尝鲜 GPT-4 之后，陶哲轩又用上了 Github Copilot。
这一次，他的试用场景是学习 Lean 语言并利用其形式化数学定理。
对于大模型来说，形式化的定理证明也算一种挑战。形式化证明本质上是一种计算机程序，但与 C++ 或 Python 中的传统程序不同，证明的正确性可以用证明助手（比如 Lean 语言）来验证。定理证明是代码生成的一种特殊形式，在评估上非常严格，没有让模型产生幻觉的空间。
而陶哲轩提到的定理，来自 10 月 9 日的一篇论文：
论文中的这个证明只有不到一页，但陶哲轩的形式化证明使用了 200 行 Lean 语言。
举例来说，在论文中，陶哲轩只是断言对于任意 a>0 的情况，
在实数上是凸的，因为这是一个常规的微积分练习，然后调用了 Jensen 不等式，但写出所有细节用了大约 50 行代码。
陶哲轩表示，Github copilot 能够正确预测各种例行验证的多行代码，并从定理的名字等线索中推断出他想要的方向，这种能力是「不可思议」的。
Lean 的「重写」策略是不可或缺的，它可以通过有针对性的替换来修改冗长的假设或目标，无需完整地键入表达式就能对其进行操作。
「在用 LaTeX 撰写证明时，我经常粗略地模拟这种方法，将我要处理的冗长表达式从一行剪切粘贴到下一行，然后进行有针对性的编辑，但这有时会导致错字在文档中多行传播，因此能以自动和可验证的方式进行重写是件好事。」
论文中还提到一个不等式，即对于任意的 k, l, n，满足 
，则
陶哲轩表示下一个目标就是建立该不等式的简单版本，即论文中的不等式 (1.8)：
这部分的证明主要还是利用微积分的知识，但有一个难点是需要使用渐近符号。陶哲轩表示后续的论证虽然会很耗时，但并不是特别困难。
但目前的工具仍有一些局限性，例如，重写涉及绑定变量（如数列中的求和变量）的表达式并不总是很容易完成。他期待着有一天，人们可以简单地要求自然语言 LLM 进行此类转换......
参考链接：mathstodon.xyz/@tao/111271...