通信入门系列——复变函数

本节目录

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一、复变函数
1、复数
2、复数的四则运算
二、复指数函数
三、欧拉公式

本节内容

一、复变函数

1、复数

复数单位i，也就是满足i^2=-1，将z=x+iy表示为复数z，x和y为任意的实数，称为复数z的实部和虚部。由复数z=x+iy对应的点(x,y)组成的二维平面，称为复平面，也叫作高斯平面。复平面上的点，可以用模和幅度角来进行表示,横坐标为实部，纵坐标为虚部，r表示复数的模，θ表示幅角。

2、复数的四则运算

复数的四则运算，和实数加减乘除大致相同，需要注意的是复数的乘法核除法。对于复数的加减法来说，只需要将实部和虚部分布加减即可。

复数的乘法运算，遵循多项式乘法，同时将i^2=-1应用都计算中，即：

复数的除法运算，需要引入共轭复数，z=x+iy的共轭复数为x-iy。

二、复指数函数

以复数z=x+iy为自变量的函数称为复变函数，当然，在通信中，最常用的复变函数是复指数函数，以自然对数e为底的函数，f(z)=e^z=e(x=iy)。其实e^x函数可以通过麦克劳林级数展开为：

复数数列的极限：设{xn}为一个复数列，A为一个给定的复数。若对于任意给定的实数ε>0,总存在正整数N,使得当n>N时有|xn-A|<ε,那么称数列{xn}收敛于A，定复数A称为数列{xn}的极限。

两个复数之间的距离：在复数域中|z|表示的是模的概念，两个复数之间差值的模表示的就是这两个复平面对应的点之间距离。假设z1=x1+iy1,z2=x2+iy2，对z1和z2对应的点之间的距离为|z1-z2|,即：

复指数函数：复数z=x+iy,则复指数函数为：

三、欧拉公式

欧拉公式满足e ^ (ix)=cosx+isinx。当然将其扩大到复数，那么三角函数和指数函数之间就存在一定的关系。将x=π，也就是e ^ (iπ)+1=0。

欧拉公式表示复指数函数与三角函数之间的关系变换，令z=e ^ (ix)，那么复指数函数，就可以用z=r×e ^ (iθ)来表示你,其中r表示复数的模，θ表示幅角,计算关系式如下：

在通信中，引入了角速度ω的概念，来表述复指数信号，表达式为：e ^ (iωt)=cosωt+isinωt,其中cosωt余弦信号为实部，sinωt正弦信号为虚部，可以理解为一个点在复平面的单位圆上，以角速度ω逆时针运动，具体如图所示：