🎯要点
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🍇PyTorch爱因斯坦矩阵矢量
在数学中，尤其是数学物理和微分几何中线性代数的使用，爱因斯坦符号（也称为爱因斯坦求和约定或爱因斯坦求和符号）是一种符号约定，它意味着对公式中的一组索引项求和，从而实现简洁。作为数学的一部分，它是里奇演算的符号子集。然而，它经常用于不区分正切和余切空间的物理应用中。它是由阿尔伯特·爱因斯坦于 1916 年引入物理学的。
根据约定，当索引变量在一项中出现两次且未另行定义时，则意味着该项对所有索引值的求和。因此，索引的范围可以在集合 { 1 , 2 , 3 } \{1,2,3\} {1,2,3} 上，
y = ∑ i = 1 3 c i x i = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 y=\sum_{i=1}^3 c_i x^i=c_1 x^1+c_2 x^2+c_3 x^3 y=i=1∑3cixi=c1x1+c2x2+c3x3
简化为：
y = c i x i y=c_i x^i y=cixi
上面的索引不是指数，而是坐标、系数或基向量的索引。也就是说，在这种情况下， x 2 x^2 x2 应该被理解为 x x x 的第二个分量，而不是 x x x 的平方（这有时会导致歧义）。 x i x^i xi 中的上索引位置之所以如此，是因为索引在术语的上位置（上标）和下位置（下标）中出现一次。通常， ( x 1 x 2 x 3 ) \left(x^1 x^2 x^3\right) (x1x2x3) 相当于传统的 ( x y z ) (x y z) (xyz)。
代码示例
使用爱因斯坦符号和 einsum 函数，我们只需使用一个函数就可以计算向量和矩阵：torch.einsum(equation, *operands)。
让我们看一个简短的例子：
Python
torch.einsum('ik, kj->ij', X, Y)此处是矩阵乘法。 i i i和 j j j是所谓的自由索引，k是求和索引。后者可以定义为发生求和的索引。如果我们将矩阵乘法想象为嵌套循环， i i i 和 j j j 将是外部循环，k 循环将是求和循环：
转置：
Python
import torch
X = torch.rand((4, 5))
Y = torch.rand((5, 2))
Z = torch.empty((4, 2))
for i in range(X.shape[0]):
for j in range(Y.shape[1]):
total = 0
for k in range(X.shape[1]):
total += X[i,k] * Y[k,j]
Z[i,j] = total其可能用于其他用途，但转置向量或矩阵似乎是最著名的用例。
求和：
Python
import torch
X = torch.rand((2, 3))
a = torch.einsum('ij->', X)
torch.sum(X)
print(a) 简单求和，我们不返回索引。输出是一个标量。或者，准确地说，是一个只有一个值的张量。
行和列求和：
Python
import torch
X = torch.rand((2, 3))
a = torch.einsum('ij->i', X)
torch.sum(X, axis=1)
print(a)
b = torch.einsum('ij->j', X)
torch.sum(X, axis=0)
print(b) 逐元素乘法：
Python
import torch
X = torch.rand((3, 2))
Y = torch.rand((3, 2))
A = torch.einsum('ij, ij->ij', X, Y)
torch.mul(X, Y) # or X * Y
print(A)点积：
Python
import torch
v = torch.rand((3))
c = torch.rand((3))
a = torch.einsum('i, i->', v, c)
torch.dot(v, c)
print(a) 外积：
Python
import torch
v = torch.rand((3))
t = torch.rand((3))
A = torch.einsum('i, j->ij', v, t)
torch.outer(v, t)
print(A)矩阵向量乘法
Python
import torch
X = torch.rand((3, 3))
y = torch.rand((1, 3))
A = torch.einsum('ij, kj->ik', X, y)
torch.mm(X, torch.transpose(y, 0, 1)) # or torch.mm(X, y.T)
print(A)矩阵矩阵乘法
Python
import torch
X = torch.arange(6).reshape(2, 3)
Y = torch.arange(12).reshape(3, 4)
A = torch.einsum('ij, jk->ik', X, Y)
torch.mm(X, Y)
print(A)批量矩阵乘法
Python
import torch
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
Y = torch.arange(40).reshape(2, 4, 5)
A = torch.einsum('ijk, ikl->ijl', X, Y)
torch.bmm(X, Y)
print(A)