题解:P7482 不条理狂诗曲
本题解借鉴 blossom_j 大佬思路,但这位大佬的题解似乎没放正确代码。
题意
对于每一个 \(a\) 的子区间 \(a_{l\dots r}\),求选择若干个不连续的数的和的最大值,对答案取模 \(10^{9}+7\)。
思路
主要算法:分治。
计算跨过中点 \(mid\) 的区间的 \(f\) 之和。
首先我们可以写一个 DP。\(f_{i,0/1,0/1}\) 表示 DP 已到达 \(i\) 的位置。第一个 \(0/1\) 表示 \(mid\) 或 \(mid+1\) 是否被选择。第二个 \(0/1\) 表示是否选择了第 \(i\) 个元素。
枚举 \(l\) 对所有的 \(r\) 求和:设 \(g_{i,j}=\max\{f_{i,j,0},f_{i,j,1}\}\)。区间 $\left [ l,r \right ] $ 的答案就是 \(\max\{g_{l,0}+\max\{g_{r,0},g_{r,1}\},g_{l,1}+g_{r,0}\}\)。
若 \(g_{l,0}-g_{l,1}\le g_{r,0}-\max\{g_{r,0},g_{r,1}\}\),则必需选择后者。
将 \(g_{r,0}-\max\{g_{r,0},g_{l,1}\}\) 排序,二分寻找分界点。
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int mod = 1000000007, Maxn = 2 * 1e5 + 10;
int n, a[Maxn], ans = 0, f[Maxn][2][2], g[Maxn][2],sa[Maxn], sb[Maxn];
struct Node {
int date, ID;
} d[Maxn];
bool cmp(Node x, Node y) {
return x.date < y.date;
}
int ask(int x, int l, int r) {
while (l < r) {
int mid = (l + r + 1) >> 1;
if (d[mid].date <= x)l = mid;
else r = mid - 1;
}
return l;
}
void solve(int l, int r) {
if (l == r) {
ans = (ans + a[l]) % mod;
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
f[mid + 1][0][0] = f[mid + 1][0][1] = f[mid + 1][1][0] = 0, f[mid + 1][1][1] = a[mid + 1];
g[mid + 1][0] = f[mid + 1][0][0];
g[mid + 1][1] = f[mid + 1][1][1];
d[mid + 1].ID = mid + 1;
d[mid + 1].date = g[mid + 1][0] - max(g[mid + 1][0], g[mid + 1][1]);
for (int i = mid + 2; i <= r; i++) {
f[i][0][0] = max(f[i - 1][0][0], f[i - 1][0][1]);
f[i][1][0] = max(f[i - 1][1][0], f[i - 1][1][1]);
f[i][0][1] = f[i - 1][0][0] + a[i];
f[i][1][1] = f[i - 1][1][0] + a[i];
g[i][0] = max(f[i][0][0], f[i][0][1]);
g[i][1] = max(f[i][1][0], f[i][1][1]);
d[i].ID = i;
d[i].date = g[i][0] - max(g[i][0], g[i][1]);
}
sort(d + mid + 1, d + r + 1, cmp);
sa[mid] = sb[mid] = sa[r + 1] = sb[r + 1] = 0;
for (int i = mid + 1; i <= r + 1; i++) {
sa[i] = sa[i - 1] + g[d[i].ID][0];
sb[i] = sb[i - 1] + max(g[d[i].ID][0], g[d[i].ID][1]);
}
f[mid][0][0] = f[mid][0][1] = f[mid][1][0] = 0, f[mid][1][1] = a[mid];
g[mid][0] = f[mid][0][0];
g[mid][1] = f[mid][1][1];
int k = ask(g[mid][0] - g[mid][1], mid, r);
ans = (ans + g[mid][0] * (k - mid) % mod + sb[k] + sa[r] - sa[k] + g[mid][1] * (r - k) % mod + mod) % mod;
for (int i = mid - 1; i >= l; i--) {
f[i][0][0] = max(f[i + 1][0][0], f[i + 1][0][1]);
f[i][1][0] = max(f[i + 1][1][0], f[i + 1][1][1]);
f[i][0][1] = f[i + 1][0][0] + a[i];
f[i][1][1] = f[i + 1][1][0] + a[i];
g[i][0] = max(f[i][0][0], f[i][0][1]);
g[i][1] = max(f[i][1][0], f[i][1][1]);
int k = ask(g[i][0] - g[i][1], mid, r);
ans = (ans + g[i][0] * (k - mid) % mod + sb[k] + sa[r] - sa[k] + g[i][1] * (r - k) % mod + mod) % mod;
}
solve(l, mid), solve(mid + 1, r);
}
signed main() {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];
solve(1, n);
cout << ans << '\n';
return 0;
}