第一章 微分流形
Note：本文中，欧氏空间中的向量的分量用上标表示。
§1 微分流形的定义
Def 1.1 \(M\) 是一个第二可数的Hausdorff空间。若对任意 \(x\in M\) ，都存在 \(x\) 的一个邻域 \(U\) 同胚于 \(\R^m\) 的一个开集，则称 \(M\) 是一个 \(m\) 维流形 （或拓扑流形 ）。记同胚映射为 \(\varphi_U:U\to\varphi_U(U)\) ，则 \((U,\varphi_U)\) 称为 \(M\) 的一个坐标卡 ；对于 \(y\in U\) ，记 \(u=\varphi_U(y)\) ，则 \(u^i\ (1\leqslant i\leqslant m)\) 称为 \(y\) 的局部坐标。
对于函数 \(f:U\to\R\ \ \ (U\in\R^m)\) ，如果 \(f\) 的所有 \(r\) 阶偏导数都存在，则称 \(f\) 是 \(r\) 次可微的或 \(C^r\) 的。如果有任意阶偏导数，则称 \(f\) 是光滑的或者 \(C^\infin\) 的。如果 \(f\) 在 \(U\) 的每一点的附近都可以用收敛的幂级数表示，则称 \(f\) 是解析的或者 \(C^\omega\) 的。
考虑两个坐标卡 \((U,\varphi_U)\) 和 \((V,\varphi_V)\) ，若 \(U\cap V\neq\varnothing\) ，则
\f=\\varphi_V\\circ\\varphi_U\^{-1}:\\varphi_U(U\\cap V)\\to\\varphi_V(U\\cap V) \\
是同胚，其逆为 \(g=\varphi_U\circ\varphi_V^{-1}\)。如果 \(f,g\) 的每一个分量函数 \(f^i,g^i\) 都是 \(C^r\) 的，则称这两个坐标卡是 \(C^r\) 相容的。（当然，若 \(U\cap V=\varnothing\) ，也认为两者相容）
Def 1.2 在 \(m\) 维流形 \(M\) 上给定一族坐标卡 \(\mathscr{A}=\{(U,\varphi_U),(V,\varphi_V),\cdots\}\) ，若
\((1)\) \(\{U,V,\cdots\}\) 是 \(M\) 的开覆盖 \((2)\) \(\mathscr{A}\) 中任意两个坐标卡是 \(C^r\) 相容的
\((3)\) \(\mathscr{A}\) 是极大的，即 \(M\) 的任意一个与 \(\mathscr{A}\) 中每个坐标卡都相容的坐标卡都在 \(\mathscr{A}\) 中
则称 \(\mathscr{A}\) 是 \(M\) 的一个 \(C^r-\)微分结构 ，给定了此结构的 \(M\) 称为一个 \(C^r-\)微分流形 。 \(C^\infin-\)微分流形又称光滑流形 ， \(C^\omega-\)微分流形又称解析流形。必要时默认所谓流形是光滑流形。
Eg 1.1 \(m\) 维射影空间 \(P^m\)
在 \(\R^{m+1}-\{0\}\) 上定义等价关系：对于 \(x,y\in\R^{m+1}-\{0\}\) ，若 \(\exist\ \alpha\in\R\) 使得 \(x=\alpha y\) ，则 \(x\sim y\) 。商空间 \(P^m=(\R^{m+1}-\{0\})/\sim\) 称为射影空间，数组 \((x^i)_{1\leqslant i\leqslant m+1}\) 称为 \(x\in P^m\) 的齐次坐标。坐标卡：
\\\left\\{ \\begin{align\*} \& U_i= \\{\[x\in P^m \big|x^i\neq 0 \} \\ & \varphi_i(x)=(_i\xi_1,\cdots,i\xi{i-1},i\xi{i+1},\cdots,_i\xi_m) \end{align*} \right. \]
其中的 \(1\leqslant i\leqslant m+1,\ _i\xi_j={x^j}/{x^i}\) 。由于 \(\{U_i\}\) 构成开覆盖，且有坐标变换 \(_j\xi_k=_i\xi_k/_i\xi_j,_j\xi_i=1/_i\xi_j\) ，那么给定了 \(\{(U_i,\varphi_i)\}\) 的 \(P^m\) 是光滑流形。
Def 1.3 光滑流形 \(M\) 上的连续函数 \(f:M\to\R\) 。若对 \(p\in M\) 和包含 \(p\) 的坐标卡 \((U,\varphi_U)\) ，函数 \(f\circ\varphi_U^{-1}\) 在点 \(\varphi_U(p)\) 处是 \(C^\infin\) 的，则称 \(f\) 在点 \(p\) 处是光滑的。处处光滑的函数 \(f\) 称为 \(M\) 上的光滑函数 。 \(M\) 上全体光滑函数的集合记作 \(C^\infin(M)\) 。
光滑流形 \(M\) 到 \(N\) 的连续函数 \(f:M\to N\) 。若对 \(p\in M\) ，以及包含 \(p\) 的坐标卡 \((U,\varphi_U)\) 和包含 \(f(p)\) 的坐标卡 \((V,\psi_V)\) ，映射 \(\psi_V\circ f\circ\varphi_U^{-1}\) 的每一个分量函数在点 \(\varphi_U(p)\) 处是 \(C^\infin\) 的，则称 \(f\) 在点 \(p\) 处是光滑的。处处光滑的映射 \(f\) 称为 \(M\) 到 \(N\) 的光滑映射 。
对于同胚 \(f:M\to N\) ，若 \(f,f^{-1}\) 都是光滑映射，则称 \(f\) 为可微同胚。
Note ：光滑性和坐标卡的选取是无关的。具体而言，对于坐标卡 \((U,\varphi_U)\) 和 \((V,\varphi_V)\) ，由于坐标变换是光滑的，而且 \(f\circ\varphi_V^{-1}=(f\circ\varphi_U^{-1})\circ(\varphi_U\circ\varphi_V^{-1})\) ，那么 \(f\circ\varphi_V^{-1}\) 和 \(f\circ\varphi_U^{-1}\) 的光滑性等价。
Def 1.4 光滑流形 \(M,N\) 。拓扑积空间 \(M\times N\) 上由坐标卡族 \(\{U_\alpha\times V_\beta,\varphi_\alpha\times \psi_\beta\}\) 给出的光滑流形结构称为 \(M\) 和 \(N\) 的积流形 。投射 \(\pi_1:M\times N\to M,\pi_2:M\times N\to N\) 显然是光滑映射。
§2 切空间
类比切线、切平面的概念，微分流形可以引进切空间和余切空间的概念，以达到在每一点附近用线性空间近似流形的目的。下面从余切空间入手，再通过对偶构造切空间。
补充光滑函数的定义。开集 \(V\sub M\) 和函数 \(f:V\to\R\) 。若任意与 \(V\) 相交的坐标卡 \((U,\varphi_U)\) ，函数 \(f\circ\varphi_U^{-1}\) 是 \(\varphi_U(U\cap V)\) 上的光滑函数，则称 \(f\) 是定义在 \(V\) 上的光滑函数。
固定一点 \(p\in M\) 。定义在 \(p\) 的邻域上的光滑函数构成集合 \(C^\infin_p\) ，其上有加法和乘法（例如，对于\(f:U\to\R\) 和\(g:V\to\R\) ，函数 \(f+g:U\cap V\to\R\) 满足 \(\forall p\in U\cap V,(f+g)(p)=f(p)+g(p)\)）。定义 \(C^\infin_p\) 上的等价关系：若存在 \(p\) 的邻域 \(H\) 使得 \(f|_H=g|_H\) ，则 \(f\sim g\) 。令商空间 \(\mathscr{F}_p=C^\infin_p/\sim\) ，其中的等价类 \(f\) 称为 \(p\) 点处的 \(C^\infin-\)函数芽，那么 \(\mathscr{F}_p\) 是一个无穷维实线性空间。
光滑函数 \(\gamma:(-1,1)\to M\) 使得 \(\gamma(0)=p\) 称作经过点 \(p\) 的参数曲线，其构成的集合记作 \(\varGamma_p\)。对于\(\gamma\in\varGamma_p\) 和 \(f\in\mathscr{F}_p\) ，定义配合：
\\\ll\\gamma,\[f\gg=\left.\frac{\text{d}(f\circ\gamma)}{\text{d}t}\right|_{t=0} \]
对于固定的 \(\gamma\) ，\(\ll\gamma,\cdot\gg:\mathscr{F}_p\to\R\) 是线性函数。定义 \(\mathscr{H}_p=\{f\in\mathscr{F}_p \big|\ll\gamma,f\gg=0,\forall\gamma\in\varGamma_p\}\) 。
++Theo 2.1++ \(f\in\mathscr{F}_p\) ，对于包含 \(p\) 的坐标卡 \((U,\varphi_U)\) ，令 \(F=f\circ\varphi_U^{-1}\) ，则 \(f\in\mathscr{H}_p\) 当且仅当
\\\left.\\frac{\\part F}{\\part x\^i}\\right\|_{\\varphi_U(p)}=0\\ ,\\ \\ \\ \\ 1\\leqslant i\\leqslant m \\
Proof ：记参数曲线的坐标表示为 \(x^i(t)=(\varphi_U\circ\gamma(t))^i,\ 1\leqslant i\leqslant m\) ，则
\\\begin{align\*} \\ll\\gamma,\[f\gg=\left.\frac{\text{d}(f\circ\gamma)}{\text{d}t}\right|{t=0} & =\left.\frac{\text{d}}{\text{d}t}((f\circ\varphi_U^{-1})\circ(\varphi_U\circ\gamma(t)))\right|{t=0} \\ & =\left.\frac{\text{d}}{\text{d}t}F(x^1(t),\cdots,x^m(t))\right|{t=0} \\ & =\sum{i=1}^{m}{\left.\frac{\part F}{\part x^i}\right|{\varphi_U(p)}\cdot\left.\frac{\text{d}x^i(t)}{\text{d}t}\right|{t=0}} \end{align*} \]
由于 \(\gamma\) 选取的任意性，\(\left.\cfrac{\text{d}x^i(t)}{\text{d}t}\right|{t=0}\) 可取到任何实数值，因而要求所有的 \(\left.\cfrac{\part F}{\part x^i}\right|{\varphi_U(p)}=0\) 。
Def 2.1 商空间 \(\mathscr{F}_p/\mathscr{H}_p\) 称为流形 \(M\) 在 \(p\) 点的余切空间 ，记作 \(T^*_p\) 。函数芽 \(f\in\mathscr{F}_p\) 的等价类记作 \((\text{d}f)_p\) ，称为流形 \(M\) 在 \(p\) 点的余切矢量 。它是一个无穷维实线性空间。
对于在 \(p\) 的邻域上的光滑函数 \(f\) ， \((\text{d}f)_p\) 也称作 \(f\) 在 \(p\) 点的微分 。若 \((\text{d}f)_p=0\) 则称 \(p\) 是 \(f\) 的临界点。
++Theo 2.2++ \(f^1,\cdots,f^s\in C^\infin_p\) ，而 \(F(f^1(p),\cdots,f^s(p))\) 是点 \(x=(f^1(p),\cdots,f^s(p))\) 附近的光滑函数，则 \(f=F(f^1,\cdots,f^s)\) 是定义在 \(p\) 的邻域上的光滑函数，且
\(\\text{d}f)_p=\\sum_{k=1}\^{s}{\\left.\\frac{\\part F}{\\part f\^k}\\right\|_x \\cdot(\\text{d}f\^k)_p} \\
Proof ： \(f\) 的定义域是 \(p\) 的有限个邻域的交。由于 \(F\) 光滑，则 \(f\) 光滑。记 \(a_k=\left.\cfrac{\part F}{\part x^i}\right|_x\) ，则对于任意的 \(\gamma\in\varGamma_p\) ，有：
\\\begin{align\*} \\ll\\gamma,\[f\gg=\left.\frac{\text{d}(f\circ\gamma)}{\text{d}t}\right|{t=0} & =\left.\frac{\text{d}}{\text{d}t}F(f^1\circ\gamma(t),\cdots,f^s\circ\gamma(t))\right|{t=0} \\ & =\sum_{k=1}^{s}{a_k\cdot\left.\frac{\text{d}(f^k\circ\gamma(t))}{\text{d}t}\right|{t=0}} \\ & =\sum{k=1}^{s}{a_k\ll\gamma,f\^k\gg}=\ll \gamma,\sum_{k=1}^{s}{a_kf\^k}\gg \end{align*} \]
因此 \(f-\sum{a_kf\^k}\in\mathscr{H}_p\) ，即 \((\text{d}f)_p=\sum{a_k(\text{d}f^k)_p}\) 。
推论 1 ：对于 \(f,g\in C^\infin_p,\alpha\in\R\) ：\\\begin{align\*} \& \\text{d}(f+g)_p=(\\text{d}f)_p+(\\text{d}g)_p \\\\ \& \\text{d}(\\alpha f)_p=\\alpha\\cdot(\\text{d}f)_p \\\\ \& \\text{d}(fg)_p=f(p)\\cdot(\\text{d}g)_p+g(p)\\cdot(\\text{d}f)_p \\end{align\*} \\
推论 2 ：\(\dim T^*_p=m\)
Proof ：取包含 \(p\) 的坐标卡 \((U,\varphi_U)\) ，则对于 \(q\in U\) ，局部坐标 \(u^i(q)=(\varphi_U(q))^i\) 是光滑函数。下证 \(\{(\text{d}u^i)p\}{1\leqslant i\leqslant m}\) 是 \(T^*_p\) 的基。由 ++Theo 2.2++ 可知 \(\{(\text{d}u^i)_p\}\) 张成 \(T^*_p\) ，下证其线性无关。
若一组 \(\alpha_i\in\R\) 使得 \(\sum{\alpha_i(\text{d}u^i)_p}=0\) ，即 \(\sum{\alpha_iu\^i}\in\mathscr{H}_p\) ，则 \(\forall\gamma\in\varGamma_p\) 有：
\\\ll\\gamma,\\sum_{i=1}\^{m}{\\alpha_i\[u\^i}\gg =\sum_{i=1}^{m}{\alpha_i\cdot\left.\frac{\text{d}(u^i\circ\gamma(t))}{\text{d}t}\right|_{t=0}}=0 \]
取 \(\lambda_k\in\varGamma_p\) 使得 \(u^i\circ\lambda_k(t)=u^i(p)+\delta_k^i t\) （其中 \(\delta_k^i\) 是Kronecker记号），则
\\\left.\\frac{\\text{d}(u\^i\\circ\\lambda_k(t))}{\\text{d}t}\\right\|_{t=0}=\\delta_k\^i=\\left\\{ \\begin{align\*} 1\\ \\ \\ i=k \\\\ 0\\ \\ \\ i\\neq k \\end{align\*} \\right. \\
令 \(\gamma=\lambda_k\) 带入可得 \(\alpha_k=0\) ，因此 \(\{(\text{d}u^i)_p\}\) 线性无关。
反过来考虑 \(\varGamma_p\) ，定义其上的等价关系：对于 \(\gamma,\gamma'\in\varGamma_p\) ，若 \(\forall f\in C^\infin_p\) 都有 \(\ll\gamma,f\gg=\ll\gamma',f\gg\) ，则 \(\gamma\sim\gamma'\) 。对于等价类 \(\\gamma\) 和 \((\text{d}f)_p\)，定义
\\<\[\\gamma,(\text{d}f)_p>=\ll\gamma,f\gg \]
可见配合 \(<\\gamma,(\text{d}f)_p>\) 是双线性的。用局部坐标表示 \(\gamma\) 使 \(\varphi_U\circ\gamma(t)=(u^1(t),\cdots,u^m(t))\)，可得
\\<\[\\gamma,(\text{d}f)p>=\sum{i=1}^{m}{a_i\xi^i},\ \ \ \ 其中\ a_i=\left.\frac{\part(f\circ\varphi_U^{-1})}{\part u^i}\right|{\varphi_U(p)},\ \xi^i=\left.\frac{\text{d}u^i}{\text{d}t}\right|{t=0} \]
这个值由 \(\xi^i\) 完全决定。取 \(\gamma\) 使 \(u^i(t)=(\varphi_U(p))^i+\xi^i t\) ，可见 \(\xi^i\) 可取到任意数值，那么全体 \(<\\gamma,\cdot>\) 就表示了全体 \(T^*_p\) 上的线性函数，继而构成 \(T^*p\) 的对偶空间， \(\{\\lambda_k\}{1\leqslant k \leqslant m}\) 是 \(\{(\text{d}u^i)p\}{1\leqslant i \leqslant m}\) 的对偶基。
Def 2.2 商空间 \(\varGamma_p/\sim\) 称为流形 \(M\) 在 \(p\) 点的切空间 ，记作 \(T_p\) 。其元素称为点 \(p\) 处的切矢量。
从局部坐标的角度看，切向量有更简单的几何意义描述。对于分别由 \(u^i,u'^i\) 给出的曲线 \(\gamma,\gamma'\) ，\(\gamma\sim\gamma'\) 的充要条件是相应的 \(\xi^i=\xi'^i\) ，即在点 \(p\) 处有相同的"切线"。
切矢量 \(\\lambda_k\) 还有另一重含义。注意到
\\<\[\\lambda_k,(\text{d}f)p>=\left<\\lambda_k,\sum{i=1}^{m}{\left.\frac{\part (f\circ\varphi_U^{-1})}{\part u^i}\right|_p \cdot(\text{d}u^i)_p}\right>=\left.\frac{\part(f\circ\varphi_U^{-1})}{\part u^k}\right|_p \]
那么 \(\\lambda_k\) 之于 \((\text{d}f)_p\) 就相当于偏微分算子 \(\left.\cfrac{\part}{\part u^k}\right|_p\) ，因此 \(\\gamma\) 可以表示为
\\[\\gamma=\sum_{i=1}^{m}{\xi^i \left.\frac{\part}{\part u^k}\right|_p} \]
Def 2.3 对于 \(X\in T_p,f\in C^\infin_p\) ，记 \(Xf=<X,(\text{d}f)_p>\) ，称作函数 \(f\) 沿切矢量 \(X\) 的方向导数。
以下定理说明了方向导数是 \(C^\infin_p\) 上的线性算子。
++Theo 2.3++ 方向导数的性质。对于 \(X\in T_p,f,g\in C^\infin_p,\alpha,\beta\in\R\) ：
\((1)\) \(X(\alpha f+\beta g)=\alpha\cdot Xf+\beta\cdot Xg\) \((2)\) \(X(fg)=f(p)\cdot Xg+g(p)\cdot Xf\)
考虑坐标变换对这两组基的影响。对于两组局部坐标 \(u^i,{u^*}^i\) ，相应的 \(\xi,\alpha\) 满足关系
\{\\xi\^\*}\^j=\\sum_{i=1}\^{m}{\\xi\^i\\frac{\\part {u\^\*}\^j}{\\part u\^i}}\\ ,\\ \\ \\ \\ \\alpha\^i=\\sum_{j=1}\^{m}{{\\alpha\^\*}\^j\\frac{\\part {u\^\*}\^j}{\\part u\^i}} \\
其中 \(\cfrac{\part {u^*}^i}{\part u^i}=\cfrac{\part (\varphi_{U^*}\circ\varphi_U^{-1})}{\part u^i}\) 是坐标变换的Jacobi矩阵。满足前者变换规律的矢量称作反变矢量，满足后者变换规律的矢量称作协变矢量。
光滑流形之间的映射诱导出切空间和余切空间上的光滑映射。对于光滑映射 \(F:M\to N\) ，记点 \(p\in M\) 的像是点 \(q=F(p)\) 。余切空间上的映射 \(F^*:T^*_q\to T^*_p\) 定义作
\F\^\*(\\text{d}f)_q=(\\text{d}(f\\circ F))_p\\ ,\\ \\ \\ \\ (\\text{d}f)_q\\in T\^\*_q \\
这显然是线性映射。其共轭映射 \(F_*:T_p\to T_q\) 使得
\\
Def 2.4 映射 \(F^*\) 称为映射 \(F\) 的微分 ，映射 \(F_*\) 称为由 \(F\) 诱导的切映射。
这两个映射在局部坐标表示下有共性。对于点 \(p\) 附近的局部坐标 \(u^i\) 和点 \(q\) 附近的局部坐标 \(v^\alpha\) ，函数 \(F\) 可以"按分量地"表示为 \(v^\alpha=F^\alpha(u^1,\cdots,u^m)\) ，也就是 \(F^\alpha=v^\alpha\circ F\)。此时 \(F^*,F_*\) 作用在相应的基上，可以得到
\\\begin{align\*} F\^\*(\\text{d}v\^\\alpha) \&=\\text{d}(v\^\\alpha\\circ F)=\\sum_{i=1}\^{m}{(\\text{d}u\^i)\\cdot\\left.\\frac{\\part F\^\\alpha}{\\part u\^i}\\right\|_p} \\\\ \\left\
因此 \(F^*,F_*\) 在相应的基下的矩阵就是Jacobi矩阵 \(\left.\cfrac{\part F^\alpha}{\part u^i}\right|_p\) 。
§3 子流形
首先研究光滑流形诱导的切映射的一些性质。光滑映射 \(F:M\to N\) ，在点 \(p\) 处诱导了切映射 \(F_*:T_p\to T_q\) ，这里 \(q=F(p)\) 。重要的是，切映射 \(F_*\) 在 \(p\) 点的性质决定了 \(F\) 在 \(p\) 点的邻域上的性质。在微积分学中，这就是反函数定理：
++Theo 3.1++ （反函数定理） \(\R^n\) 的开子集 \(W\) 上定义光滑映射 \(f:W\to \R^n\) 。如果在一点 \(x_0\in W\) 处， \(f\) 的Jacobi行列式 \(\det\left.\cfrac{\part f^i}{\part x^j}\right|_{x_0}\neq 0\) ，则存在 \(x_0\) 的邻域 \(U\sub W\) ，使得 \(V=f(U)\) 是开集，且 \(f\) 在 \(V\) 上有光滑的反函数 \(g=f^{-1}:V\to U\) 。
根据之前的讨论，Jacobi矩阵就是切映射 \(f_*\) ，其行列式非零意味着 \(f_*\) 是切空间的同构。由于反函数的存在，这里的 \(f\) 限制在 \(U\) 上就是 \(U\) 到 \(V\) 的可微同胚。因此借助局部坐标，此定理可以推广到光滑流形上（此推广的证明是对光滑映射 \(F=\psi_V\circ f \circ \varphi_U^{-1}\) 使用 ++Theo 3.1++ ）：
++Theo 3.2++ 两个 \(n\) 维流形 \(M,N\) 以及光滑映射 \(f:M\to N\) 。若点 \(p\in M\) 处切映射 \(f_*:T_p\to T_{f(p)}\) 是同构，则存在 \(p\) 的邻域 \(U\) ，使得 \(V=f(U)\) 是开集，且 \(f|_U:U\to V\) 是可微同胚。
这里的流形 \(M,N\) 有相同的维数，故" \(f_*\) 在该点是同构"等价于" \(f_*\) 在该点是单射"。推广到不同维数的流形上，对于流形 \(M,N\) ，其维数 \(m=\dim M\leqslant n=\dim N\) ，当 \(f_*\) 在点 \(p\in M\) 处是单射时（这意味着该点处的局部坐标下 \(f\) 的Jacobi矩阵的秩等于 \(m\) ，称矩阵在该点是非退化的），定理推广为：
++Theo 3.3++ \(m\) 维流形 \(M\) 和 \(n\) 维流形 \(N\) ，\(m<n\) ，以及光滑映射 \(f:M\to N\) 。若点 \(p\in M\) 处切映射 \(f_*\) 是单射，则存在 \(p\) 处的局部坐标系 \((U;u^i)\) 和 \(q=f(p)\) 处的局部坐标系 \((V;v^\alpha)\) ，使得 \(V=f(U)\) ，且
\\\left\\{ \\begin{align\*} \& v\^i\\circ f\|_U=u\^i \\ , \\ \\ \\ \\ 1\\leqslant i\\leqslant m \\\\ \& v\^\\gamma \\circ f\|_U=0 \\ ,\\ \\ \\ \\ m+1\\leqslant \\gamma\\leqslant n \\end{align\*} \\right. \\
Proof ：设 \(f\) 在局部坐标下表示为 \(v^\alpha=f^\alpha(u^1,\cdots,u^m)\) 。不妨 \(u^i(p)=0,v^\alpha(q)=0\) 。令
\I_{n-m}=\\{(w\^{m+1},\\cdots,w\^n)\\in\\R\^{n-m} \\big\|\\forall m+1\\leqslant\\gamma\\leqslant n, \|w\^\\gamma\|\<\\delta \\}\\ , \\ \\ \\ \\delta\\in\\R\^+ \\
选取适当小的 \(U\) 和 \(\delta\) ，可以定义光滑映射 \(\widetilde{f}:U\times I_{n-m}\to V\) 使得
\\\left\\{ \\begin{align\*} \& \\widetilde{f}\^i(u\^1,\\cdots,u\^m,w\^{m+1},\\cdots,w\^n)=f\^i(u\^1,\\cdots,u\^m) \\\\ \& \\widetilde{f}\^\\gamma(u\^1,\\cdots,u\^m,w\^{m+1},\\cdots,w\^n) =w\^\\gamma+f\^\\gamma(u\^1,\\cdots,u\^m) \\end{align\*} \\right. \\\\ 1\\leqslant i\\leqslant m\\ ,\\ m+1\\leqslant \\gamma\\leqslant n \\
显然 \(\widetilde{f}\) 的Jacobi矩阵在原点处是非退化的，由 ++Theo 3.2++ 不妨（即忽略定义域的问题）假设 \(\widetilde{f}\) 是可微同胚，则可以将 \(\{u^i,w^\gamma\}\) 与 \(\{v^\alpha\}\) 视作等同，那么在此局部坐标系下 \(\widetilde{f}\) 是恒同映射，则 \(f|U=\widetilde{f}|{U\times\{0\}}\) 满足题设。
Def 3.1 光滑流形 \(M,N\) 。若有光滑流形 \(\varphi:M\to N\) 满足
\((1)\) \(\varphi\) 是单射 \((2)\) 任意点 \(p\in M\) ，该点的切映射 \(\varphi_*:T_p\to T_{\varphi(p)}\) 是单射
则称 \((\varphi,M)\) 是 \(N\) 的嵌入子流形 （或简单地称作光滑子流形）；若只满足 \((2)\) ，则称 \(\varphi\) 是浸入 ， \((\varphi,M)\) 是 \(N\) 的浸入子流形。
浸入在局部上是单的，而大范围上不尽然；两种子流形的区别具体而言，在于像 \(\varphi(M)\) 是否有自交点。
Eg 3.1 开子流形
\(U\) 是 \(N\) 的开子集，将 \(N\) 的光滑结构限制在 \(U\) 上，就得到 \(U\) 的光滑结构（其维数与 \(N\) 相同）。则 \((\text{id}_U,U)\) 是 \(N\) 的嵌入子流形，称为 \(N\) 的开子流形。
Eg 3.2 闭子流形
\(N\) 的光滑子流形 \((\varphi,M)\) 若满足： \((1)\) 像 \(\varphi(M)\) 是 \(N\) 的闭子集； \((2)\) 对每一点 \(q\in\varphi(M)\) ，存在一个局部坐标系 \((V;v^\alpha)\) ，使得 \(\varphi(M)\cap V\) 是由 \(v^{m+1}=\cdots=v^n=0\) （其中 \(m=\dim M,n=\dim N\) ）定义的；则称 \((\varphi,M)\) 是 \(N\) 的闭子流形。
例如，单位球面 \(S^{n}\sub\R^{n+1}\) 和恒同映射 \(\text{id}:S^n\to\R^{n+1}\) 给出 \(\R^{n+1}\) 的闭子流形。
Eg 3.3 对比如下两个 \(\R^2\) 的子流形 \((F,\R)\) 和 \((G,\R)\) ：
\\\begin{align\*} \& F(t)=\\left(2\\sin t,-\\sin 2t\\right) \\\\ \& G(t)=(2\\sin(2\\arctan t),\\sin(4\\arctan t)) \\end{align\*} \\
前者是浸入子流形（因为其在原点自交无限次），而后者是嵌入子流形（曲线的两端无限接近原点）。
Eg 3.4 环面 \(T^2\) 可以视作单位矩形 \(I^2\) 将两组对边粘合得到的商空间。取实数 \(a,b\) ，考虑映射 \(\varphi:\R\to T^2\) 使得 \(\varphi(t)=(\lfloor at\rfloor,\lfloor bt \rfloor)\) ，若 \(a:b\) 是无理数，则 \(\varphi(\R)\) 是稠密的嵌入子流形；若是有理数，则是浸入子流形。
嵌入子流形 \((\varphi,M)\) ，在像 \(\varphi(M)\) 上可以给出一个微分结构使 \(\varphi:M\to\varphi(M)\) 是可微同胚，这给出 \(\varphi(M)\) 的一个拓扑；另一方面 \(\varphi(M)\) 作为 \(N\) 的子集，从 \(N\) 继承了拓扑。两者通常来说不一致，且前者细于后者。两者相同的情况引出以下定义：
Def 3.2 \(N\) 的光滑子流形 \((\varphi,M)\) 。若 \(\varphi:M\to\varphi(M)\) 是 \(M\) 和作为 \(N\) 的子空间的 \(\varphi(M)\) 之间的同胚，则称 \((\varphi,M)\) 是 \(N\) 的正则子流形 ，且称 \(\varphi\) 是 \(M\) 在 \(N\) 中的正则嵌入。
++Theo 3.4++ \(n\) 维光滑流形 \(N\) 的 \(m\) 维光滑子流形 \((\varphi,M)\) ，其是正则子流形的充要条件是：其是 \(N\) 的开子流形的闭子流形。
Proof ：\(\Leftarrow\) ：由于不需要闭集的条件，不妨假设那个"开子流形"就是 \(N\) ，即只考虑 \(N\) 的闭子流形。任意一点 \(p\in M\) ，根据闭子流形的定义，在 \(N\) 中 \(q=\varphi(p)\) 有一个局部坐标系 \((V;v^\alpha)\) ，使得 \(\varphi(M)\cap V\) 是由 \(v^{m+1}=\cdots=v^n=0\) 定义的。由 \(\varphi\) 的连续性，存在 \(p\) 的局部坐标系 \((U;u^i)\) 使得 \(\varphi(U)\sub V\) 。不妨假设 \(p,q\) 是局部坐标系下的原点，并假设 \(V=\{(v^1,\cdots,v^n)\big|\ |v^\alpha|<\delta\}\) ，那么 \(\varphi(U)\sub\varphi(M)\cap V\) ， \(\varphi\) 在 \(U\) 上局部地表示为
\\\left\\{ \\begin{align\*} \& v\^i=\\varphi\^i(u\^1,\\cdots,u\^m)\\ , \&\& 1\\leqslant i\\leqslant m \\\\ \& v\^\\gamma=0\\ , \&\& m+1\\leqslant \\gamma\\leqslant n \\end{align\*} \\right. \\
那么Jacobi行列式 \(\det\left.\cfrac{\part(\varphi^1,\cdots,\varphi^m)}{\part(u^1,\cdots,u^m)}\right|_{u^i=0}\neq 0\) ，根据 ++Theo 3.1++ 存在 \(0<\delta'<\delta\)，函数 \((\varphi^i)\) （视作 \(m\) 维向量场）有反函数 \((\psi^i)\) 使得 \(|v^i|<\delta'\) 时 \(u^i=\psi^i(v^1,\cdots,v^m)\) 。因此在 \(V'=\{(v^1,\cdots,v^n)\big|\ |v^\alpha|<\delta'\}\) 满足 \(\varphi^{-1}(\varphi(M)\cap V')\sub U\) 。由于 \(U\) 可以取得任意小，因此在 \(q\) 点 \(\varphi^{-1}:\varphi(M)\to M\) 是连续的。由于 \(q\) 的任意性， 整个 \(\varphi^{-1}:\varphi(M)\to M\) 是连续的，因此 \(\varphi\) 是同胚。
\(\Rightarrow\) ：由于 \(\varphi\) 是同胚，任意一点 \(p\in M\) 的任意邻域 \(U\) ，存在 \(q=\varphi(p)\) 的邻域 \(V\) 使 \(\varphi(U)=\varphi(M)\cap V\) 。根据 ++Theo 3.3++ ，存在 \(p,q\) 的局部坐标系 \((U',u^i),(V',v^\alpha)\) 使得 \(\varphi(U')\sub V'\) ，且 \(\varphi\) 在 \(U\) 上局部地表示为\(\varphi(u^1,\cdots,u^m)=(u^1,\cdots,u^m,0,\cdots,0)\) 。不妨 \(U'\sub U\) ，并取 \(V'\sub V\) 使得 \(\varphi(U')=\varphi(M)\cap V'\) ，那么 \(\varphi(M)\cap V'\) 是由 \(v^{m+1}=\cdots=v^n=0\) 定义的，正则子流形的条件 \((2)\) 已然满足。
对于每一个 \(q\) 记这个 \(V'\) 为 \(V_q\) ，令 \(W=\bigcup{V_p}\) ，则 \(W\) 是 \(N\) 的开子流形，只需说明 \(\varphi(M)\) 是 \(W\) 的闭集，这只需证 \(\overline{\varphi(M)}\cap W\sub\varphi(M)\) 。任意 \(s\in \overline{\varphi(M)}\cap W\) ，存在一个 \(V_q\ni s\) 。在局部坐标下 \(\varphi(M)\cap V_q\) 之于 \(V_q\) 相当于 \(m\) 维子平面 \(\R^m\times\{0\}^{n-m}\) 之于 \(\R^n\) ，则 \(\varphi(M)\cap V_q\) 是 \(V_q\) 的闭集，那么 \(s\in \varphi(M)\cap V_q\) 。因此 \(\overline{\varphi(M)}\cap W\sub\varphi(M)\) 。这就证明了 \((\varphi,M)\) 是开子流形 \(W\) 的闭子流形。
推论： \(N\) 的光滑子流形 \((\varphi,M)\) 是正则子流形的充要条件是： 对每一点 \(q\in\varphi(M)\) ，存在一个局部坐标系 \((V;v^\alpha)\) ，使得 \(q\) 是原点，且 \(\varphi(M)\cap V\) 是由 \(v^{m+1}=\cdots=v^n=0\) 定义的。
++Theo 3.5++ \(N\) 的光滑子流形 \((\varphi,M)\) ，若 \(M\) 是紧致的，则其是正则子流形。
Proof ：紧致空间到Hausdorff空间的连续双射是同胚[[1]](#[1])，因此其是正则子流形。
由于欧式空间有良好的性质，希望将流形嵌入到欧式空间中进行研究。这需要使用以下的一系列重要引理，它们可以看做Urysohn引理在流形上的推广：
++Lem 3.1++ \(D_1,D_2\) 是 \(\R^m\) 的同心开球，且 \(\overline{D_1}\sub D_2\) ，则存在光滑函数 \(f:\R^m\to0,1\) ，使得 \(f(D_1)=\{1\},\) \(f(\R^m - D_2)=\{0\}\) 。
Proof ：不妨设 \(D_1,D_2\) 的球心为原点，半径为 \(r_1,r_2\) ，令
\g(t)=\\left\\{ \\begin{align\*} \& \\exp{\\frac{1}{(t-a\^2)(t-b\^2)}} \\ , \&\& t\\in(a\^2,b\^2) \\\\ \& 0 \\ , \&\& t\\notin(a\^2,b\^2) \\end{align\*} \\right. \\\\ F(t)=\\int_{t}\^{+\\infin}{g(s)\\text{d}s}\\Big/\\int_{-\\infin}\^{+\\infin}{g(s)\\text{d}s} \\
则 \(0\leqslant F(t)\leqslant 1\) ， 当 \(t\leqslant a^2\) 时 \(F(t)=1\) ，当 \(t\geqslant b^2\) 时 \(F(t)=0\) （如此构造 \(F\) 主要是为了光滑性）。令 \(f:\R^m\to0,1\) 为 \(f(x^1,\cdots,x^m)=F((x^1)^2+\cdots+(x^m)^2)\) ，则它满足要求。
++Lem 3.2++ \(U,V\) 是 \(\R^m\) 的非空开集，使得 \(\overline V\) 是紧致的，而且 \(\overline V\sub U\)，则存在光滑函数 \(f:\R^m\to0,1\) ，使得 \(f(V)=\{1\},f(\R^m - U)=\{0\}\) 。
Proof ：存在有限多组开球 \(\{D^{(1)}_i,D^{(2)}_i\}\) 使得 \(\overline{D^{(1)}_i}\sub D^{(2)}_i\sub U\) 且 \(\{D^{(1)}_i\}\) 覆盖 \(\overline{V}\) ，对每一对 \(D^{(1)}_i,D^{(2)}_i\) 利用 Lem 3.1 给出光滑函数 \(f_i\) ，那么 \(f=1-\prod{(1-f_i)}\) 满足要求。
++Lem 3.3++ \((U,\varphi_U)\) 是光滑流形 \(M\) 的坐标卡，\(V\) 是 \(M\) 的非空开集，使得 \(\overline V\) 是紧致的，而且 \(\overline V\sub U\)，则存在光滑函数 \(f:M\to0,1\) ，使得 \(f(V)=\{1\},f(M - U)=\{0\}\) 。
Proof ：流形 \(M\) 是局部紧致的[[2]](#[2])，则存在开集 \(U_1\) 使得 \(\overline{V}\sub U_1\sub\overline{U_1}\sub U\) 。对一对开集 \(\varphi_U{V},\varphi_U{U_1}\) 使用 Lem 3.2 给出光滑函数 \(h\) ，那么以下函数 \(f\) 满足要求：
\f(p)=\\left\\{ \\begin{align\*} \& h\\circ\\varphi_U(p) \\ , \&\& p\\in U \\\\ \& 0 \\ , \&\& p\\notin U \\end{align\*} \\right. \\\\ \\
由此，可以将紧致流形嵌入欧式空间[[3]](#[3])：
++Theo 3.6++ \(M\) 是 \(m\) 维紧致的光滑流形，则存在一个正整数 \(n\) 和光滑映射 \(\varphi:M\to\R^n\) ，使得 \((\varphi,M)\) 是 \(\R^n\) 的正则子流形。
Proof ：存在 \(M\) 的有限开覆盖 \(\{V_j\}_{1\leqslant j\leqslant r}\) ，使得每一个 \(\overline{V_j}\) 是紧致的，且被包含在一个局部坐标系 \((U_j;u_j^i)\) 中。对于每一个 \(\overline{V_j}\) 存在开集 \(W_j\) 使得 \(\overline{V_j}\sub W_j\sub\overline{W_j}\sub U_j\) 。对每一对 \(V_j,W_j\) 使用 Lem 3.3 给出光滑函数 \(f_i\) ，然后在 \(M\) 上定义 \(n=r(m+1)\) 个光滑函数：
\\\left\\{ \\begin{align\*} \& x\^0_j=f_j \\\\ \& x\^i_j(p)=\\left\\{\\begin{aligned} \& u\^i_j(p)\\cdot f_i(p)\\ , \&\& p\\in U_i \\\\ \& 0\\ , \&\& p\\notin U_i \\end{aligned}\\right. \\end{align\*} \\right. \\\\ \\
将 \((x^i_j)_{0\leqslant i\leqslant m,1\leqslant j\leqslant r}\) 视作 \(\R^n\) 中的一个点，那么上式给出了映射 \(\varphi:M\to\R^n\) 。
下证 \(\varphi\) 是正则嵌入，根据 ++Theo 3.5++ 只需证明 \(\varphi\) 是单射且是浸入。单射：若 \(p,q\in M\) 使 \(\varphi(p)=\varphi(q)\) ，则 \(x^i_j(p)=x^i_j(q)\) ；由于 \(\{V_i\}\) 是覆盖，存在一个 \(V_k\ni p\) ，由于 \(f_k(q)=x^0_k(q)=x^0_k(p)=f_k(p)=1\) ，且每一个 \(i\) 都有 \(u^i_k(q)=u^i_k(p)\) ，则 \(q\in U_k\) ，且在局部坐标系 \((U_k;u_k^i)\) 中 \(p,q\) 有相同的坐标，则 \(p=q\) 。浸入：\(\forall p\in M\) ，存在一个 \(V_k\ni p\) ，在其中 \(f_k(p)=1\) ，则 \(x^i_k\big|_{V_k}=u^i_k\) ，因此 \(\left.\cfrac{\part(x^1_k,\cdots,x^m_k)}{\part(u^1_k,\cdots,u^m_k)}\right|p=1\) ，因此切映射 \(\varphi*\) 是单射，\(\varphi\) 是嵌入。
§4 Frobenius定理
Def 4.1 映射 \(X\) 将光滑流形 \(M\) 的一点 \(p\) 映为切矢量 \(X_p\in T_p\) ，则称 \(X\) 是光滑流形 \(M\) 上的切矢量场 。每一个切矢量 \(X_p\) 可视作函数 \(X_p:C^{\infin}\to\R\) ；对于 \(f\in C^{\infin}\) ，令 \((Xf)(p)=X_pf\) ，则 \(Xf\) 是 \(M\) 上的函数。若任意 \(f\in C^{\infin}\) ，\(Xf\) 都是光滑函数，则称 \(X\) 是 \(M\) 上的光滑切矢量场。
由此可见，光滑切矢量场可以视作算子 \(X:C^{\infin}\to C^{\infin}\) 。++Theo 2.3++ 可以照搬过来，得到算子 \(X\) 的性质： \((1)\) \(X(\alpha f+\beta g)=\alpha\cdot Xf+\beta\cdot Xg\) \((2)\) \(X(fg)=f\cdot Xg+g\cdot Xf\)
下面研究光滑切矢量场 \(X\) 的局部性质。首先对于 \(M\) 的非空开集 \(U\) ，限制 \(X|_U\) 仍是光滑切矢量场。把 \(U\) 取成局部坐标系 \((U;u^i)\) ，就得到光滑切矢量场的局部表示：
++Theo 4.1++ \(X\) 是光滑流形 \(M\) 上的切矢量场，则 \(X\) 是光滑切矢量场 \(\Leftrightarrow\) 对于任意点 \(p\in M\) ，存在 \(p\) 处的局部坐标系 \((U;u^i)\) ，使得 \(X\) 限制在 \(U\) 上可以表示为
\X\|_U=\\sum_{i=1}\^{m}{\\xi\^i\\frac{\\part}{\\part u\^i}} \\
其中 \(\xi^i\) 是定义在 \(U\) 上的光滑函数。（这是比较显然的，需要注意到 \(\xi^i=X|_U u^i\)）
Note：可以看出光滑切矢量场局部地表示为切矢量的"光滑"组合。
Def 4.2 对于 \(M\) 上的光滑切矢量场 \(X,Y\) ，其Poisson括号积 定义为 \(X,Y=XY-YX\) 。
\(X,Y\) 也是光滑切矢量场，即 \(X,Y(f+g)=X,Yf+X,Yg\) ，\(X,Y(fg)=fX,Yg+gX,Yf\) 。
++Theo 4.2++ 对于 \(M\) 上的光滑切矢量场 \(X,Y,Z\) 和 \(f,g\in C^\infin(M)\) ，以下成立（根据定义验证即可）
\\\begin{align\*} \& (1)\\ \[X,Y=-Y,X \\ & (2)\ X+Y,Z=X,Z+Y,Z \\ & (3)\ fX,gY=f(Xg)Y-g(Yf)X+fgX,Y\\ & (4)\ X,\[Y,Z]+Y,\[Z,X]+Z,\[X,Y]=0 \end{align*} \]
现在可以用局部坐标表示 \(X,Y\) 。对于局部坐标系 \((U;u^i)\) ， \(X,Y\) 可以表示成
\X\|_U=\\sum_{i=1}\^{m}{\\xi\^i\\frac{\\part}{\\part u\^i}}\\ ,\\ \\ \\ \\ Y\|_U=\\sum_{i=1}\^{m}{\\eta\^i\\frac{\\part}{\\part u\^i}} \\
注意到 \(\left\\cfrac{\\part}{\\part u\^i},\\cfrac{\\part}{\\part u\^j}\\right=0\) ，那么
\\[X,Y|U=\sum{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{m}{\left(\xi^i\frac{\part \eta^j}{\part u^i}-\eta^i\frac{\part \xi^j}{\part u^i}\right)\frac{\part}{\part u^j}} \]
Def 4.3 \(X\) 是光滑流形 \(M\) 上的光滑切矢量场，若 \(p\in M\) 使得 \(X_p=0\) ，则称 \(p\) 是 \(X\) 的一个奇点。
矢量场在奇点附近的性质是极其复杂的，与流形的拓扑性质密切相关。然而在非奇点处，光滑切矢量场的性质是十分简单的，描述如下：
++Theo 4.3++ \(X\) 是 \(M\) 上的光滑切矢量场，若点 \(p\in M\) 使得 \(X_p\neq0\) ，则存在 \(p\) 处的局部坐标系 \((W;w^i)\) ，使得
\X\|_W=\\frac{\\part}{\\part w\^1} \\
Proof ：根据 ++Theo 4.1++ 存在 \(p\) 处的局部坐标系 \((U;u^i)\) 使得
\X\|_U=\\sum_{i=1}\^{m}{\\xi\^i\\frac{\\part}{\\part u\^i}} \\
由于 \(X_p\neq0\) ，不妨 \(\xi^1(p)\neq0\) ，且根据连续性可以假设其在 \(p\) 的充分小的邻域上非零。根据常微分方程的理论，在 \(p\) 的充分小的邻域 \(W\) 上以下常微分方程组有解（将 \(u^1\) 视作自变量，其余 \(u^i\) 视作未知函数）
\\\frac{\\text{d}u\^i}{\\text{d}u\^1}=\\frac{\\xi\^i(u\^1,\\cdots,u\^m)}{\\xi\^1(u\^1,\\cdots,u\^m)} \\
假设解为 \(u^i=\varphi^i(u^1)\) ，这个解是光滑的，并且初值 \(v^i=\varphi^i(0)\) 可以在 \(W\) 上任取，且每一个解对初值组的依赖是光滑的。记 \(v^1=u^1\) ，那么局部坐标系 \((W;v^i)\) 和 \((U;u^i)\) 限制在 \(W\) 上的部分之间存在光滑的坐标变换（变换是由 \(\varphi^i\) 表述的）。在局部坐标系 \((W;v^i)\) 下
\X\|_U=\\sum_{i=1}\^{m}{\\xi\^i\\frac{\\part}{\\part u\^i}} =\\xi\^1\\sum_{i=1}\^{m}{\\frac{\\part u\^i}{\\part v\^1}\\frac{\\part}{\\part u\^i}}=\\xi\^1\\frac{\\part}{\\part v\^1} \\
第二个等号利用了 \(u^1=v^1\) 和 \(\xi^i=\xi^1\cfrac{\part u^i}{\part u^1}\) ，第三个等号是坐标变换。于是只需再令
\w\^1=\\int_{0}\^{1}{\\frac{\\text{d}v\^1}{\\xi\^1}}\\ ,\\ \\ \\ \\ w\^i=v\^i \\
就得到满足题意的局部坐标系。
以上定理说明光滑切矢量场在非奇点处"局部地"表现为切空间的一个自然基矢量。那么能否用多个光滑切矢量场组成一个局部坐标系的切空间的基呢？具体来说，如果 \(M\) 上有 \(h\) 个光滑切矢量场 \(X_1,\cdots,X_h\) ，它们在点 \(p\) 的一个邻域 \(U\) 上处处线性无关（即每一点 \(q\in U\) 都有 \(X_1(q),\cdots,X_h(q)\) 线性无关），那么是否存在 \(p\) 的一个局部坐标系 \((W;w^i)\) 使得 \(X_i|_W=\cfrac{\part}{\part w^i}\) 呢？由于 \(\left\\cfrac{\\part}{\\part w\^i},\\cfrac{\\part}{\\part w\^j}\\right=0\) ，这要求 \(X_i,X_j=0\) 。事实上，这是充要条件（证明过程类比下面的 ++Theo 4.4++）。
以上的要求比较强，通常考虑下面的类似的问题。
Def 4.4 映射 \(L^h\) 将光滑流形 \(M\) 的一点 \(p\) 映为切空间 \(T_p\) 的 \(h\) 维子空间 \(L^h(p)\) 。如果对于每一点 \(p\) ，在 \(p\) 的某个邻域 \(U\) 上存在 \(h\) 个处处线性无关的光滑切矢量场 \(X_1,\cdots,X_h\) ，使得任意 \(q\in U\) ，切子空间 \(L^h(q)\) 都是由矢量 \(X_1(q),\cdots,X_h(q)\) 张成的，则称 \(L^h\) 是 \(M\) 上的 \(h\) 维光滑分布 ，记作 \(L^h|_U=\{X_1,\cdots,X_h\}\) 。
两组张成 \(L^h\) 的光滑切矢量场之间存在着以光滑函数为系数的非退化线性变换。具体而言，对于另一组光滑切矢量场 \(L^h|U=\{Y_1,\cdots,Y_h\}\) ，存在由光滑函数构成的 \(h\) 阶方阵 \(a=(a^\beta\alpha)\) ，使得每一点处 \(\det a\neq0\) ，且
\Y_\\alpha=\\sum_{\\beta=1}\^{h}{a_\\alpha\^\\beta X_\\beta} \\
问题是，是否存在局部坐标系 \((W;w^i)\) 使得
\L\^h\|_W=\\left\\{\\frac{\\part}{\\part w\^1},\\cdots,\\frac{\\part}{\\part w\^h}\\right\\} \\
当这一条件成立时，对于 \(L^h|_U=\{X_1,\cdots,X_h\}\) ，存在变换
\X_\\alpha=\\sum_{\\beta=1}\^{h}{a_\\alpha\^\\beta \\frac{\\part}{\\part w\^\\beta}} \\
在此情况下，有
\\[X_\\alpha,X_\\beta=\sum_{\delta,\eta=1}^{h}{\left(a_\alpha^\delta\frac{\part a_\beta^\eta}{\part w^\delta}-a_\beta^\delta\frac{\part a_\alpha^\eta}{\part w^\delta}\right)\frac{\part}{\part w^\eta}}=\sum_{\gamma=1}^{h}{C_{\alpha\beta}^\gamma X_\gamma} \]
这里利用了Poisson括号积的表示和上述变换，其中的参数（ \(a^{-1}\) 表示 \(a\) 的逆矩阵）
\C_{\\alpha\\beta}\^{\\gamma}=\\sum_{\\delta,\\eta=1}\^{h}{\\left(a_\\alpha\^\\delta\\frac{\\part a_\\beta\^\\eta}{\\part w\^\\delta}-a_\\beta\^\\delta\\frac{\\part a_\\alpha\^\\eta}{\\part w\^\\delta}\\right)(a\^{-1})\^\\gamma_\\eta} \\
这就是说 \(X_\\alpha,X_\\beta\) 可以表示为 \(X_1,\cdots,X_h\) 的线性组合。
Def 4.5 \(L^h\) 是 \(M\) 上的 \(h\) 维光滑分布。若任意使 \(L^h|_U=\{X_1,\cdots,X_h\}\) 的一组光滑切矢量场 \(X_1,\cdots,X_h\) ，其中的每一对 \(X_\\alpha,X_\\beta\) 都可以表示为 \(X_1,\cdots,X_h\) 的线性组合，则称 \(L^h\) 满足Frobenius条件。
++Theo 4.4++ （Frobenius定理） \(L^h\) 是 \(M\) 上的 \(h\) 维光滑分布。 \(L^h\) 在 \(U\) 上满足Frobenius条件 \(\Leftrightarrow\) 对于任意 \(p\in U\) ，存在 \(p\) 的局部坐标系 \((W;w^i)\) ，\(W\sub U\)，使得
\L\^h\|_W=\\left\\{\\frac{\\part}{\\part w\^1},\\cdots,\\frac{\\part}{\\part w\^h}\\right\\} \\
Proof ：\(\Leftarrow\) 已经说明。 \(\Rightarrow\) ：对维数 \(h\) 归纳。\(h=1\) 时即是 ++Theo 4.3++ 。若 \(h-1\) 维成立， \(h\) 维时，对于满足Frobenius条件的 \(L^h=\{X_1,\cdots,X_h\}\) ，这个条件意味着[[4]](#[4])
\\[X_\\alpha,X_\\beta\equiv 0\ (\text{mod}\ X_\gamma)\ \ \ \ 1\leqslant \alpha,\beta\leqslant h \]
由 ++Theo 4.3++ 存在 \(p\) 处的局部坐标系 \((y^1,\cdots,y^m)\) 使得 \(X_h=\cfrac{\part}{\part y^h}\) 。
以下设 \(1\leqslant \lambda,\mu,\nu\leqslant h-1\) ，并定义
\X'_\\lambda=X_\\lambda-(X_\\lambda y\^h)X_h \\
显然有 \(X'_\lambda y^h=0,X_h y^h=1\) 。处处线性无关的组 \(X'1,\cdots,X'{h-1},X_h\) 仍然张成 \(L^h\) ，则由Frobenius条件
\\[X'_\\lambda,X'_\\mu\equiv a_{\lambda\mu}X_h \ (\text{mod}\ X'_\nu) \]
将上式两边同时作用于 \(y^h\) ，得 \(a_{\lambda\mu}=0\) ，于是 \(L'^{h-1}=\{X'1,\cdots,X'{h-1}\}\) 满足Frobenius条件。因此由归纳假设存在 \(p\) 的局部坐标系 \((z^1,\cdots,z^m)\) 使得
\L'\^{h-1}=\\left\\{\\frac{\\part}{\\part z\^1},\\cdots,\\frac{\\part}{\\part z\^{h-1}}\\right\\} \\
两个组之间存在光滑的非退化线性变换，则 \(\cfrac{\part}{\part z^\lambda}y^h=0\) ，因此 \(X_h\) 与它们线性无关。故
\L\^h=\\left\\{\\frac{\\part}{\\part z\^1},\\cdots,\\frac{\\part}{\\part z\^{h-1}},X_h\\right\\} \\
根据Frobenius条件，可设
\\\left\[\\frac{\\part}{\\part z\^\\lambda},X_h\\right\equiv b_\lambda X_h\ \left(\text{mod}\ \frac{\part}{\part z^\mu}\right) \]
将上式两边同时作用于 \(y^h\) ，得 \(b_{\lambda}=0\) ，所以
\\\left\[\\frac{\\part}{\\part z\^\\lambda},X_h\\right=\sum_{\mu=1}^{h-1}{C_{\lambda\mu}\frac{\part}{\part z^\mu}} \]
在 \((z^1,\cdots,z^m)\) 下 \(X_h\) 可表示为 \(X_h=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}{\xi^i\frac{\part}{\part z^i}}\) ，则
\\\left\[\\frac{\\part}{\\part z\^\\lambda},X_h\\right=\sum_{i=1}^{m}{\frac{\part \xi^i}{\part z^\lambda}\frac{\part}{\part z^i}} \]
两相对比，得到 \(1\leqslant \lambda\leqslant h-1,h\leqslant i\leqslant m\) 时 \(\cfrac{\part \xi^i}{\part z^\lambda}=0\) ，因此 \(\xi^i\) 是只与 \(z^h,\cdots,z^m\) 有关的函数。于是可以令 \(X'h=\displaystyle\sum{i=h}^{m}{\xi^i\frac{\part}{\part z^i}}\) ，仍然有 \(L^h=\left\{\cfrac{\part}{\part z^1},\cdots,\cfrac{\part}{\part z^{h-1}},X'_h\right\}\) 。由 ++Theo 4.3++ 存在从 \((z^h,\cdots,z^m)\) 到 \((w^h,\cdots,w^m)\) 的坐标变换使得 \(X'_h=\cfrac{\part}{\part w^h}\) ，再令 \(w^\lambda=v^\lambda\ \ (1\leqslant \lambda\leqslant h-1)\) ，则
\L\^h=\\left\\{\\frac{\\part}{\\part w\^1},\\cdots,\\frac{\\part}{\\part w\^h}\\right\\} \\
Note ：此定理还有一个基于外微分叙述的对偶形式，见第三章 ++Theo 2.4++ 。