数据结构-树 - 技术栈

二叉树基础

二叉树是数据结构中非常重要的一种非线性结构，它以层次化的方式存储数据，在查找、排序等场景中有着广泛应用。本文将结合具体代码实现，详细介绍二叉树的基本概念、操作及相关知识点。

一、二叉树的基本概念

二叉树是由 n（n≥0）个节点组成的有限集合，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。特殊的二叉树包括：

空二叉树：节点数为 0 的二叉树
满二叉树：所有叶子节点都在同一层，且非叶子节点都有两个子节点
完全二叉树：除最后一层外，其他层的节点数都达到最大值，且最后一层的节点都靠左排列

二、二叉搜索树（BST）的实现

我们实现的BinaryTree类本质上是一棵二叉搜索树，它具有以下特性：左子树的所有节点值小于根节点值，右子树的所有节点值大于等于根节点值。

1. 节点类（Node）

节点是二叉树的基本组成单元，包含节点值和左右子节点的引用：

java 复制代码

package 二叉树;

public class Node {
    public int value;
    public Node left;  // 左子节点
    public Node right; // 右子节点

    public Node(int value) {
        this.value = value;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "Node [value=" + value + ", left=" + left + ", right=" + right + "]";
    }
}

2. 二叉树核心操作

（1）插入操作

插入操作是构建二叉搜索树的基础，根据二叉搜索树的特性，新节点会被放置在正确的位置：

java 复制代码

// 插入节点
public void insert(int num) {
    Node node = new Node(num);
    if(root == null) {  // 树为空时，新节点作为根节点
        root = node;
        return;
    }
    Node index = root;
    while(true) {
        if(index.value > num) {  // 小于当前节点，向左子树查找
            if(index.left == null) {
                index.left = node;
                return;
            }
            index = index.left;
        } else {  // 大于等于当前节点，向右子树查找
            if(index.right == null) {
                index.right = node;
                return;
            }
            index = index.right;
        }
    }
}

（2）遍历操作

遍历是二叉树最常用的操作，主要有深度优先遍历和广度优先遍历两大类：

先序遍历：根节点 → 左子树 → 右子树

java 复制代码

public void beforeOrder(Node node) {
    if(node == null) return;
    System.out.println(node.value);  // 访问根节点
    beforeOrder(node.left);          // 遍历左子树
    beforeOrder(node.right);         // 遍历右子树
}

中序遍历：左子树 → 根节点 → 右子树（对二叉搜索树进行中序遍历可得到有序序列）

java 复制代码

public void inOrder(Node node) {
    if(node == null) return;
    inOrder(node.left);              // 遍历左子树
    System.out.println(node.value);  // 访问根节点
    inOrder(node.right);             // 遍历右子树
}

后序遍历：左子树 → 右子树 → 根节点

java 复制代码

public void afterOrder(Node node) {
    if(node == null) return;
    afterOrder(node.left);           // 遍历左子树
    afterOrder(node.right);          // 遍历右子树
    System.out.println(node.value);  // 访问根节点
}

广度优先遍历（层序遍历）：按层次依次访问各节点，使用队列实现

java 复制代码

public void levelOrder() {
    Queue<Node> queue = new LinkedList<Node>();
    queue.add(root);
    while(!queue.isEmpty()) {
        Node index = queue.poll();
        System.out.println(index.value);  // 访问当前节点
        if(index.left != null) {
            queue.add(index.left);        // 左子节点入队
        }
        if(index.right != null) {
            queue.add(index.right);       // 右子节点入队
        }
    }
}

三、代码测试与运行

Test类用于验证二叉树的功能：

java 复制代码

public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree tree = new BinaryTree();
        // 插入节点构建二叉树
        tree.insert(5);
        tree.insert(10);
        tree.insert(3);
        tree.insert(1);
        tree.insert(4);
        tree.insert(11);
        tree.insert(8);
        
        System.out.println("树的结构：");
        System.out.println(tree);  // 打印树的结构
        
        System.out.println("层序遍历结果：");
        tree.levelOrder();  // 执行层序遍历
    }
}

四、二叉树重要知识点

二叉树的高度与深度
- 节点的深度：从根节点到该节点的路径长度
- 节点的高度：从该节点到最深叶子节点的路径长度
- 树的高度：根节点的高度
二叉搜索树的时间复杂度
- 插入、查找、删除操作的平均时间复杂度为 O (log n)
- 在最坏情况下（树退化为链表），时间复杂度为 O (n)
平衡二叉树
- 为解决二叉搜索树在最坏情况下的性能问题，出现了平衡二叉树（如 AVL 树、红黑树）
- 平衡二叉树通过旋转操作维持树的平衡性，保证操作的时间复杂度稳定在 O (log n)
二叉树的应用场景
- 数据库索引（B 树、B + 树）
- 表达式解析（表达式树）
- Huffman 编码（用于数据压缩）
- 决策树（机器学习领域）
删除操作要点
- 删除叶子节点：直接删除
- 删除只有一个子节点的节点：用子节点替代被删除节点
- 删除有两个子节点的节点：找到中序后继（右子树中最小节点）或中序前驱（左子树中最大节点）替代，再删除该后继 / 前驱节点