2阶特殊酉群同构于R4空间中的单位球S3
问题：2阶特殊酉群SU(2)的一般形式以及如何证明其同构于R4空间中的单位球S3
2阶特殊酉矩阵的定义： 对于复数域 C \mathbb{C} C上的2阶矩阵 U U U，
U = [ a b c d ] (1) U= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \tag{1} U=[acbd](1)
其中， a , b , c , d ∈ C a,b,c,d \in \mathbb{C} a,b,c,d∈C。若满足 U U † = I UU^{\dagger}=I UU†=I（ U † U^{\dagger} U†是 U U U的共轭转置矩阵），则称 U U U是2阶酉矩阵。进一步地，全体满足 ∣ U ∣ = 1 |U|=1 ∣U∣=1的2阶酉矩阵构成2阶特殊酉群 S U ( 2 ) SU(2) SU(2)。（根据群的定义，容易验证）
如果我们能证明下述命题1 ，则很容易说明 U U U同构于 R 4 \mathbb{R}^{4} R4中的单位球 S 3 S^3 S3。
命题1： 2阶特殊酉矩阵 U U U必定以下形式
U = [ α − β ˉ β α ˉ ] (2) U= \begin{bmatrix} \alpha & -\bar{\beta} \\ \beta & \bar{\alpha} \end{bmatrix} \tag{2} U=[αβ−βˉαˉ](2)
其中， α , β ∈ C \alpha,\beta \in \mathbb{C} α,β∈C且 ∣ α ∣ 2 + ∣ β ∣ 2 = 1 |\alpha|^{2}+|\beta|^{2}=1 ∣α∣2+∣β∣2=1。
证明： 对于(1)式满足 U U † = I UU^{\dagger}=I UU†=I，我们展开得到
U U † = [ a b c d ] [ a ˉ c ˉ b ˉ d ˉ ] = [ a a ˉ + b b ˉ a c ˉ + b d ˉ c a ˉ + d b ˉ c c ˉ + d d ˉ ] = [ 1 0 0 1 ] (3) UU^{\dagger}= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{a} & \bar{c} \\ \bar{b} & \bar{d} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a\bar{a}+b\bar{b} & a\bar{c}+b\bar{d} \\ c\bar{a}+d\bar{b} & c\bar{c}+d\bar{d} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{3} UU†=[acbd][aˉbˉcˉdˉ]=[aaˉ+bbˉcaˉ+dbˉacˉ+bdˉccˉ+ddˉ]=[1001](3)
由(3)式可得，
a a ˉ + b b ˉ = 1 (4) a\bar{a}+b\bar{b}=1 \tag{4} aaˉ+bbˉ=1(4)
c c ˉ + d d ˉ = 1 (5) c\bar{c}+d\bar{d}=1 \tag{5} ccˉ+ddˉ=1(5)
a c ˉ + b d ˉ = 0 (6) a\bar{c}+b\bar{d}=0 \tag{6} acˉ+bdˉ=0(6)
将(6)式变形为 a = b d ˉ c ˉ a=\frac{b\bar{d}}{\bar{c}} a=cˉbdˉ，代入(4)式得
∣ b ∣ 2 ∣ d ∣ 2 ∣ c ∣ 2 + ∣ b ∣ 2 = 1 (7) \frac{|b|^{2}|d|^{2}}{|c|^{2}}+|b|^{2} = 1 \tag{7} ∣c∣2∣b∣2∣d∣2+∣b∣2=1(7)
再将(5)式代入(7)式得
∣ b ∣ 2 ( 1 − ∣ c ∣ 2 ) ∣ c ∣ 2 + ∣ b ∣ 2 = 1 (8) \frac{|b|^{2}(1-|c|^{2})}{|c|^{2}}+|b|^{2} = 1 \tag{8} ∣c∣2∣b∣2(1−∣c∣2)+∣b∣2=1(8)
化简(8)式得 ∣ b ∣ 2 = ∣ c ∣ 2 |b|^2=|c|^2 ∣b∣2=∣c∣2，即 ∣ b ∣ = ∣ c ∣ |b|=|c| ∣b∣=∣c∣。同理可得 ∣ a ∣ = ∣ d ∣ |a|=|d| ∣a∣=∣d∣。这说明 a a a与 d d d的模长相等， b b b与 c c c的模长相等。
不妨设 d = a ˉ e i θ d=\bar{a}e^{i\theta} d=aˉeiθ，进一步地，令 α = a e − i θ 2 \alpha = ae^{-i\frac{\theta}{2}} α=ae−i2θ，则得 a = α e i θ 2 a=\alpha e^{i\frac{\theta}{2}} a=αei2θ， d = α ˉ e i θ 2 d=\bar{\alpha}e^{i\frac{\theta}{2}} d=αˉei2θ。
令 β = b e − i θ 2 \beta = be^{-i\frac{\theta}{2}} β=be−i2θ，即 b = β e i θ 2 b=\beta e^{i\frac{\theta}{2}} b=βei2θ。将 b = β e i θ 2 b=\beta e^{i\frac{\theta}{2}} b=βei2θ， d = a ˉ e i θ d=\bar{a}e^{i\theta} d=aˉeiθ代入(6)式得
c ˉ = − a ˉ b d = − a ˉ β e i θ 2 a ˉ e i θ = − β e − i θ 2 (9) \bar{c}=-\frac{\bar{a}b}{d}=-\frac{\bar{a}\beta e^{i\frac{\theta}{2}}}{\bar{a}e^{i\theta}}=-\beta e^{-i\frac{\theta}{2}} \tag{9} cˉ=−daˉb=−aˉeiθaˉβei2θ=−βe−i2θ(9)
由(9)式得
c = − β ˉ e i θ 2 (10) c=-\bar{\beta}e^{i\frac{\theta}{2}} \tag{10} c=−βˉei2θ(10)
综上， U U U可以写成
U = [ a b c d ] = [ α e i θ 2 β e i θ 2 − β ˉ e i θ 2 α ˉ e θ 2 ] = e i θ 2 [ α β − β ˉ α ˉ ] (11) U= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha e^{i\frac{\theta}{2}} & \beta e^{i\frac{\theta}{2}} \\ -\bar{\beta}e^{i\frac{\theta}{2}} & \bar{\alpha}e^{\frac{\theta}{2}} \end{bmatrix} = e^{i\frac{\theta}{2}}\begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ -\bar{\beta} & \bar{\alpha} \end{bmatrix} \tag{11} U=[acbd]=[αei2θ−βˉei2θβei2θαˉe2θ]=ei2θ[α−βˉβαˉ](11)
注意， ∣ a ∣ 2 + ∣ b ∣ 2 = 1 |a|^{2}+|b|^{2}=1 ∣a∣2+∣b∣2=1，则有 ∣ α ∣ 2 + ∣ β ∣ 2 = 1 |\alpha|^{2}+|\beta|^{2}=1 ∣α∣2+∣β∣2=1。另外，(11)式是一般酉矩阵的形式（即 U U † = I UU^{\dagger}=I UU†=I），但是由于我们讨论的是特殊酉矩阵 （满足 ∣ U ∣ = 1 |U|=1 ∣U∣=1），所以(11)式中的 e i θ 2 = 1 e^{i\frac{\theta}{2}}=1 ei2θ=1。证毕。
命题2： 2阶特殊酉群 S U ( 2 ) SU(2) SU(2)同构于 R 4 \mathbb{R}^{4} R4中的单位球 S 3 S^{3} S3。
证明： 设 U ∈ S U ( 2 ) U \in SU(2) U∈SU(2)， U = [ α − β ˉ β α ˉ ] U=\begin{bmatrix} \alpha & -\bar{\beta} \\ \beta & \bar{\alpha} \end{bmatrix} U=[αβ−βˉαˉ]，其中 α = x + y i \alpha = x+yi α=x+yi， β = z + w i \beta=z+wi β=z+wi， i i i为虚数单位。
因为 ∣ α ∣ 2 + ∣ β ∣ 2 = 1 |\alpha|^2+|\beta|^2=1 ∣α∣2+∣β∣2=1，所以 x 2 + y 2 + w 2 + z 2 = 1 x^{2}+y^{2}+w^{2}+z^{2}=1 x2+y2+w2+z2=1。
Step 1: S U ( 2 ) SU(2) SU(2)中的元素 U = [ α − β ˉ β α ˉ ] U=\begin{bmatrix} \alpha & -\bar{\beta} \\ \beta & \bar{\alpha} \end{bmatrix} U=[αβ−βˉαˉ]与 S 3 S^{3} S3中的元素 ( x , y , z , w ) (x,y,z,w) (x,y,z,w)形成双射 ，记作 ϕ \phi ϕ。
Step 2: 群 S U ( 2 ) SU(2) SU(2)中的群运算定义为
U 1 U 2 = [ α 1 − β ˉ 1 β 1 α ˉ 1 ] [ α 2 − β ˉ 2 β 2 α ˉ 2 ] = [ α 1 α 2 − β ˉ 1 β 2 − α 1 β ˉ 2 − α ˉ 2 β ˉ 1 α 2 β 1 + α ˉ 1 β 2 − β 1 β ˉ 2 + α ˉ 1 α ˉ 2 ] (12) U_1U_2 = \begin{bmatrix} \alpha_1 & -\bar{\beta}_1 \\ \beta_1 & \bar{\alpha}_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_2 & -\bar{\beta}_2 \\ \beta_2 & \bar{\alpha}_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \alpha_1\alpha_2-\bar{\beta}_1\beta_2 & -\alpha_1\bar{\beta}_2-\bar{\alpha}_2\bar{\beta}_1 \\ \alpha_2\beta_1+\bar{\alpha}_1\beta_2 & -\beta_1\bar{\beta}_2+\bar{\alpha}_1\bar{\alpha}_2 \end{bmatrix} \tag{12} U1U2=[α1β1−βˉ1αˉ1][α2β2−βˉ2αˉ2]=[α1α2−βˉ1β2α2β1+αˉ1β2−α1βˉ2−αˉ2βˉ1−β1βˉ2+αˉ1αˉ2](12)
Step 3： 由群 S U ( 2 ) SU(2) SU(2)与群 S 3 S^{3} S3同构 反推群 S 3 S^{3} S3中的群运算结构
由同构的定义知， ϕ ( U 1 U 2 ) = ϕ ( U 1 ) ϕ ( U 2 ) \phi(U_1U_2)=\phi(U1)\phi(U2) ϕ(U1U2)=ϕ(U1)ϕ(U2)，其中 U 1 = [ α 1 − β ˉ 1 β 1 α ˉ 1 ] U_1=\begin{bmatrix} \alpha_1 & -\bar{\beta}_1 \\ \beta_1 & \bar{\alpha}_1 \end{bmatrix} U1=[α1β1−βˉ1αˉ1]， α 1 = x 1 + y 1 i \alpha_1= x_1+y_1i α1=x1+y1i， β 1 = z 1 + w 1 i \beta_1 = z_1+w_1i β1=z1+w1i； U 2 = [ α 2 − β ˉ 2 β 2 α ˉ 2 ] U_2=\begin{bmatrix} \alpha_2 & -\bar{\beta}_2 \\ \beta_2 & \bar{\alpha}_2 \end{bmatrix} U2=[α2β2−βˉ2αˉ2]， α 2 = x 2 + y 2 i \alpha_2= x_2+y_2i α2=x2+y2i， β 2 = z 2 + w 2 i \beta_2 = z_2+w_2i β2=z2+w2i。
由(12)式知， U 1 U 2 = [ α ∗ − β ˉ ∗ β ∗ α ˉ ∗ ] U_1U_2=\begin{bmatrix} \alpha^{*} & -\bar{\beta}^{*} \\ \beta^{*} & \bar{\alpha}^{*} \end{bmatrix} U1U2=[α∗β∗−βˉ∗αˉ∗]，其中 α ∗ = ( x 1 x 2 − y 1 y 2 − z 1 z 2 − w 1 w 2 ) + ( x 2 y 1 + x 1 y 2 + w 1 z 2 − w 2 z 1 ) i \alpha^{*}=(x_1x_2-y_1y_2-z_1z_2-w_1w_2)+(x_2y_1+x_1y_2+w_1z_2-w_2z_1)i α∗=(x1x2−y1y2−z1z2−w1w2)+(x2y1+x1y2+w1z2−w2z1)i， β ∗ = ( x 2 z 1 + x 1 z 2 − y 2 w 1 + y 1 w 2 ) + ( y 2 z 1 + x 2 w 1 + x 1 w 2 − y 1 z 2 ) i \beta^{*}=(x_2z_1+x_1z_2-y_2w_1+y_1w_2)+(y_2z_1+x_2w_1+x_1w_2-y_1z_2)i β∗=(x2z1+x1z2−y2w1+y1w2)+(y2z1+x2w1+x1w2−y1z2)i。
由Step 1 中的 ϕ \phi ϕ的定义知， ϕ ( U 1 ) = ( x 1 , y 1 , z 1 , w 1 ) \phi(U_1)=(x_1,y_1,z_1,w_1) ϕ(U1)=(x1,y1,z1,w1)， ϕ ( U 2 ) = ( x 2 , y 2 , z 2 , w 2 ) \phi(U_2)=(x_2,y_2,z_2,w_2) ϕ(U2)=(x2,y2,z2,w2)， ϕ ( U 1 U 2 ) = ( x 1 x 2 − y 1 y 2 − z 1 z 2 − w 1 w 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 + z 2 w 1 − z 1 w 2 , x 2 z 1 − y 2 w 1 + x 1 z 2 + y 1 w 2 , y 2 z 1 + x 2 w 1 + x 1 w 2 − y 1 z 2 ) \phi(U_1U_2)=(x_1x_2-y_1y_2-z_1z_2-w_1w_2,x_1y_2+x_2y_1+z_2w_1-z_1w_2,x_2z_1-y_2w_1+x_1z_2+y_1w_2,y_2z_1+x_2w_1+x_1w_2-y_1z_2) ϕ(U1U2)=(x1x2−y1y2−z1z2−w1w2,x1y2+x2y1+z2w1−z1w2,x2z1−y2w1+x1z2+y1w2,y2z1+x2w1+x1w2−y1z2)。
所以，群 S 3 S^{3} S3中的群运算 × \times × ，将 S 3 S^{3} S3中的元素 ( x 1 , y 1 , z 1 , w 1 ) (x_1,y_1,z_1,w_1) (x1,y1,z1,w1)和 ( x 2 , y 2 , z 2 , w 2 ) (x_2,y_2,z_2,w_2) (x2,y2,z2,w2)映射到 ( x 1 x 2 − y 1 y 2 − z 1 z 2 − w 1 w 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 + z 2 w 1 − z 1 w 2 , x 2 z 1 − y 2 w 1 + x 1 z 2 + y 1 w 2 , y 2 z 1 + x 2 w 1 + x 1 w 2 − y 1 z 2 ) (x_1x_2-y_1y_2-z_1z_2-w_1w_2,x_1y_2+x_2y_1+z_2w_1-z_1w_2,x_2z_1-y_2w_1+x_1z_2+y_1w_2,y_2z_1+x_2w_1+x_1w_2-y_1z_2) (x1x2−y1y2−z1z2−w1w2,x1y2+x2y1+z2w1−z1w2,x2z1−y2w1+x1z2+y1w2,y2z1+x2w1+x1w2−y1z2)。
综上，群 S U ( 2 ) SU(2) SU(2) 中的群运算为矩阵乘法运算，群 S 3 S^{3} S3中的群运算 为上述的 群 S 3 S^{3} S3中的群运算 × \times × ，且 群 S U ( 2 ) SU(2) SU(2) 与 群 S 3 S^{3} S3 中的双射定义为上述的 ϕ \phi ϕ。此时这两个群同构。
扩展： 这是不是和四元数 运算很像？像就对了，单位四元数可以看作 S 3 S^{3} S3上的元素。接下来，我们详细的讨论这个问题，见命题3 。
命题3： 单位四元数群 和 S U ( 2 ) SU(2) SU(2)同构。
证明：
Step 1: 证明全体单位四元数构成的一个群
设四元数 q = x + y i + z j + w k q=x+y\mathbf{i}+z\mathbf{j}+w\mathbf{k} q=x+yi+zj+wk，其中 x , y , z , w ∈ R x,y,z,w \in \mathbb{R} x,y,z,w∈R且 x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1 x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}=1 x2+y2+z2+w2=1， i , j , k \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} i,j,k可以理解为另外三个维度的基（四元数 q q q一共四个维度，第一个维度 a a a是实数，它的基可以看做是实数1）。四元数的运算满足如下两条规定：
规定 1 : i 2 = − 1 , j 2 = − 1 , k 2 = − 1 \mathbf{i}^2 = -1, \mathbf{j}^2=-1, \mathbf{k}^2=-1 i2=−1,j2=−1,k2=−1
规定 2 : i j = − j i = k , j k = − k j = i , k i = − i k = j , i 2 = − 1 , j 2 = − 1 , k 2 = − 1 \mathbf{i}\mathbf{j} = -\mathbf{j}\mathbf{i} = \mathbf{k}, \mathbf{j}\mathbf{k} = -\mathbf{k}\mathbf{j} = \mathbf{i}, \mathbf{k}\mathbf{i} = -\mathbf{i}\mathbf{k}=\mathbf{j}, \mathbf{i}^2=-1, \mathbf{j}^2=-1, \mathbf{k}^{2}=-1 ij=−ji=k,jk=−kj=i,ki=−ik=j,i2=−1,j2=−1,k2=−1
设 q 1 = x 1 + y 1 i + z 1 j + w 1 k q_1=x_1+y_1\mathbf{i}+z_1\mathbf{j}+w_1\mathbf{k} q1=x1+y1i+z1j+w1k， q 2 = x 2 + y 2 i + z 2 j + w 2 k q_2=x_2+y_2\mathbf{i}+z_2\mathbf{j}+w_2\mathbf{k} q2=x2+y2i+z2j+w2k， q 3 = x 3 + y 3 i + z 3 j + w 3 k q_3=x_3+y_3\mathbf{i}+z_3\mathbf{j}+w_3\mathbf{k} q3=x3+y3i+z3j+w3k，容易验证：1. q 1 q 2 q_1q_2 q1q2是单位四元数（即运算是封闭的）；2. ( q 1 q 2 ) q 3 = q 1 ( q 2 q 3 ) (q_1q_2)q_3=q_1(q_2q_3) (q1q2)q3=q1(q2q3)（即满足结合律），3. 单位元 e e e为 1 + 0 i + 0 j + 0 k 1+0\mathbf{i}+0\mathbf{j}+0\mathbf{k} 1+0i+0j+0k，4. 逆元 q − 1 q^{-1} q−1为 x − ( y i + z j + w k ) x-(y\mathbf{i}+z\mathbf{j}+w\mathbf{k}) x−(yi+zj+wk)。（具体的验证自行计算或者参考我的另一篇博客四元数在旋转中的应用（一））。
Step 2: 证明单位四元数群同构于 S U ( 2 ) SU(2) SU(2)
我们已经知道， S U ( 2 ) SU(2) SU(2)是一个群且群运算为矩阵乘法。
设 U ∈ S U ( 2 ) U \in SU(2) U∈SU(2), U = [ x + y i z + w i − z + w i x − y i ] U=\begin{bmatrix} x+yi & z+wi \\ -z+wi & x-yi \end{bmatrix} U=[x+yi−z+wiz+wix−yi]，构造从 S U ( 2 ) SU(2) SU(2)到单位四元数群的映射 ϕ \phi ϕ，
ϕ ( U ) = x + y i + z j + w k \phi(U)=x+y\mathbf{i}+z\mathbf{j}+w\mathbf{k} ϕ(U)=x+yi+zj+wk。容易验证 ϕ \phi ϕ是双射。
容易验证 ϕ ( U 1 U 2 ) = ϕ ( U 1 ) ϕ ( U 2 ) \phi(U_1U_2)=\phi(U_1)\phi(U_2) ϕ(U1U2)=ϕ(U1)ϕ(U2)（参考命题2 中的Step 3 ）。
所以 S U ( 2 ) SU(2) SU(2)与单位四元数群同构。
关于单位四元数群在 R 3 \mathbb{R}^3 R3空间中的旋转方面的应用以及几何意义，可以参考我的另外两篇博客
四元数在旋转中的应用（一）
四元数在旋转中的应用（二）
讨论： 既然 S U ( 2 ) SU(2) SU(2)和 R 4 \mathbb{R}^4 R4空间中的单位球 S 3 S^3 S3同构， S 3 S^{3} S3这个集合上可以定义拓扑（即 R 4 \mathbb{R}^4 R4的子拓扑），这样就可以将 S U ( 2 ) SU(2) SU(2)嵌入到拓扑空间中做进一步研究。后续的博客可能会谈到相关的问题。
写在最后
上述如有错误，恳请指正，谢谢。同时，欢迎讨论。