洛谷P1209修理牛棚 Barn Repair

[USACO1.3] 修理牛棚 Barn Repair

题目描述

在一个月黑风高的暴风雨夜,Farmer John 的牛棚的屋顶、门被吹飞了 好在许多牛正在度假,所以牛棚没有住满。

牛棚一个紧挨着另一个被排成一行,牛就住在里面过夜。有些牛棚里有牛,有些没有。 所有的牛棚有相同的宽度。 宽度为1

自门遗失以后,Farmer John 必须尽快在牛棚之前竖立起新的木板。他的新木材供应商将会供应他任何他想要的长度,但是吝啬的供应商只能提供有限数目的木板。 Farmer John 想将他购买的木板总长度减到最少。

给出 \(m,s,c\),表示木板最大的数目、牛棚的总数、牛的总数;以及每头牛所在牛棚的编号,请算出拦住所有有牛的牛棚所需木板的最小总长度。

输入格式

一行三个整数 \(m,s,c\),意义如题目描述。

接下来 \(c\) 行,每行包含一个整数,表示牛所占的牛棚的编号。

输出格式

输出一行一个整数,表示所需木板的最小总长度。

样例 #1

样例输入 #1

4 50 18
3 
4 
6 
8 
14
15 
16 
17 
21
25 
26 
27 
30 
31 
40 
41 
42 
43

样例输出 #1

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提示

【数据范围】

对于 \(100\%\) 的数据,\(1\le m \le 50\),\(1\le c \le s \le 200\)。

USACO Training Section 1.3

思路:

  • 题目很多信息,我们首先捋清楚题目的意思。s与解题无关,我们应该剔除没用的信息,供应商最多可以提供m块板子,有c个牛棚中住了牛,我们需要对这c个牛棚进行修补,每个牛棚需要长度为1的板子,但是我们的总板子数目不超过m个,因此,当m<c时,我们需要对有些牛棚的板子进行延长,比如我们对编号为2,3的两个牛棚,我们使用一块长度为2的木板来修复它,直到我们使用的木板总数等于m为止。
  • 我们可以有一个思路,先对每个有牛的牛棚进行分配一块长度为1的木板,如果供应的木板总数≥牛的数量,那么我们的答案就是c,每个牛棚分配一块长度为1的木板即可,否则,我们就得使用连续的木板来修复多个牛棚。比如编号为3和8的木板,我们使用长度为6的木板修复,不过因为我们一开始每个牛棚一个分配了长度为1的木板,所以只需要在原来答案的基础上加上8-3-1即可,就是4,所以说得数出它们之间隔了几个牛棚。
  • 由上面的思路,我们得对有牛的牛棚数组a进行排序,并使用另外一个数组d,用来表示a中相邻元素之间所隔着的牛棚数量
  • 先对牛棚数组a排序,并给每一个牛棚分配一个长度为1的木板:
cpp 复制代码
for (int i = 1; i <= c; i++) cin >> a[i];
//先给每个有牛的牛棚分配一块木板,如果最大木板数量不够用的话,就得
//将某些木板连起来了。
int ans = c;
sort(a + 1, a + 1 + c);
  • 然后,我们计算出a中相邻元素的牛棚的数量,并对d数组排序
cpp 复制代码
	for (int i = 2; i <= c; i++) d[i - 1] = a[i] - a[i - 1] - 1;
	//d数组总共有c-1个元素
	sort(d + 1, d + c);
  • 如果m<c的话,我们就每次选择d数组中最小的那个元素,因为它们之间相隔的木板数目最少,我们所需要付出的木板长度代价越低,这就是贪心思想所对应的局部最优解。以往下去,我们使用的木板长度肯定是最少的,最终得到全局最优解。

代码:

cpp 复制代码
#include<iostream>
using namespace std;
#include<algorithm>
int a[205];		//作为有牛的牛棚的编号
int d[205];		//作为相邻两个牛棚之间间隔的牛棚的数量
int m, s, c;
int main()
{
	cin >> m >> s >> c;
	for (int i = 1; i <= c; i++) cin >> a[i];
	//先给每个有牛的牛棚分配一块木板,如果最大木板数量不够用的话,就得
	//将某些木板连起来了。
	int ans = c;
	sort(a + 1, a + 1 + c);
	for (int i = 2; i <= c; i++) d[i - 1] = a[i] - a[i - 1] - 1;
	sort(d + 1, d + c);
	//如果最多提供的板子数量小于牛的数量,这时候就不能每头有牛的牛棚都分配板子了,就得将某些牛棚的板子连起来。
	if (m < c) {
		//d数组总共有c-m个元素,因为有c头牛,最多提供m块板子
		//我们每次贪心的选择相隔牛棚数最少的牛棚,这样我们的代价越低,得到的结果越小,
		for (int i = 1; i <= c - m; i++) ans += d[i];
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

总结与思考

  • 做信息学竞赛的题目,我们最重要的能力就是快速阅读有用信息的能力,并建立出自己的模型,或者是画出对应的草图,然后在草稿纸上推演出对应的数学关系,最后用代码表示出来