前言
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文章目录
- 前言
- 多目标优化算法的度量评估
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- 相关背景与定义如下：
- 具体质量指标说明
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- [1. 超体积指标（ I H V I_{HV} IHV，又称 S S S度量 ）](#1. 超体积指标（ I H V I_{HV} IHV，又称 S S S度量 ）)
- [2. 世代距离（GD）与反转世代距离（IGD）](#2. 世代距离（GD）与反转世代距离（IGD）)
- [3. 广义扩展指标（IGS）](#3. 广义扩展指标（IGS）)
- [4. R2 指标](#4. R2 指标)
- 质量指标的局限性与补充
- 多目标优化的关键挑战
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论文引用：
Bingdong Li, Jinlong Li, Ke Tang, and Xin Yao. 2015. Many-Objective Evolutionary Algorithms: A Survey. ACM Comput. Surv. 48, 1, Article 13 (September 2015), 35 pages. https://doi.org/10.1145/2792984
多目标优化算法的度量评估
相关背景与定义如下：
定义1（多目标优化问题的优化目标）
优化多目标优化问题（MaOP）的目标，是得到帕累托前沿（PF）的一个近似集 A A A，包含以下两个子目标：
(1) A A A中所有解尽可能接近真实帕累托前沿（PF）；
(2) A A A中解在目标空间内尽可能分布均匀。
"近似集"的定义如下：
定义1.1（近似集）
设 A ⊆ Λ A \subseteq \Lambda A⊆Λ为一组目标向量集合，记 A = { a 1 , a 2 , ... , a ∣ A ∣ } A = \{ \mathbf{a}_1, \mathbf{a}2, \ldots, \mathbf{a}{|A|} \} A={a1,a2,...,a∣A∣}。若 A A A中任意元素，既不支配 A A A中其他目标向量，也不与其他目标向量相等，则称 A A A为近似集 。
对应优化目标，近似集的质量从两方面衡量：
(1) 收敛性 ：在目标空间中与真实帕累托前沿（PF）的贴近程度；
(2) 多样性 ：解在帕累托前沿（PF）上的分布均匀性。
"质量指标"是对质量的量化度量，定义如下：
定义1.2（质量指标）
k k k元质量指标 I I I是一个函数 I : Γ k → R I: \Gamma^k \to \mathbb{R} I:Γk→R，为 k k k个近似集的向量 ( A 1 , A 2 , ... , A k ) (A_1, A_2, \ldots, A_k) (A1,A2,...,Ak)赋予实数值 I ( A 1 , A 2 , ... , A k ) I(A_1, A_2, \ldots, A_k) I(A1,A2,...,Ak)。
具体质量指标说明
1. 超体积指标（ I H V I_{HV} IHV，又称 S S S度量 ）
描述：对应每个解 a i ∈ A \mathbf{a}i \in A ai∈A，计算超立方体 c i c_i ci并集的勒贝格测度（Lebesgue measure ）。公式为：
I H V ( z ∗ , A ) = L ( ⋃ i : a i ∈ A c i ) = L ( ⋃ a ∈ A { b ∣ a ≺ b ≺ z ∗ } ) I{HV}(\mathbf{z}^*, A) = L\left( \bigcup_{i: \mathbf{a}i \in A} c_i \right) = L\left( \bigcup{\mathbf{a} \in A} \{ \mathbf{b} \mid \mathbf{a} \prec \mathbf{b} \prec \mathbf{z}^* \} \right) IHV(z∗,A)=L(i:ai∈A⋃ci)=L(a∈A⋃{b∣a≺b≺z∗})
其中 z ∗ \mathbf{z}^* z∗是目标空间中的最差参考点。该指标同时衡量近似集的收敛性 与多样性 。
2. 世代距离（GD）与反转世代距离（IGD）
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世代距离（GD） ：
衡量近似集 A A A到帕累托前沿（PF）的收敛质量。公式为：
G D = 1 ∣ A ∣ ( ∑ i = 1 ∣ A ∣ d i s ( a i , P F ′ ) p ) 1 p GD = \frac{1}{|A|} \left( \sum_{i=1}^{|A|} dis(\mathbf{a}_i, PF')^p \right)^{\frac{1}{p}} GD=∣A∣1 i=1∑∣A∣dis(ai,PF′)p p1（ P F ′ PF' PF′是 PF 的子集， d i s ( a i , P F ′ ) dis(\mathbf{a}_i, PF') dis(ai,PF′)是 a i \mathbf{a}_i ai到 P F ′ PF' PF′的距离 ）
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反转世代距离（IGD） ：
同时衡量近似集的收敛性与多样性。公式为：
I G D = 1 ∣ P F ′ ∣ ( ∑ i = 1 ∣ P F ′ ∣ d i s ( p i , A ) p ) 1 p IGD = \frac{1}{|PF'|} \left( \sum_{i=1}^{|PF'|} dis(\mathbf{p}_i, A)^p \right)^{\frac{1}{p}} IGD=∣PF′∣1 i=1∑∣PF′∣dis(pi,A)p p1（ d i s ( p i , A ) dis(\mathbf{p}_i, A) dis(pi,A)是 p i \mathbf{p}_i pi到近似集 A A A的距离 ）
类似的距离基指标，如 additive approximation metric、 Δ p \Delta_p Δp指标等，也被用于性能度量 。
3. 广义扩展指标（IGS）
用于衡量近似集的多样性，定义如下：
I G S = ∑ i = 1 s d ( e i , A ) + ∑ p ∈ P F ′ ∣ d ( p , A ) − d ˉ ∣ ∑ i = 1 s d ( e i , A ) + ∣ P F ′ ∣ d ˉ IGS = \frac{\sum_{i=1}^{s} d(\mathbf{e}i, A) + \sum{\mathbf{p} \in PF'} |d(\mathbf{p}, A) - \bar{d}|}{\sum_{i=1}^{s} d(\mathbf{e}_i, A) + |PF'| \bar{d}} IGS=∑i=1sd(ei,A)+∣PF′∣dˉ∑i=1sd(ei,A)+∑p∈PF′∣d(p,A)−dˉ∣
其中：
- { e 1 , ... , e s } \{ \mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_s \} {e1,...,es}是 P F ′ PF' PF′中的 s s s个极端解；
- d ( p , A ) d(\mathbf{p}, A) d(p,A)是 p \mathbf{p} p与 A A A的欧氏距离；
- d ˉ \bar{d} dˉ是所有 p ∈ P F ′ \mathbf{p} \in PF' p∈PF′对应 d ( p , A ) d(\mathbf{p}, A) d(p,A)的均值 。
4. R2 指标
基于效用函数的指标类别。给定参考集 R R R，定义为：
R 2 ( A , U ) = − 1 ∣ U ∣ ∑ u ∈ U ( max a ∈ A { u ( a ) } ) R2(A, U) = -\frac{1}{|U|} \sum_{u \in U} \left( \max_{\mathbf{a} \in A} \{ u(\mathbf{a}) \} \right) R2(A,U)=−∣U∣1u∈U∑(a∈Amax{u(a)})
（ U U U是效用函数集合 ）
若将 U U U设为一系列带权重的切比雪夫（Tchebycheff）函数，权重向量集为 V V V，并选乌托邦点 z ∗ \mathbf{z}^* z∗加入 R R R，则 R2 指标可定义为：
R 2 ( z ∗ , A , V ) = 1 ∣ V ∣ ∑ λ ∈ V min a ∈ A { max j ∈ { 1 , ... , m } { λ j ∣ z j ∗ − a j ∣ } } R2(\mathbf{z}^*, A, V) = \frac{1}{|V|} \sum_{\lambda \in V} \min_{\mathbf{a} \in A} \left\{ \max_{j \in \{1, \ldots, m\}} \{ \lambda_j | z_j^* - a_j | \} \right\} R2(z∗,A,V)=∣V∣1λ∈V∑a∈Amin{j∈{1,...,m}max{λj∣zj∗−aj∣}}
该指标可同时衡量近似集的收敛性与多样性 。
质量指标的局限性与补充
根据 Zitzler 等人（2003）的研究，不存在单一质量指标 能直接判定近似集 A A A优于 B B B。多数质量指标仅能表明 A A A"不差于" B B B（即 A A A至少和 B B B一样好 ）。 为克服此局限，可采用二元指标（如 Zitzler 等人 2003 提出的二元 ϵ \epsilon ϵ- 指标 ）辅助评估。
整体围绕多目标优化算法的"质量度量"展开，明确优化目标（近似帕累托前沿的收敛性 + 多样性 ），并详细介绍超体积、世代距离、R2 等指标的定义与作用，同时指出单一指标的评估局限及补充方案。
以下是对内容的翻译及核心实体信息梳理：
多目标优化的关键挑战
当目标数量增加时，需应对以下问题：
- 支配抗性（DR）现象 ：因大量非支配解占比急剧上升，导致解间"不可比性"难题（文献来源：Fonseca and Fleming 1998；Purshouse and Fleming 2007；Knowles and Corne 2007 ）。
- 解集规模受限 ：非退化场景下， m m m目标问题的帕累托前沿（PF）是 ( m − 1 ) (m - 1) (m−1)维流形（文献：Ishibuchi et al. 2015；Jin and Sendhoff 2003 ）。描述该前沿需指数级增加解的数量。
- 目标空间解的可视化 ：需特殊技术，如投影到低维空间、用平行坐标等（文献：Walker et al. 2013 ）。
研究表明，基于帕累托支配的算法（如 NSGA-II 、SPEA2 ）在多目标优化问题（MaOPs）上性能显著下降（文献：Knowles and Corne 2007 ），主因是 DR 现象 和 主动多样性促进（ADP）机制 。ADP 指当基于支配的主准则无法区分解时，激活基于密度的次准则筛选存活解；受 DR 和 ADP 影响，最终解集可能无法收敛到 PF，反而远离前沿（文献：Wagner et al. 2007 ）。
提升基于帕累托算法可扩展性的两类思路：
- 缓解 DR 影响：采用松弛支配方法，改进帕累托支配以增强向 PF 的选择压力（文献：Laumanns et al. 2002；Sato et al. 2007 ），相比经典帕累托支配，更易区分多目标优化问题的解。
- 应对 ADP 问题：设计基于多样性的策略（文献：Adra and Fleming 2011 ），更关注收敛性。
非帕累托基的多目标进化算法（如基于指标、基于聚合的方法 ），不依赖帕累托支配推动种群向 PF 进化，无选择压力难题，但受"维度诅咒"困扰------需同时搜索指数级增长的方向。其中：
- 聚合基方法的关键是权重向量设置（文献：Giagkiozis et al. 2013 ），影响种群分布维持效果。
- 超体积基算法受限于高计算成本（文献：Wagner and Neumann 2013 ）。
此外，基于参考集的方法（用参考集评估、选择解 ）为多目标优化问题提供新解法（文献：Deb and Jain 2014 ）；降维方法通过分析目标间关系、特征选择减少目标数；偏好基方法融入用户偏好，聚焦 PF 特定区域；降维方法也尝试消除次要目标，降低原问题难度（文献：Brockhoff and Zitzler 2009 ）。