关于二阶贝塞尔曲线匀速运动的实现，网上有很多文章介绍：
How to achieve uniform speed of movement on a bezier curve?
但每次艰难理解后，下次再看时又得重头再来，所以这次准备把自己的理解过程记录下来留待后观。
二阶贝塞尔曲线长度
给定3个点\(P_0\) \(P_1\) \(P_2\)，用\(B(t)\)表示二阶贝塞尔曲线：
\[\begin{align} B(t)&=(1-t)^2P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2, &t\in[0,1] \\ \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{bmatrix} &=(1-t)^2 \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \\ \end{bmatrix} +2t(1-t) \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ \end{bmatrix} +t^2 \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \\ \end{bmatrix} , &t\in[0,1] \end{align} \]
求二阶贝塞尔曲线相对于\(t\)的速度：
\[\begin{align} V(t)&=B'(t)\\ &= \begin{bmatrix} x'(t) \\ y'(t) \\ \end{bmatrix}\\ &=-2(1-t) \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \\ \end{bmatrix} +2(1-2t) \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ \end{bmatrix} +2t \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \\ \end{bmatrix} , &t\in[0,1] \end{align} \]
速度\(V(t)\)是一个二维向量，计算曲线长度不需要速度的方向，因此取其标量：
\[\begin{align} s(t) &= \Vert B'(t) \Vert \\ &= \sqrt{{x'(t)}^2 + {y'(t)}^2} \\ \end{align} \]
其中\(x'(t)\)可以进一步变换为：
\[\begin{align} x'(t)&=-2x_0+2x_0t+2x_1-4x_1t+2x_2t \\ &=(2x_0-4x_1+2x_2)t-2x_0+2x_1 \end{align} \]
同理\(y'(t)\)可以进一步变换为：
\[\begin{align} y'(t)&=-2y_0+2y_0t+2y_1-4y_1t+2y_2t \\ &=(2y_0-4y_1+2y_2)t-2y_0+2y_1 \end{align} \]
分别用\(a_x\) \(b_x\) \(a_y\) \(b_y\) 替换\(x'(t)\)和\(y'(t)\)中复杂的部分：
\[\begin{align} x'(t)&=a_xt+b_x \\ a_x&=2x_0-4x_1+2x_2 \\ b_x&=-2x_0+2x_1 \\ \end{align} \]
\[\begin{align} y'(t)&=a_yt+b_y \\ a_y&=2y_0-4y_1+2y_2 \\ b_y&=-2y_0+2y_1 \\ \end{align} \]
那么\(s(t)\)可以进一步简化为：
\[\begin{align} s(t) &= \sqrt{{x'(t)}^2 + {y'(t)}^2} \\ &= \sqrt{a_x^2t^2+2a_xb_xt+b_x^2+a_y^2t^2+2a_yb_yt+b_y^2} \\ &= \sqrt{(a_x^2+a_y^2)t^2+(2a_xb_x+2a_yb_y)t+b_x^2+b_y^2} \end{align} \]
再一次用\(A\) \(B\) \(C\)代替\(s(t)\)中复杂的部分：
\[\begin{align} s(t) &= \sqrt{At^2+Bt+C} \\ A &= a_x^2+a_y^2 \\ B &= 2a_xb_x+2a_yb_y \\ C &= b_x^2+b_y^2 \end{align} \]
这里的\(A\) \(B\) \(C\)和[1]和[2]中的不太一样，但最终结果是一样的。对速度\(s(t)\)进行积分可求得距离，可以使用积分计算器进行计算：
\[\begin{align} \int s(t) &= \int \sqrt{At^2+Bt+C} \\ &= \frac{1}{8A^\frac{3}{2}} \big(2\sqrt{A}(B+2At)\sqrt{C+Bt+At^2}-(B^2-4AC)ln(B+2At+2\sqrt{A}\sqrt{C+Bt+At^2})\big) \end{align} \]
由于\(t\)的取值范围是0到1，因此二阶贝塞尔曲线的长度公式应该写为：
\[\begin{align} L(t) =& \int_0^t s(t) \\ =& \int s(t) - \int s(t) |_{t=0} \\ =& \frac{1}{8A^\frac{3}{2}} \big(2\sqrt{A}(B+2At)\sqrt{C+Bt+At^2}-(B^2-4AC)ln(B+2At+2\sqrt{A}\sqrt{C+Bt+At^2})\big) \\ &- \frac{1}{8A^\frac{3}{2}} \big(2B\sqrt{AC}-(B^2-4AC)ln(B+2\sqrt{AC})\big) \\ =& \frac{1}{8A^\frac{3}{2}} \big(2\sqrt{A}(B+2At)\sqrt{C+Bt+At^2}-(B^2-4AC)ln(B+2At+2\sqrt{A}\sqrt{C+Bt+At^2}) \\ &- 2B\sqrt{AC}+(B^2-4AC)ln(B+2\sqrt{AC}) \big) \\ =& \frac{1}{8A^\frac{3}{2}} \big(T_1T_0-T_2ln(T_1+T_0) \\ &- BT_3+T_2ln(B+T_3) \big) \\ \end{align} \]
其中\(T_0\) \(T_1\) \(T_2\)表示为：
\[\begin{align} T_0 =& 2\sqrt{A}\sqrt{C+Bt+At^2} \\ T_1 =& B+2At \\ T_2 =& B^2-4AC \\ T_3 =& 2\sqrt{AC} \end{align} \]
为了避免括号层级太多，这里没有进一步提取公因子，最终保持两层括号，如果提取公因子后和[1][2]的结果是一致的。
匀速二阶贝塞尔曲线
现在已经有了二阶贝塞尔曲线的长度公式，要沿贝塞尔曲线进行运动，也就是每次移动的距离相等，首先\(L(1.0)\)为贝塞尔曲线的总长度，如果移动\(N\)次，那么每次移动的距离为\(\frac{1}{N}L(1.0)\)。如果已知第\(n\)次的等距移动的\(t\)表示为\(t_n\)，那么\(t_{n+1}\)可以表示为：
\[\begin{align} t_{n}=t_{n-1}+\frac{\frac{1}{N}L(1.0)}{s(t_{n-1})} \quad,\quad n\in[1, N] \end{align} \]
其中\(s(t_n)\)为\(t_n\)处的速度，那么移动\(\frac{1}{N}L(1.0)\)的距离所需的时间为\(\frac{\frac{1}{N}L(1.0)}{s(t_n)}\)，当然这种计算方式仅能求得近似值，这也是[3]给出的方法。如果仔细看[1][2]的代码实现对上式进行了修正：
\[\begin{align} t_n=t_{n-1}+\frac{\frac{n}{N}L(1.0)-L(t_{n-1})}{s(t_{n-1})} \quad,\quad n\in[1, N] \end{align} \]
但最终求得的解仍然是近似解。
Python实现
最终匀速贝塞尔曲线的Python实现代码如下：
python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sys
def bezier_length(A, B, C, t): # 二阶贝塞尔曲线长度
T0 = 2 * np.sqrt(A) * np.sqrt(C + B * t + A * t * t)
T1 = B + 2 * A * t
T2 = B * B - 4 * A * C
T3 = 2 * np.sqrt(A * C)
return 1 / (8 * np.pow(A, 1.5)) * (T0 * T1 - T2 * np.log(T1 + T0) - B * T3 + T2 * np.log(B + T3))
def bezier_velocity(A, B, C, t): # 二阶贝塞尔曲线速度
return np.sqrt(C + B * t + A * t * t)
def bezier_movement(p0, p1, p2, N): # 二阶贝塞尔曲线等距移动
a = 2 * p0 - 4 * p1 + 2 * p2
b = -2 * p0 + 2 * p1
A = a[0] * a[0] + a[1] * a[1]
B = 2 * a[0] * b[0] + 2 * a[1] * b[1]
C = b[0] * b[0] + b[1] * b[1]
L1 = bezier_length(A, B, C, 1)
tn = 0
res = np.zeros((N + 1, 2))
for n in range(N + 1): # 注意这里n的取值范围是[0, N]
res[n] = (1 - tn) * (1 - tn) * p0 + 2 * tn * (1 - tn) * p1 + tn * tn * p2
tn = tn + ((n + 1) / N * L1 - bezier_length(A, B, C, tn)) / bezier_velocity(A, B, C, tn)
return res
P0 = np.array([0, 0]) # 起点
P1 = np.array([3, 8]) # 控制点
P2 = np.array([6, 0]) # 终点
N = 10
if len(sys.argv) > 1:
N = int(sys.argv[1])
curve = bezier_movement(P0, P1, P2, N)
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot([P0[0], P1[0], P2[0]], [P0[1], P1[1], P2[1]], 'ro--', label='Control-Line')
plt.plot(curve[:, 0], curve[:, 1], 'o', linewidth=2, label='Bezier movement')
plt.text(P0[0], P0[1], 'P0', fontsize=12, ha='right', va='top')
plt.text(P1[0], P1[1], 'P1', fontsize=12, ha='center', va='bottom')
plt.text(P2[0], P2[1], 'P2', fontsize=12, ha='left', va='top')
plt.title('Bezier Curve(N=' + str(N) + ')', fontsize=14)
plt.xlabel('X-axis', fontsize=12)
plt.ylabel('Y-axis', fontsize=12)
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
plt.legend()
plt.axis('equal')
plt.show()当\(N=10\)，\(N=20\)，\(N=30\)的运行结果如下：
在\(N=10\)时，最后一个点明显与端点不重合（运行Python脚本后，放大后也可观察），因此贝塞尔曲线匀速运动只能求得近似解。在使用中，需要根据实际情况选择合适的\(N\)，以及如何处理最后一个点。