[GESP样题 七级] 最长不下降子序列题解

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题目大意

给定一个有向图无环图\(G\)，在这个图中寻找一条路径，是这条路径上的点权所组成的序列的最长不下降子序列的长度最长。

思路部分

解决无后效性

求一个有向无环图中的最长不下降子序列，不难想到这应该是一个图上dp，而在一个图中我们没法保证编号\(1\)到\(N\)去计算一定是满足了无后效性的，所以我们考虑找到一个顺序，这个顺序满足无后效性。

而在有向无环图中寻找一个序列，这个序列满足对于任意\(i(1≤i≤n)\)，小于\(i\)的所有节点都在\(i\)的左边（或一样），大于\(i\)的所有节点都在\(i\)的右边（或一样）。

根据上述定义，不难看出这是这个有向图的拓扑序列。拓扑序的求法如下：

1. 找到入度为\(0\)的点，入队。
2. 重复执行直到队列为空，从队首取出一个元素\(u\)，枚举这个点能够到达的点\(v\)，把点\(v\)的入度减一，判断如果点\(v\)的入度为0，那么入队。

在求拓扑序时，已经满足了无后效性这个条件，所以我们直接在这个过程中对答案求解。

解决动态规划

接着，我们讨论该如何对答案进行求解。

考虑在线性元素中对最长不下降子序列求解的定义为：以第\(i\)个元素为结尾的最长长度。那么我们是否能再次运用这个定义呢？

答案是肯定不行 。第一：时间复杂度接受不了\(o(N^2)\)会炸。第二：我们无法知道以更加前面的节点为结尾的最长长度。

那么我们该如何求解呢？

根据数据范围可知，虽然点和边的数量很大，但是每个节点的点权很小，最大也就才\(10\)。所以我们可以想出以节点\(i\)，点权为\(j\)结尾的最长子序列。这时，我们不需要直到之前的节点了，只需要枚举颜色是什么即可。而转移方程类似于背包，代码入下：

for(int i = 1; i <= n; i++)
		if(!in[i]){//寻找入度为0的点
			q.push(i);
			f[i][a[i]] = 1;//对dp数组初始化
		}
			
	while(!q.empty()){//寻找拓扑序
		int x = q.front(); q.pop();//队首出队
		
		for(auto y : mp[x]){//枚举它能到达的点
			for(int i = 1; i <= 10; i++){
				f[y][i] = max(f[y][i], f[x][i]);//直接转移
				if(a[y] >= i) //如果我的点权大于等于i，那我就可以把长度增加以（在f[x][i]的基础上）
					f[y][a[y]] = max(f[y][a[y]], f[x][i] + 1);//更新
			}
			
			if(-- in[y] == 0)//寻找入度为0的点，入队
				q.push(y);
		}
	}

这就是这个题的核心代码，读者看到这就可以自行实现一下了！但如果还是不会，那么完整代码入下。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, A = 20;
int n, m, f[N][A], ans, in[N], a[N];
vector <int> mp[N];
queue <int> q;

int main(){
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
	
	while(m --){
		int u, v; scanf("%d %d", &u, &v);
		
		mp[u].push_back(v);
		in[v] ++;
	}
	
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		if(!in[i]){
			q.push(i);
			f[i][a[i]] = 1;
		}
			
	while(!q.empty()){
		int x = q.front(); q.pop();
	
		
		for(auto y : mp[x]){
			for(int i = 1; i <= 10; i++){
				f[y][i] = max(f[y][i], f[x][i]);
				if(a[y] >= i) 
					f[y][a[y]] = max(f[y][a[y]], f[x][i] + 1);
			}
			
			if(-- in[y] == 0)
				q.push(y);
		}
	}
	
	
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = 1; j <= 10; j++)
			ans = max(ans, f[i][j]);
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}

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