手把手教你建【货币】一题的网络流模型

现在已知如下问题,并告诉你这题可以用网络流来解决,你该怎么做,该怎么建出网络流的模型?

一些前提:

显然可以发现绝不可能走横向向左的边但可能走竖向向上的边(如下图)

那么图其实就是这样的:问从 \(s\) 到 \(t\) 的最小花费

如果没有那 \(m\) 条限制,我们直接跑最短路就行了,加上这些限制,发现其实是个网络流模型,考虑如何建出网络流模型。

建模:

我们虚构出以下的模型以方便理解------很典的模型:对偶图!(具体什么是对偶图自行了解)

注:没方向的边是现在还不清楚该怎么建,稍后考虑。

每条红边(网络流上的边)的权值就是其交叉的黑边(实际的图)的权值

(好像个灯笼)现在实际上从 s 到 t 的最短花费其实就是 s 到 t 的红色连边构成的图的最小割了。

为什么?我们单独扣出来两个点证明一下:

如上图,先不考虑横着的红边的话,根据最小割知识,我们知道在路径 \((s,x) 和 (x,t)\) 中必须要割掉一条且只割掉一条,同样,在 \((s,y) 和 (y, t)\) 中必须要割掉一条且只割掉一条,(必须割一条是为了满足没有增广路可以从 s 到 t );

为什么各只能割掉一条呢?

  • 如果我们保证需要割 \((x,y)\) 这条边,则只会再割 \((s,y),(x,t)\);不然无论是割 \((s,y),(s,x)\) 还是割 \((x,t),(y,t)\) 都会使得没有必要割 \((x,y)\),与保证需要矛盾。
  • 若割 \((y,x)\) 同理;
  • 若既不割 \((x,y)\) 也不割 \((y,x)\):
    • 如果保证需要割掉 \((x,t)\),那么需要割 \((y,t)\) 时不用再割别的边了,这不用解释。那如果我们割 \((s,y)\) 呢,这样仍然有增广路 s->x->y->t,此时因为我们既不割 \((x,y)\) 也不割 \((y,t)\),所以必须割掉 \((s,x)\),此时会发现 \((s,x) 和 (x,y)\) 都割掉了,那么 \((x,t)\) 是没必要割的,矛盾!
    • 不割 \((x,t)\) 的话,同理。

对照实际的图,发现一样,如果走 1->2 这条边,一定不会走 4->5 这条边,走 2->3 一定不会走 5->6;

如果走了 2->5,那么要么是走 1->2->5->6,要么是走 4->5->2->3。

所以其实可以发现最小割就是原图中的最短路

解决了以上问题,那么现在我们只需再解决 \(m\) 个限制条件 和 灯笼图中没有方向的红边(最左边和最右边点的边) 两个问题即可。

如何解决 \(m\) 个限制?

还是扣出两个点,(只扣模型点了),如果题目限制同时走 s->x 和 y->t (x 和 y 并不一定相邻)时,需要再增加大小为 \(c\) 的花费。(现在暂时当作没有虚线边)

那么等同于我们需要考虑如何使得在既割 s->x 又割 y->t 的情况下,还需要再多割一条花费为 \(c\) 的边,我们再建一条从 y 到 x ,花费为 \(c\) 的边就解决了。(就是图中虚线边)。

显然割掉 s->x 和 y->t 后,还有一条增广路 s->y->x->t,所以必须再割掉 y->x,(上文已经证明出来此时不会再割 x->t 和 s->y )。ok 了。

对于最左和最右那两个点的处理

现在把最右边那部分边拿出来,显然可以连成这样:

可以发现,在 1、2 边之间(显然这两条边只能走一个)如果我们走的是 2,则没什么事;但如果走的是 1 这条边,那么就一定要走 3 这条边。考虑在网络流上怎么解决?

意思就是需要在 a、b 之间选择割 a 这条边的时候,必须要再割掉 e 这条边。

其实把 d 权值附为 0,c 附为 inf,然后 e 从右边那个点连向左边那个即可,这样保证割 d 不割 c,此时若割 a,则还需要割掉 e 以使增广路 c-e-b 不再增广。

如下图:
\[e \]

\[@<--@ \]