匀速二阶贝塞尔曲线

关于二阶贝塞尔曲线匀速运动的实现，网上有很多文章介绍：

但每次艰难理解后，下次再看时又得重头再来，所以这次准备把自己的理解过程记录下来留待后观。

二阶贝塞尔曲线长度

给定3个点$P_0$ $P_1$ $P_2$，用$B(t)$表示二阶贝塞尔曲线：

\ $\\begin{align} B(t)\&=(1-t)\^2P_0+2t(1-t)P_1+t\^2P_2, \&t\\in\[0,1$ \\ \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{bmatrix} &=(1-t)^2 \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \\ \end{bmatrix} +2t(1-t) \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ \end{bmatrix} +t^2 \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \\ \end{bmatrix} , &t\in $0,1$ \end{align} \]

求二阶贝塞尔曲线相对于$t$的速度：

\ $\\begin{align} V(t)\&=B'(t)\\\\ \&= \\begin{bmatrix} x'(t) \\\\ y'(t) \\\\ \\end{bmatrix}\\\\ \&=-2(1-t) \\begin{bmatrix} x_0 \\\\ y_0 \\\\ \\end{bmatrix} +2(1-2t) \\begin{bmatrix} x_1 \\\\ y_1 \\\\ \\end{bmatrix} +2t \\begin{bmatrix} x_2 \\\\ y_2 \\\\ \\end{bmatrix} , \&t\\in\[0,1$ \end{align} \]

速度$V(t)$是一个二维向量，计算曲线长度不需要速度的方向，因此取其标量：

\ $\\begin{align} s(t) \&= \\Vert B'(t) \\Vert \\\\ \&= \\sqrt{{x'(t)}\^2 + {y'(t)}\^2} \\\\ \\end{align} \\$

其中$x'(t)$可以进一步变换为：

\ $\\begin{align} x'(t)\&=-2x_0+2x_0t+2x_1-4x_1t+2x_2t \\\\ \&=(2x_0-4x_1+2x_2)t-2x_0+2x_1 \\end{align} \\$

同理$y'(t)$可以进一步变换为：

\ $\\begin{align} y'(t)\&=-2y_0+2y_0t+2y_1-4y_1t+2y_2t \\\\ \&=(2y_0-4y_1+2y_2)t-2y_0+2y_1 \\end{align} \\$

分别用$a_x$ $b_x$ $a_y$ $b_y$ 替换$x'(t)$和$y'(t)$中复杂的部分：

\ $\\begin{align} x'(t)\&=a_xt+b_x \\\\ a_x\&=2x_0-4x_1+2x_2 \\\\ b_x\&=-2x_0+2x_1 \\\\ \\end{align} \\$

\ $\\begin{align} y'(t)\&=a_yt+b_y \\\\ a_y\&=2y_0-4y_1+2y_2 \\\\ b_y\&=-2y_0+2y_1 \\\\ \\end{align} \\$

那么$s(t)$可以进一步简化为：

\ $\\begin{align} s(t) \&= \\sqrt{{x'(t)}\^2 + {y'(t)}\^2} \\\\ \&= \\sqrt{a_x\^2t\^2+2a_xb_xt+b_x\^2+a_y\^2t\^2+2a_yb_yt+b_y\^2} \\\\ \&= \\sqrt{(a_x\^2+a_y\^2)t\^2+(2a_xb_x+2a_yb_y)t+b_x\^2+b_y\^2} \\end{align} \\$

再一次用$A$ $B$ $C$代替$s(t)$中复杂的部分：

\ $\\begin{align} s(t) \&= \\sqrt{At\^2+Bt+C} \\\\ A \&= a_x\^2+a_y\^2 \\\\ B \&= 2a_xb_x+2a_yb_y \\\\ C \&= b_x\^2+b_y\^2 \\end{align} \\$

这里的$A$ $B$ $C$和 $1$ 和 $2$ 中的不太一样，但最终结果是一样的。对速度$s(t)$进行积分可求得距离，可以使用积分计算器进行计算：

\ $\\begin{align} \\int s(t) \&= \\int \\sqrt{At\^2+Bt+C} \\\\ \&= \\frac{1}{8A\^\\frac{3}{2}} \\big(2\\sqrt{A}(B+2At)\\sqrt{C+Bt+At\^2}-(B\^2-4AC)ln(B+2At+2\\sqrt{A}\\sqrt{C+Bt+At\^2})\\big) \\end{align} \\$

由于$t$的取值范围是0到1，因此二阶贝塞尔曲线的长度公式应该写为：

\ $\\begin{align} L(t) =\& \\int_0\^t s(t) \\\\ =\& \\int s(t) - \\int s(t) \|_{t=0} \\\\ =\& \\frac{1}{8A\^\\frac{3}{2}} \\big(2\\sqrt{A}(B+2At)\\sqrt{C+Bt+At\^2}-(B\^2-4AC)ln(B+2At+2\\sqrt{A}\\sqrt{C+Bt+At\^2})\\big) \\\\ \&- \\frac{1}{8A\^\\frac{3}{2}} \\big(2B\\sqrt{AC}-(B\^2-4AC)ln(B+2\\sqrt{AC})\\big) \\\\ =\& \\frac{1}{8A\^\\frac{3}{2}} \\big(2\\sqrt{A}(B+2At)\\sqrt{C+Bt+At\^2}-(B\^2-4AC)ln(B+2At+2\\sqrt{A}\\sqrt{C+Bt+At\^2}) \\\\ \&- 2B\\sqrt{AC}+(B\^2-4AC)ln(B+2\\sqrt{AC}) \\big) \\\\ =\& \\frac{1}{8A\^\\frac{3}{2}} \\big(T_1T_0-T_2ln(T_1+T_0) \\\\ \&- BT_3+T_2ln(B+T_3) \\big) \\\\ \\end{align} \\$

其中$T_0$ $T_1$ $T_2$表示为：

\ $\\begin{align} T_0 =\& 2\\sqrt{A}\\sqrt{C+Bt+At\^2} \\\\ T_1 =\& B+2At \\\\ T_2 =\& B\^2-4AC \\\\ T_3 =\& 2\\sqrt{AC} \\end{align} \\$

为了避免括号层级太多，这里没有进一步提取公因子，最终保持两层括号，如果提取公因子后和 $1$ $2$ 的结果是一致的。

匀速二阶贝塞尔曲线

现在已经有了二阶贝塞尔曲线的长度公式，要沿贝塞尔曲线进行运动，也就是每次移动的距离相等，首先$L(1.0)$为贝塞尔曲线的总长度，如果移动$N$次，那么每次移动的距离为$\frac{1}{N}L(1.0)$。如果已知第$n$次的等距移动的$t$表示为$t_n$，那么$t_{n+1}$可以表示为：

\ $\\begin{align} t_{n}=t_{n-1}+\\frac{\\frac{1}{N}L(1.0)}{s(t_{n-1})} \\quad,\\quad n\\in\[1, N$ \end{align} \]

其中$s(t_n)$为$t_n$处的速度，那么移动$\frac{1}{N}L(1.0)$的距离所需的时间为$\frac{\frac{1}{N}L(1.0)}{s(t_n)}$，当然这种计算方式仅能求得近似值，这也是 $3$ 给出的方法。如果仔细看 $1$ $2$ 的代码实现对上式进行了修正：

\ $\\begin{align} t_n=t_{n-1}+\\frac{\\frac{n}{N}L(1.0)-L(t_{n-1})}{s(t_{n-1})} \\quad,\\quad n\\in\[1, N$ \end{align} \]

但最终求得的解仍然是近似解。

Python实现

最终匀速贝塞尔曲线的Python实现代码如下：

python 复制代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sys


def bezier_length(A, B, C, t):  # 二阶贝塞尔曲线长度
    T0 = 2 * np.sqrt(A) * np.sqrt(C + B * t + A * t * t)
    T1 = B + 2 * A * t
    T2 = B * B - 4 * A * C
    T3 = 2 * np.sqrt(A * C)
    return 1 / (8 * np.pow(A, 1.5)) * (T0 * T1 - T2 * np.log(T1 + T0) - B * T3 + T2 * np.log(B + T3))


def bezier_velocity(A, B, C, t):  # 二阶贝塞尔曲线速度
    return np.sqrt(C + B * t + A * t * t)


def bezier_movement(p0, p1, p2, N):  # 二阶贝塞尔曲线等距移动
    a = 2 * p0 - 4 * p1 + 2 * p2
    b = -2 * p0 + 2 * p1
    A = a[0] * a[0] + a[1] * a[1]
    B = 2 * a[0] * b[0] + 2 * a[1] * b[1]
    C = b[0] * b[0] + b[1] * b[1]
    L1 = bezier_length(A, B, C, 1)
    tn = 0
    res = np.zeros((N + 1, 2))
    for n in range(N + 1): # 注意这里n的取值范围是[0, N]
        res[n] = (1 - tn) * (1 - tn) * p0 + 2 * tn * (1 - tn) * p1 + tn * tn * p2
        tn = tn + ((n + 1) / N * L1 - bezier_length(A, B, C, tn)) / bezier_velocity(A, B, C, tn)
    return res


P0 = np.array([0, 0])  # 起点
P1 = np.array([3, 8])  # 控制点
P2 = np.array([6, 0])  # 终点

N = 10
if len(sys.argv) > 1:
    N = int(sys.argv[1])

curve = bezier_movement(P0, P1, P2, N)

plt.figure(figsize=(10, 6))

plt.plot([P0[0], P1[0], P2[0]], [P0[1], P1[1], P2[1]], 'ro--', label='Control-Line')
plt.plot(curve[:, 0], curve[:, 1], 'o', linewidth=2, label='Bezier movement')

plt.text(P0[0], P0[1], 'P0', fontsize=12, ha='right', va='top')
plt.text(P1[0], P1[1], 'P1', fontsize=12, ha='center', va='bottom')
plt.text(P2[0], P2[1], 'P2', fontsize=12, ha='left', va='top')

plt.title('Bezier Curve(N=' + str(N) + ')', fontsize=14)
plt.xlabel('X-axis', fontsize=12)
plt.ylabel('Y-axis', fontsize=12)
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
plt.legend()
plt.axis('equal')
plt.show()

当$N=10$，$N=20$，$N=30$的运行结果如下：

在$N=10$时，最后一个点明显与端点不重合（运行Python脚本后，放大后也可观察），因此贝塞尔曲线匀速运动只能求得近似解。在使用中，需要根据实际情况选择合适的$N$，以及如何处理最后一个点。

匀速二阶贝塞尔曲线

二阶贝塞尔曲线长度

匀速二阶贝塞尔曲线

Python实现

参考