5.4 黎曼积分与勒贝格积分
5.4.0 达布积分
Definition \textbf{Definition} Definition Darboux \text{Darboux} Darboux 积分
设有界函数 f : [ a , b ] → R f:[a,b]\to\mathbb{R} f:[a,b]→R，区间分划
P : a = x 0 < x 1 < ⋯ < x n = b P:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b P:a=x0<x1<⋯<xn=b记
M i : = sup { f ( x ) : x ∈ [ x i − 1 , x i ] } m i : = inf { f ( x ) : x ∈ [ x i − 1 , x i ] } Δ x i : = x i − x i − 1 M_i:=\sup\{f(x):x\in [x_{i-1},x_i]\} \\m_i:=\inf\{f(x):x\in [x_{i-1},x_i]\} \\\Delta x_i:=x_i-x_{i-1} Mi:=sup{f(x):x∈[xi−1,xi]}mi:=inf{f(x):x∈[xi−1,xi]}Δxi:=xi−xi−1则分别称
S ‾ ( P ) : = ∑ i = 1 n M i ⋅ Δ x i S ‾ ( P ) : = ∑ i = 1 n m i ⋅ Δ x i \overline{S}(P):=\sum_{i=1}^nM_i\cdot\Delta x_i \\\underline{S}(P):=\sum_{i=1}^nm_i\cdot\Delta x_i S(P):=i=1∑nMi⋅ΔxiS(P):=i=1∑nmi⋅Δxi为 达布上、下和 . 分别称
I ∗ : = inf { S ‾ ( P ) } = ∫ a b ‾ f ( x ) d x I ∗ : = sup { S ‾ ( P ) } = ∫ a b ‾ f ( x ) d x I^*:=\inf\{\overline{S}(P)\}=\overline{\int_a^b}f(x)\mathrm{d}x \\I_*:=\sup\{\underline{S}(P)\}=\underline{\int_a^b}f(x)\mathrm{d}x I∗:=inf{S(P)}=∫abf(x)dxI∗:=sup{S(P)}=∫abf(x)dx为 达布上、下积分 . 若
I ∗ = I ∗ I^*=I_* I∗=I∗则称 f f f 达布可积.
5.4.1 黎曼积分
Definition \textbf{Definition} Definition Riemann \text{Riemann} Riemann 积分
记
∣ ∣ P ∣ ∣ : = max 1 ⩽ i ⩽ n Δ x i ||P||:=\max\limits_{1\leqslant i\leqslant n}\Delta x_i ∣∣P∣∣:=1⩽i⩽nmaxΔxi任取 ξ i ∈ [ x i − 1 , x i ] \xi_i\in[x_{i-1},x_i] ξi∈[xi−1,xi]，称
∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i \sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i i=1∑nf(ξi)Δxi为 黎曼和 ，当极限
lim ∣ ∣ P ∣ ∣ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i \lim\limits_{||P||\to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i ∣∣P∣∣→0limi=1∑nf(ξi)Δxi存在，则称其极限值为 黎曼积分 (定积分) ，记作
I = ∫ a b f ( x ) d x I=\int_a^bf(x)\mathrm{d}x I=∫abf(x)dx
Definition \textbf{Definition} Definition 振幅
- 区间的振幅
ω ( I ) = sup x ∈ I f ( x ) − inf x ∈ I f ( x ) \omega(I)=\sup_{x\in I}f(x)-\inf_{x\in I}f(x) ω(I)=x∈Isupf(x)−x∈Iinff(x)- 一点处的振幅
ω ( x ) = lim δ → 0 + ω ( U ( x , δ ) ) = lim δ → 0 + ∣ sup x ∈ U ( x , δ ) f ( x ) − inf x ∈ U ( x , δ ) f ( x ) ∣ = lim δ → 0 + sup x 1 x 2 ∈ U ( x , δ ) ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ \begin{align*} \\\omega(x)&=\lim\limits_{\delta\to 0^+}\omega(U(x,\delta)) \\&=\lim\limits_{\delta\to 0^+}|\sup_{x\in U(x,\delta)}f(x)-\inf_{x\in U(x,\delta)}f(x)| \\&=\lim\limits_{\delta\to 0^+}\sup_{x_1x_2\in U(x,\delta)}|f(x_1)-f(x_2)| \end{align*} ω(x)=δ→0+limω(U(x,δ))=δ→0+lim∣x∈U(x,δ)supf(x)−x∈U(x,δ)inff(x)∣=δ→0+limx1x2∈U(x,δ)sup∣f(x1)−f(x2)∣
ω ( x ) = 0 ⇔ f ∈ C { x } \omega(x)=0\Leftrightarrow f\in C\{x\} ω(x)=0⇔f∈C{x}
∫ [ a , b ] ω ( x ) d x = ∫ a b ‾ f ( x ) d x − ∫ a b ‾ f ( x ) d x \int_{[a,b]}\omega(x)\mathrm{d}x=\overline{\int_a^b}f(x)\mathrm{d}x-\underline{\int_a^b}f(x)\mathrm{d}x ∫[a,b]ω(x)dx=∫abf(x)dx−∫abf(x)dx
Theorem \textbf{Theorem} Theorem Riemann \text{Riemann} Riemann 可积条件
充要条件
f ∈ R [ a , b ] ⇔ ∀ ∣ ∣ P ∣ ∣ : lim ∣ ∣ P ∣ ∣ → 0 S ‾ ( P ) = lim ∣ ∣ P ∣ ∣ → 0 S ‾ ( P ) ⇔ ∀ ∣ ∣ P ∣ ∣ : lim ∣ ∣ P ∣ ∣ → 0 ∑ i = 1 n ω i Δ x i = 0 ⇔ ∀ ε > 0 , ∃ ∣ ∣ P ∣ ∣ , s . t . ∑ i = 1 n ω i Δ x i < ε \begin{align*} f\in R[a,b] &\Leftrightarrow\forall||P||:\lim\limits_{||P||\to 0}\overline{S}(P)=\lim\limits_{||P||\to 0}\underline{S}(P) \\&\Leftrightarrow\forall||P||:\lim\limits_{||P||\to 0}\sum_{i=1}^n\omega_i\Delta x_i=0 \\&\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists||P||,\mathrm{s.t.}\sum_{i=1}^n\omega_i\Delta x_i<\varepsilon \end{align*} f∈R[a,b]⇔∀∣∣P∣∣:∣∣P∣∣→0limS(P)=∣∣P∣∣→0limS(P)⇔∀∣∣P∣∣:∣∣P∣∣→0limi=1∑nωiΔxi=0⇔∀ε>0,∃∣∣P∣∣,s.t.i=1∑nωiΔxi<ε充分条件：
- 闭区间的连续函数必然黎曼可积；
- 闭区间上单调函数必然黎曼可积；
- 闭区间上只有有限个不连续点的有界函数必然黎曼可积. 即所有不连续点组成的集合测度为零.
- 必要条件：
若 f ∈ R [ a , b ] f\in R[a,b] f∈R[a,b]，则 f f f 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 有界.
5.4.2 黎曼积分与勒贝格积分关系
Theorem \textbf{Theorem} Theorem
设有界函数 f : [ a , b ] → R f:[a,b]\to\mathbb{R} f:[a,b]→R
f ∈ R [ a , b ] ⇔ f f\in R[a,b]\Leftrightarrow f f∈R[a,b]⇔f 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上 a . e . a.e. a.e. 连续，即 f f f 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上不连续点集为零测集.
f ∈ R [ a , b ] ⇒ f ∈ L [ a , b ] f\in R[a,b]\Rightarrow f\in L[a,b] f∈R[a,b]⇒f∈L[a,b]，且积分值相同，即
∫ [ a , b ] f ( x ) d x = ∫ a b f ( x ) d x \int_{[a,b]}f(x)\mathrm{d}x=\int_a^bf(x)\mathrm{d}x ∫[a,b]f(x)dx=∫abf(x)dx设非负实函数 f : [ a , + ∞ ) → R + f:[a,+\infty)\to\mathbb{R^+} f:[a,+∞)→R+，
- 若 ∀ A > a : f ∈ R [ a , A ] \forall A>a:f\in R[a,A] ∀A>a:f∈R[a,A]，且 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x ∫a+∞f(x)dx 收敛，则 f ∈ L [ a , + ∞ ) f\in L[a,+\infty) f∈L[a,+∞)，且
∫ [ a , + ∞ ) f ( x ) d x = ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{[a,+\infty)}f(x)\mathrm{d}x=\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x ∫[a,+∞)f(x)dx=∫a+∞f(x)dx- 若 ∀ A > a : f ∈ R [ a , A ] \forall A>a:f\in R[a,A] ∀A>a:f∈R[a,A]，且 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x ∫a+∞f(x)dx 发散，则 f ∈ L [ a , + ∞ ) f\in L[a,+\infty) f∈L[a,+∞)，且
∫ [ a , + ∞ ) f ( x ) d x = + ∞ \int_{[a,+\infty)}f(x)\mathrm{d}x=+\infty ∫[a,+∞)f(x)dx=+∞
Proof: \color{blue}\textbf{Proof:} Proof:
5.4.3 广义积分
Definition \textbf{Definition} Definition 常义积分、广义积分(反常积分)
若积分区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 有限，被积函数 f ( x ) f(x) f(x) 有界，则称定积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx 为常义积分.
若积分区间无限称为无限积分，被积函数无界称为瑕积分，二者统称为广义积分.
5.5 重积分与累次积分
5.5.1 富比尼-托内利定理
Theorem \textbf{Theorem} Theorem Fubini-Tonelli \text{Fubini-Tonelli} Fubini-Tonelli 定理
设 f ( x , y ) ∈ L ( R p + q ) , ( x , y ) ∈ R p + q = R p × R q f(x,y)\in L(\mathbb{R^{p+q}}),(x,y)\in\mathbb{R^{p+q}=R^p\times R^q} f(x,y)∈L(Rp+q),(x,y)∈Rp+q=Rp×Rq，则
a . e . x ∈ R p : f x ( y ) ∈ L ( R q ) a . e . y ∈ R q : f y ( x ) ∈ L ( R p ) a.e.\ x\in\mathbb{R^p}:f_x(y)\in L(\mathbb{R}^q) \\a.e.\ y\in\mathbb{R^q}:f_y(x)\in L(\mathbb{R}^p) a.e. x∈Rp:fx(y)∈L(Rq)a.e. y∈Rq:fy(x)∈L(Rp)
F ( x ) = ∫ R q f ( x , y ) d y ∈ L ( R p ) F ( y ) = ∫ R p f ( x , y ) d x ∈ L ( R q ) F(x)=\int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)\mathrm{d}y\in L(\mathbb{R}^p) \\F(y)=\int_{\mathbb{R}^p}f(x,y)\mathrm{d}x\in L(\mathbb{R}^q) F(x)=∫Rqf(x,y)dy∈L(Rp)F(y)=∫Rpf(x,y)dx∈L(Rq)
∫ R p + q f ( x , y ) d x d y = ∫ R p d x ∫ R q f ( x , y ) d y = ∫ R q d y ∫ R p f ( x , y ) d x \begin{align*} \int_{\mathbb{R^{p+q}}}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y &=\int_{\mathbb{R^p}}\mathrm{d}x\int_{\mathbb{R^q}}f(x,y)\mathrm{d}y \\&=\int_{\mathbb{R^q}}\mathrm{d}y\int_{\mathbb{R^p}}f(x,y)\mathrm{d}x \end{align*} ∫Rp+qf(x,y)dxdy=∫Rpdx∫Rqf(x,y)dy=∫Rqdy∫Rpf(x,y)dx
5.6 定理关系
实变函数 第一章 集合论
实变函数 第二章 点集拓扑
实变函数 第三章 测度论
实变函数 第四章 可测函数
实变函数 第五章 勒贝格积分（一）
实变函数 第五章 勒贝格积分（二）
实变函数 第五章 勒贝格积分（三）