\(\text{1 }\) 耳和耳分解
\(\text{1.1 }\) 耳和耳分解
对于一个无向图 \(G = (V,E)\)，有一个子图 \(G_1 = (V_1,E_1)\)。若有一条环或者简单链 \(L:u_1 \to u_2 \to \cdots \cdots \to u_k\)，满足条件 \(u_1,v_k \in V_1\) 并且 \(u_2,\cdots \cdots,u_k \notin V_1\)，则称之为 \(L\) 是 \(G\) 关于 \(G_1\) 的耳，特别的当 \(L\) 是一条简单路径是 \(L\) 是 \(G\) 关于 \(G_1\) 的开耳。
对于一个无向图 \(G\)，若联通图 \((G_0,G_1, \cdots \cdots ,G_k)\) 满足：
-
\(G_0\) 是一个简单环，\(G_k = G\)。
-
\(G_{i - 1}\) 是 \(G_i\) 的子图。
-
设 \(G_i = {V_i,E_i}\)，则 \(E_i\) \ \(E_{i - 1}\) 组成 \(G_{i - 1}\) 的一个耳（开耳）。
则称 \((G_0,G_1, \cdots \cdots ,G_k)\) 是 \(G\) 的一个耳（开耳）分解。此处还有一个性质，若一个图 \(G\) 存在耳分解，当且仅当 \(G\) 边双连通。
\(\text{1.2 }\) 双极定向
给定无向图 \(G = (V,E)\) 和两个不同的节点 \(s,t\)，则一下这四个命题等价：
-
在添加 \((s,t)\) 之后 \(G\) 点双联通。
-
\(G\) 的圆方树中所有方点构成一条链，\(s \to t\) 是圆方树的一条直径。
-
存在一种对 \(G\) 的边进行定向的方法，得到一个有向无环图，且 \(s\) 入度为零，\(t\) 出度为零，其余点出入度都不为零。
-
存在一个点的排列 \(p_1,p_2, \cdots \cdots ,p_k\)，使得 \(p_1 = s,p_k = t\)，且任意前缀和后缀的导出子图都是联通的。