P2834 纸币问题 3

题目背景

你是一个非常有钱的小朋友。

注意： 本题和《进阶篇》的对应题目，输入格式略有差异。

题目描述

你有 n n n 种面额互不相同的纸币，第 i i i 种纸币的面额为 a i a_i ai 并且有无限张，现在你需要支付 w w w 的金额，请问有多少种纸币组合能恰好支付金额 w w w，答案对 10 9 + 7 10^9+7 109+7 取模。

输入格式

第一行两个正整数 n , w n,w n,w，分别表示纸币的种数和要凑出的金额。

第二行一行 n n n 个以空格隔开的正整数 a 1 , a 2 , ... a n a_1, a_2, \dots a_n a1,a2,...an 依次表示这 n n n 种纸币的面额。

输出格式

一行一个整数，表示能恰好凑齐面额 w w w 的纸币组合数量。

输入输出样例 #1

输入 #1

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6 15
1 5 10 20 50 100

输出 #1

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输入输出样例 #2

输入 #2

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3 15
1 5 11

输出 #2

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说明/提示

对于 40 % 40\% 40% 的数据，满足 n ≤ 10 n\le 10 n≤10， w ≤ 100 w\le 100 w≤100；

对于 100 % 100\% 100% 的数据，满足 1 ≤ n ≤ 10 3 1\le n\le 10^3 1≤n≤103， 1 ≤ a i ≤ w ≤ 10 4 1\le a_i \le w\le 10^4 1≤ai≤w≤104。

其实小朋友并不有钱。

同 P2842 纸币问题 1 和 P2840 纸币问题 2。

考虑 dp 做法，令 dp[i] 为凑齐金额 i 的币种组合数，

状态转移方程： d p [ i ] = d p [ i − a [ j ] ] dp[i]=dp[i-a[j]] dp[i]=dp[i−a[j]]， a [ j ] a[j] a[j]表示第 j 种纸币。

与前两题不同，这里求的是组合数，由于组合不考虑顺序，故我们希望在更新dp------即当前子问题时已有组合中不包括当前讨论的面额。在代码中的表现即为外层遍历纸币面额，内层遍历从 1 到 w 的金额。

c++ 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n, w;
    cin >> n >> w;
    vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> a[i];
    }

    const int MOD = 1e9+7;
    vector<int> dp(w + 1, 0);
    dp[0] = 1;
    
    for (int i = 0; i < n; ++i) { // 外层遍历纸币面额
        for (int x = 1; x <= w; ++x) {
            if (a[i] <= x && dp[x - a[i]] < MOD) {
                dp[x] = (dp[x] + dp[x - a[i]]) % MOD;
            }
        }
    }
    cout << dp[w] << "\n";
    return 0;
}