树数据结构的基本定义和属性
树是一种重要的非线性数据结构，用于表示层次关系。
基本定义：
树是由 n（n ≥ 0）个结点组成的有限集合。当 n = 0 时，称为空树；当 n > 0 时，树必须满足两个条件：有且仅有一个特定的根结点（root node）；当 n > 1 时，其余结点可划分为 m（m > 0）个互不相交的子集 T1, T2, ..., Tm，每个子集本身又是一棵树，称为子树（subtree）。
结点属性：
结点的度（degree）是指一个结点拥有的子树个数。例如，一个结点有 3 个子树，则其度为 3。叶结点（leaf node）是度为 0 的结点，即没有子树的结点。分支结点（branch node）是度不为 0 的结点，即至少有一个子树的结点。
树的整体属性：
树的度数是指树中所有结点的度的最大值。例如，如果所有结点度的最大值为 3，则树的度数为 3。树的深度或高度是从根结点开始计算，根所在层为第 1 层，其子结点为第 2 层，依此类推，深度反映了树的层级结构。
树的性质强调：
树的结构强调"互不相交"的子集，确保每个结点只属于一个父结点，避免循环或重复。
树的存储结构
顺序结构：
将树结点存储在连续的内存位置（如数组），通过索引表示父子关系。优点是访问快速，但插入或删除操作可能较低效。
链式结构：
使用指针或引用来链接结点（如链表），每个结点包含数据域和指向子树的指针。优点是灵活，适用于动态树结构。
二叉树的定义和类型
基本定义：
二叉树是 n 个结点的有限集合，它要么为空树，要么由一个根结点和两棵互不相交的左子树与右子树组成。关键特点包括：每个结点最多有两个子树（左子树和右子树）；左子树和右子树有固定顺序，不能颠倒；如果结点只有一个子树，必须明确指定是左子树或右子树。
特殊二叉树类型：
斜树（skewed tree）是所有结点都只有左子树（左斜树）或只有右子树（右斜树），结构类似线性链表。满二叉树（full binary tree）是所有分支结点都有左右子树，且所有叶结点都在同一层上，结点总数达到最大值（2^k - 1，k 为深度）。完全二叉树（complete binary tree）是指对树按层序编号，每个结点的编号与同深度的满二叉树中对应结点位置相同，不完全二叉树在编号上会有空缺。
二叉树的数学特性和遍历方法
数学特性：
第 i 层（i ≥ 1）最多有 2^(i-1) 个结点。深度为 k 的二叉树（k ≥ 1）最多有 2^k - 1 个结点。一个关键公式是：对于任意二叉树，叶子结点数（n0）和度为 2 的结点数（n2）满足 n0 = n2 + 1。对于有 n 个结点的完全二叉树，深度为 (log₂(n)) + 1。
遍历方法：
遍历是访问树中所有结点的过程，主要有四种顺序：前序遍历（preorder traversal）按"根-左-右"的顺序访问；中序遍历（inorder traversal）按"左-根-右"的顺序访问，常用于二叉搜索树；后序遍历（postorder traversal）按"左-右-根"的顺序访问；层序遍历（level order traversal）按层从上到下、从左到右访问结点。遍历方法通常采用递归实现，契合树的递归结构特点。
GDB调试工具的常规使用步骤
调试段错误（segmentation fault）：编译时添加调试选项（如使用 gcc -g *.c）生成带调试信息的可执行文件。运行 gdb a.out 启动调试器，在 GDB 中输入 r（run）运行程序，重现错误。使用 where 或 bt 查看调用栈，定位段错误位置。
一般调试流程：
使用 b 命令设置断点（如 b fun.c:36 或 b myfun），输入 r 执行程序并在断点处暂停。使用 n（next）单步执行或 s（step）步入函数，使用 p 命令查看变量值（如 p a 或 p *ptr）。使用 c（continue）继续执行，使用 return 强制返回当前函数。使用 set print elements 可调整字符串显示长度避免被截断。
关键优势：
GDB 能通过 where 命令追踪函数调用栈，帮助快速定位内存错误或逻辑问题，适用于调试复杂的结构体或指针操作。
希尔排序算法
算法原理：希尔排序通过分组比较和插入来优化排序。它使用一个"间隙"（gap）序列，初始 gap 为数组长度的一半，逐步减小至 1，此时等价于插入排序。其核心在于减少逆序对，从而提升效率。
代码实现：
void shell_sort(int a[], int len) {
for (int gap = len / 2; gap > 0; gap /= 2) {
for (int i = gap; i < len; ++i) {
int temp = a[i];
int j = i;
while (j >= gap && a[j - gap] > temp) {
a[j] = a[j - gap];
j -= gap;
}
a[j] = temp;
}
}
}关键步骤：
外层循环控制 gap 的变化，内层循环对每个 gap 分组进行插入排序。元素依 gap 步长回退比较并插入到正确位置。
效率：
希尔排序的平均时间复杂度为 O(n log n)，优于简单插入排序 O(n²)，在实际应用中表现较好。
应用场景：
常用于嵌入式系统或内存受限环境，因其代码简洁且高效。
数据结构核心在于掌握树和二叉树的定义、属性、存储方式及遍历方法，强调结构特性如度和深度，二叉树中特殊类型也需理解。遍历是操作的基础，适用于递归实现。
调试工具 GDB 提供高效定位段错误和运行时错误的手段，掌握基本命令如 run、break、step、print 等是调试复杂程序的关键。