;
    tp[u] = Top;
    dfn[u] = ++ t;
    pos[t] = u;
    if (!son[u])    return ;
    gettop(son[u], Top);
    for (int v : e[u]) {
        if (v == fa[u] || v == son[u]) continue ;
        gettop(v, v);
    }
}

void color(int u, int l, int r, int co) {
    t[u].val = (t[u].val + (r - l + 1) * co) % mod;
    if (l < r) {
        t[u].tag = (t[u].tag + co) % mod;
    }
}

void pushdown(int u, int l, int r) {
    if (t[u].tag && l < r) {
        color(ls, l, mid, t[u].tag);
        color(rs, mid + 1, r, t[u].tag);
    }
    t[u].tag = 0;
}

void modify(int u, int l, int r, int lr, int rr) {
    if (lr <= l && r <= rr) {
        color(u, l, r, 1);
        return ;
    }
    pushdown(u, l, r);
    if (lr <= mid) {
        modify(ls, l, mid, lr, rr);
    }
    if (rr > mid) {
        modify(rs, mid + 1, r, lr, rr);
    }
    t[u] = t[ls] + t[rs];
}

void Modify(int x, int y) {
    while (tp[x] != tp[y]) {
        if (dep[tp[x]] < dep[tp[y]]) {
            swap(x, y);
        }
        modify(1, 1, n, dfn[tp[x]], dfn[x]);
        x = fa[tp[x]];
    }
    if (dep[x] > dep[y]) {
        swap(x, y);
    }
    modify(1, 1, n, dfn[x], dfn[y]);
}

ll query(int u, int l, int r, int lr, int rr) {
    if (lr <= l && r <= rr) {
        return t[u].val;
    }
    pushdown(u, l, r);
    ll ans = 0;
    if (lr <= mid) {
        ans += query(ls, l, mid, lr, rr);
    }
    if (rr > mid) {
        ans += query(rs, mid + 1, r, lr, rr);
    }
    return ans % mod;
}

ll Query(int x, int y) {
    ll ans = 0;
    while (tp[x] != tp[y]) {
        if (dep[tp[x]] < dep[tp[y]]) {
            swap(x, y);
        }
        ans += query(1, 1, n, dfn[tp[x]], dfn[x]);
        x = fa[tp[x]];
    }
    if (dep[x] > dep[y]) {
        swap(x, y);
    }
    ans += query(1, 1, n, dfn[x], dfn[y]);
    return ans % mod;
}

int main() {
    n = read<int>(), m = read<int>();
    for (int i = 2; i <= n; ++ i) {
        fa[i] = read<int>() + 1;
        e[fa[i]].emplace_back(i);
        e[i].emplace_back(fa[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= m; ++ i) {
        int l = read<int>(), r = read<int>() + 1, z = read<int>() + 1;
        xunwen[i] = ask{i, l, z, 0};
        xunwen[i + m] = ask{i, r, z, 1};
    }
    dep[1] = 1;
    dfs(1);
    gettop(1, 1);
    m <<= 1;
    sort(xunwen + 1, xunwen + m + 1, [](ask& a, ask& b) {
        return a.R < b.R;
    });
    int now = 0;
    for (int i = 1; i <= m; ++ i) {
        while (now < xunwen[i].R) {
            Modify(1, ++ now);
        }
        int j = xunwen[i].be;
        if (xunwen[i].fg) {
            ans[j].ans1 = Query(1, xunwen[i].z);
        } else {
            ans[j].ans2 = Query(1, xunwen[i].z);
        }
    }
    m >>= 1;
    for (int i = 1; i <= m; ++ i) {
        printf("%lld\n", (ans[i].ans1 - ans[i].ans2 + mod) % mod);
    }
    return 0;
}

P4216 [SCOI2015] 情报传递 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

这个题就是树链剖分与树状数组的搭配，由于风险值会随着时间变化，风险值有一个限度，我们可以利用当前时间减去风险值来得到一个时间节点，在这个时间节点之前开始搜集情报的人就会产生威胁。

由于只是对一条链产生威胁，所以可以使用差分，用树状数组来维护。

cpp 复制代码 
//The code was written by yifan, and yifan is neutral!!!

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define bug puts("NOIP rp ++!");
#define lowbit(x) (x & (-x))

template<typename T>
inline T read() {
    T x = 0;
    bool fg = 0;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') {
        fg |= (ch == '-');
        ch = getchar();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    return fg ? ~x + 1 : x;
}

const int N = 2e5 + 5;

int n, q, rt, tot;
int fa[N], dep[N], siz[N], son[N], tp[N];
int opt[N], X[N], Y[N], L[N], R[N];
ll t[N], ans[N];
vector<int> e[N], tim[N];

void dfs(int u) {
    L[u] = ++ tot;
    dep[u] = dep[fa[u]] + 1;
    siz[u] = 1;
    for (int &v : e[u]) {
        dfs(v);
        siz[u] += siz[v];
        if (siz[v] > siz[son[u]]) {
            son[u] = v;
        }
    }
    R[u] = tot;
}

void gettop(int u, int Top) {
    tp[u] = Top;
    if (!son[u]) return ;
    gettop(son[u], Top);
    for (int v : e[u]) {
        if (v == son[u])    continue ;
        gettop(v, v);
    }
}

int Lca(int x, int y) {
    while (tp[x] ^ tp[y]) {
        if (dep[tp[x]] < dep[tp[y]]) {
            swap(x, y);
        }
        x = fa[tp[x]];
    }
    if (dep[x] > dep[y]) {
        swap(x, y);
    }
    return x;
}

void modify(int x, int v) {
    while (x <= n) {
        t[x] += v;
        x += lowbit(x);
    }
}

ll query(int x) {
    ll ans = 0;
    while (x) {
        ans += t[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return ans;
}

ll Query(int x, int y) {
    int lca = Lca(x, y);
    return query(L[x]) + query(L[y]) - query(L[lca]) - query(L[fa[lca]]);
}

int dis(int x, int y) {
    int lca = Lca(x, y);
    return dep[x] + dep[y] - 2 * dep[lca] + 1;
}

int main() {
    n = read<int>();
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
        fa[i] = read<int>();
        e[fa[i]].emplace_back(i);
    }
    for (rt = 1; fa[rt]; rt = fa[rt]);
    dfs(rt);
    gettop(rt, rt);
    q = read<int>();
    for (int i = 1; i <= q; ++ i) {
        opt[i] = read<int>();
        if (opt[i] == 1) {
            X[i] = read<int>(), Y[i] = read<int>();
            int c = read<int>();
            if (c < i) {
                tim[i - c - 1].emplace_back(i);
            }
        } else {
            X[i] = read<int>();
        }
    }
    for (int i = 1; i <= q; ++ i) {
        if (opt[i] == 2) {
            modify(L[X[i]], 1);
            modify(R[X[i]] + 1, -1);
        } 
        for (int &j : tim[i]) {
            ans[j] = Query(X[j], Y[j]);
        }
        if (opt[i] == 1) {
            printf("%d %lld\n", dis(X[i], Y[i]), ans[i]);
        }
    }
    return 0;
}
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