Johnson 全源最短路
Johnson 和 Floyd 一样是能求出无负环图上任意两点间最短路径的算法。
引入
求任意两点间的最短路可以通过枚举起点，跑 \(n\) 次 SPFA 来解决，时间复杂度是 \(O(n^2 m)\) 的，也可以用 Floyd 解决，复杂度为 \(O(n^3)\)。
或者我们可以跑 \(n\) 次堆优化的 Dijkstra，复杂度为 \(O(nm\log m)\)。
但是 Dijkstra 有一个致命的缺陷就是他不能处理负边权。
我们不难想到来修改边权使其为正数。
核心思想
我们新建一个虚拟的节点，假设他的编号为 \(0\)，从这个点向其他所有点连一条边权为 \(0\) 的边。
接下来我们跑一遍 SPFA，求出零号点到所有点的最短路记为 \(h_{i}\)，顺便判断一下有没有负环。
如果存在一条边 \((u,v,w)\)，我们将其修改为 \((u,v, w+h_{i}-h_{v})\)。
接下来以每一个点为起点跑 \(n\) 边 Dijkstra 就好了。
复杂度为 \(O(nm \log m)\)
正确性
我们考虑找到从 \(s\) 到 \(t\) 的一条路径为：
\[s\to p1 \to p2 \to \dots \to pk \to t \]
那么这条路径的长度就是：
\[(w(s,p1)+h_{s} - h_{p1}) + (w(p1,p2) + h_{p1}-h_{p2}) + \dots + (w(pk, t) + h_{pk} - h_{t}) \]
展开就是：
\[w(s, p1) + w(p1,p2) + \dots + w(pk,t) + h_{s} - h_{t} \]
所以无论怎么走，只要是 \(s\to t\) 的一条最短路径，那么最后就是比原答案多了 \(h_{s}-h_{t}\)。
Q：你说的对，但是为什么能保证修改后的边权都是非负数？
根据 \(h_{v}\le h_{u} + w(u,v)\)，稍微变化一下就是 \(h_{u} + w(u,v) - h_{v} \ge 0\)，所以图中的边权均为非负。
code
cpp
#include <bits/stdc++.h>
#define pii pair<int, int>
#define INF 1000000000
#define int long long
#define N 10010
#define endl '\n'
using namespace std;
inline int read()
{
int x = 0, f = 1;
char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9'){if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
while(c <= '9' && c >= '0') x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48), c = getchar();
return x * f;
}
int n, m, t, head[N], vis[N], cnt[N], h[N], d[N], tot;
struct node{int v, next, w;}e[N << 4];
inline void add(int u, int v, int w){e[++ tot] = (node){v, head[u], w}; head[u] = tot;}
inline int spfa(int s)
{
queue<int> q;
memset(vis, 0, sizeof vis);
for(int i = 1; i <= n; i ++) h[i] = INF;
h[s] = 0;
vis[s] = 1;
q.push(s);
while(!q.empty())
{
int u = q.front();
q.pop();
vis[u] = 0;
for(int i = head[u]; i; i = e[i].next)
{
int v = e[i].v, w = e[i].w;
if(h[v] > h[u] + w)
{
h[v] = h[u] + w;
if(!vis[v])
{
vis[v] = 1;
cnt[v] ++;
q.push(v);
if(cnt[v] == n + 1) return 0;
}
}
}
}
return 1;
}
inline void dijkstra(int s)
{
priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii> > q;
memset(vis, 0, sizeof vis);
for(int i = 1; i <= n; i ++)d[i] = INF;
d[s] = 0;
q.push({0, s});
while(!q.empty())
{
int u = q.top().second;
q.pop();
if(vis[u]) continue ;
vis[u] = 1;
for(int i = head[u]; i; i = e[i].next)
{
int v = e[i].v, w = e[i].w;
if(d[v] <= d[u] + w) continue;
d[v] = d[u] + w;
q.push({d[v], v});
}
}
return ;
}
signed main()
{
n = read(), m = read();
for(int i = 1; i <= n; i ++) add(0, i, 0);
for(int i = 1; i <= m; i ++)
{
int u = read(), v = read(), w = read();
add(u, v, w);
}
if(!spfa(0)) return cout << "-1" << endl, 0;//负环输出0
for(int u = 1; u <= n; u ++)
for(int i = head[u]; i; i = e[i].next)
e[i].w += h[u] - h[e[i].v];//修改边权
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
dijkstra(i);
int ans = 0;
for(int j = 1; j <= n; j ++)
{
if(d[j] == INF) ans += j * INF;
else ans += j * (d[j] + h[j] - h[i]);
}
cout << ans << endl;
}
return 0;
}