深入理解二叉查找树(BST)的重要查找操作

二叉查找树 (Binary Search Tree, 简称 BST) 是一种基本的数据结构，其设计核心在于每个节点的值都满足以下性质：

• 左子树的所有节点值均小于当前节点值。
• 右子树的所有节点值均大于当前节点值。

这使得二叉查找树能够高效地支持一系列查找相关操作，包括普通查找、前驱后继查询、基于排名的查询以及基于值的排名计算。在树形合理时，bst 可以以 log 的时间快速进行集合查找。

本文将结合代码和理论讲解这些操作，帮助读者全面掌握 BST 的查找机制。

假定我们这样构造二叉树：

struct TreeNode {
    int value;       // 节点的值
    int size;        // 以该节点为根的子树大小
    TreeNode* left;  // 指向左子树
    TreeNode* right; // 指向右子树

    TreeNode(int v) : value(v), size(1), left(nullptr), right(nullptr) {}
};

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1. 普通查找

问题描述

给定一个值 $ x $，我们希望在 BST 中找到值等于 $ x $ 的节点。

查找思路

从根节点开始递归或迭代：

• 如果当前节点值等于 $ x $，则查找成功。
• 如果 $ x $ 小于当前节点值，则进入左子树继续查找。
• 如果 $ x $ 大于当前节点值，则进入右子树继续查找。
• 如果到达空节点，查找失败。

代码实现

TreeNode* find(TreeNode* root, int value) {
    if (!root || root->value == value) return root;
    if (value < root->value) return find(root->left, value);
    return find(root->right, value);
}

时间复杂度

• 平衡树：$ O(\log n) $
• 非平衡树（退化为链表）：$ O(n) $

即效率取决于树高。

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2. 查找前驱和后继

前驱与后继的定义

• 前驱：小于给定值的最大节点。
• 后继：大于给定值的最小节点。

前驱查找

• 如果节点有左子树，前驱是左子树中值最大的节点。
• 如果节点没有左子树，沿着父节点回溯，找到第一个右子树包含当前节点的祖先节点。

后继查找

• 如果节点有右子树，后继是右子树中值最小的节点。
• 如果节点没有右子树，沿着父节点回溯，找到第一个左子树包含当前节点的祖先节点。

代码实现

TreeNode* findPredecessor(TreeNode* root, int value) {
    TreeNode* predecessor = nullptr;
    while (root) {
        if (value > root->value) {
            predecessor = root;
            root = root->right;
        } else {
            root = root->left;
        }
    }
    return predecessor;
}

TreeNode* findSuccessor(TreeNode* root, int value) {
    TreeNode* successor = nullptr;
    while (root) {
        if (value < root->value) {
            successor = root;
            root = root->left;
        } else {
            root = root->right;
        }
    }
    return successor;
}

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3. 以排名查询值

问题描述

给定一个排名 $ k $，找到 BST 中第 $ k $ 小的节点值。

额外信息：子树大小

为了保存排名信息，我们在每个节点存储一个额外的属性 size，表示以当前节点为根的子树大小。

• 根节点的子树大小为其左子树大小加右子树大小再加 1。
• 在插入节点时动态更新 size 属性。

查询思路

1. 计算左子树大小 $ \text{size}_{\text{left}} $。
2. 如果 $ k = \text{size}_{\text{left}} + 1 $，当前节点即为所求。
3. 如果 $ k \leq \text{size}_{\text{left}} $，在左子树中递归查找。
4. 如果 $ k > \text{size}{\text{left}} + 1 $，在右子树中递归查找，更新 $ k = k - \text{size}{\text{left}} - 1 $。

代码实现

TreeNode* findByRank(TreeNode* root, int k) {
    if (!root) return nullptr;
    int leftSize = root->left ? root->left->size : 0;
    if (k == leftSize + 1) return root;
    if (k <= leftSize) return findByRank(root->left, k);
    return findByRank(root->right, k - leftSize - 1);
}

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4. 以值查询排名

问题描述

给定一个值 $ x $，求其在 BST 中的排名（即有多少节点值小于 $ x $）。

查询思路

1. 初始化排名计数器 $ \text{rank} = 0 $。
2. 遍历树路径：
   • 如果 $ x $ 小于当前节点值，进入左子树。
   • 如果 $ x $ 大于当前节点值，更新 $ \text{rank} += \text{size}_{\text{left}} + 1 $，进入右子树。
   • 如果找到值等于 $ x $，返回当前排名。
3. 如果到达空节点，说明值不存在。

代码实现

int findRankByValue(TreeNode* root, int value) {
    int rank = 0;
    while (root) {
        if (value < root->value) {
            root = root->left;
        } else {
            rank += (root->left ? root->left->size : 0) + 1;
            if (value == root->value) return rank;
            root = root->right;
        }
    }
    return -1; // 值不存在
}

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总结

操作	方法描述	时间复杂度
查找值	从根节点沿路径递归查找。	O(h)
查找前驱/后继	利用树的结构特性，寻找最接近的节点值。	O(h)
以排名查询值	利用子树大小属性，从根递归寻找第 ( k ) 小节点。	O(h)
以值查询排名	统计路径中左子树大小，计算排名。	O(h)

通过本文的讲解和代码示例，希望读者能够掌握 BST 的查找操作，并能在实际开发中灵活运用这些知识。

然而，需要注意的是，查找操作的效率高度依赖于树的平衡性。当 BST 不平衡时，其性能可能退化到与链表类似，导致时间复杂度变为 $ O(n) $。因此，在进行插入和删除操作时，保持树的平衡是至关重要的。

为了解决这一问题，平衡二叉树（如 AVL 树、红黑树）通过特定的旋转操作，保证了树的高度始终保持在 $ O(\log n) $ 的级别。作为延伸思考，你可以研究平衡树的原理及其在保持效率上的作用。