数学建模算法-day[15]

本节只简单介绍ode45求数值解的用法。

对一阶微分方程或方程组的初值问题
{y′=f(t,y),y(t0)=y0, \left\{\begin{aligned} & y'=f(t,y),\\ & y(t_0)=y_0, \end{aligned}\right. {y′=f(t,y),y(t0)=y0,

式中：yyy和fff可以为向量。函数ode45有如下两种调用格式：

matlab 复制代码

[t,y]=ode45(fun,tspan,y0)
s=ode45(fun,tspan,y0)

其中,fun是用M函数或匿名函数定义f(t,y)f(t,y)f(t,y)的函数文件名或匿名函数返回值,tspan=[t0,tfinal](这里t0必须是初值条件中自变量的取值，tfinal可以比t0小)是求解区间，y0是初值。返回值t是Matlab自动离散化的区间[t0,tfinal]上的点，y的列是对应于t的函数值；如果只有一个返回值s，则s是一个结构数组。

利用结构数组s和Matlab函数deval,我们可以计算区间tspan中任意点x的函数值，调用格式为
y=deval(s,x), y=deval(s,x), y=deval(s,x),

其中,x为标量或向量,返回值y的行是对应于x的数值解。

例6.9(续例6.3) 求微分方程y′=−2y+2x2+2x,y(0)=1,0≤x≤0.5y'=-2y+2x^2+2x,y(0)=1,0\leq x\leq 0.5y′=−2y+2x2+2x,y(0)=1,0≤x≤0.5的数值解；并在同一个图形界面上画出数值解和符号解的曲线。

解

matlab 复制代码

clc;clear
syms y(x)
y=dsolve(diff(y)==-2*y+2*x^2+2*x,y(0)==1)
dy=@(x,y) -2*y+2*x^2+2*x;
[sx,sy]=ode45(dy,[0,0.5],1)
fplot(y,[0,0.5]),hold on
plot(sx,sy,'*');legend({'符号解','数值解'})
xlabel('$x$','Interpreter','Latex')
ylabel('$y$','Interpreter','Latex','Rotation',0)

Matlab无法直接求解高阶微分方程或方程组的数值解，必须化成一阶微分方程组才能求数值解。

例6.10(续·例6.2) 求二阶常微分方程或方程组的数值解，必须化成一阶微分方程组才能求数值解。

解求数值解时，需要把二阶微分方程转化为一阶微分方程组，引进y1=y,y2=y′y_1=y,y_2=y'y1=y,y2=y′,则方程(6.10)可以转化为如下的一阶微分方程组：
{y1′=y2,y1(0)=0,y2′=15(1−x)1+y22,y2(0)=0 \begin{cases} y_1' = y_2, & y_1(0) = 0, \\ y_2' = \dfrac{1}{5(1 - x)} \sqrt{1 + y_2^2}, & y_2(0) = 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧y1′=y2,y2′=5(1−x)11+y22 ,y1(0)=0,y2(0)=0

最后得到的导弹轨迹曲线如图6.3所示。

图6.3

matlab程序

matlab 复制代码

clc;clear
dy=@(x,y) [y(2);1/(5*(1-x))*sqrt(1+y(2)^2)];
[x,y]=ode45(dy,[0,0.999999],[0;0])
plot(x,y(:,1)),xlabel('$x$','Interpreter','Latex')
ylabel('$y$','Interpreter','Latex','Rotation',0)

例6.11 Lorenz模型的混沌效应。Lorenz模型是由美国气象学家Lorenz在研究大气运动时，通过简化对流模型，只保留三个变量提出的一个完全确定性的一阶自治常微分方程组(不显含时间变量)，其方程为
{x˙=σ(y−x),y˙=ρx−y−xz,z˙=xy−βz \begin{cases} \dot{x} = \sigma (y - x), \\ \dot{y} = \rho x - y - xz, \\ \dot{z} = xy - \beta z \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x˙=σ(y−x),y˙=ρx−y−xz,z˙=xy−βz

其中，参数σ\sigmaσ为Prandtl数,ρ\rhoρ为Rayleigh数,β\betaβ为方向比。Lorenz模型如今已经成为混沌领域的经典模型，第一个混沌吸引子------Lorenz吸引子------也是这个系统中被发现的。系统中三个参数的选择对系统会不会进入混沌状态起着重要的作用。图6.4(a)给出了Lorenz模型在σ=10,ρ=28,β=8/3\sigma=10,\rho=28,\beta=8/3σ=10,ρ=28,β=8/3时系统的三维演化轨迹。由图6.4(a)可见，经过长时间运行后，系统只在三位空间的一个有限区域内运动，即在三维相空间里的测度为零。图6.4(a)显示出"蝴蝶效应"。图6.4(b)给出了系统从两个靠得很近的初值出发(相差仅0.00001)后，解的偏差演化曲线。随着时间的增大，两个解的差异越来越大，这正好是动力系统对初值敏感性的直观表现，由此可断定此系统的这种状态为混沌态。混沌运动的确定性系统中存在随机性，它的运动轨道对初始条件极端敏感。

所画出的图形如图6.4所示。

图6.4

matlab代码

matlab 复制代码

clc;clear;rng(2)
sigma=10;rho=28;beta=8/3;T=80;
g=@(t,f) [sigma*(f(2)-f(1));rho*f(1)-f(2)-f(1)*f(3);f(1)*f(2)-beta*f(3)];
xyz0=rand(3,1);
[t,xyz]=ode45(g,[0,T],xyz0);
subplot(121),plot3(xyz(:,1),xyz(:,2),xyz(:,3)) %轨线图
xlabel('$x(t)$','Interpreter','latex')
ylabel('$y(t)$','Interpreter','latex')
zlabel('$z(t)$','Interpreter','latex'),box on
so=ode45(g,[0,T],xyz0+0.0001)
xyz2=deval(so,t);       %返回值为3行的矩阵，计算对应的x,y,z的值
subplot(122),plot(t,xyz(:,1)-xyz2(1,:)','.-')
xlabel('$x(t)$','Interpreter','latex')
ylabel('$x_1(t)-x_2(t)$','Interpreter','latex')

例6.12 一个慢跑者在平面上按如下规律跑步：
X=10+20cos⁡t,Y=20+15sin⁡t. X=10+20\cos t,Y=20+15\sin t. X=10+20cost,Y=20+15sint.

突然有一只狗攻击他，这只狗从原点出发，以恒定速率www跑向慢跑者，狗运动方向始终指向慢跑者。分别求出w=20,w=5w=20,w=5w=20,w=5时狗的运动轨迹。

解设时刻ttt时人的坐标为(X(t),Y(t))(X(t),Y(t))(X(t),Y(t)),狗的坐标(x(t),y(t))(x(t),y(t))(x(t),y(t))。狗的速度大小恒为www,则
(dxdt)2+(dydt)2=w2 (\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2=w^2 (dtdx)2+(dtdy)2=w2

由于狗始终对准人，故狗的速度方向平行狗与人的位置的差向量，即