4.9 随机变量和的期望
期望的线性性质
期望的一个重要性质是：一组随机变量的和的期望等于这组随机变量各自期望的和。
在本节中，我们假设样本空间 S 是有限的或可数无限的，这简化了讨论并提供了直观的理解。
命题 9.1
对于随机变量 X ，其期望可表示为：
E[X]=∑s∈SX(s)p(s) \boxed{E[X] = \sum_{s \in S} X(s) p(s)} E[X]=s∈S∑X(s)p(s)
其中：
- s \\in S 表示试验结果
- X(s) 表示当结果为 s 时随机变量 X 的取值
- p(s) = P({s}) 表示结果 s 发生的概率
证明：
设随机变量 X 的不同取值为 x_i ( i \\geq 1 )，令 S_i = {s: X(s) = x_i} 表示 X 等于 x_i 的事件集合，则：
E[X]=∑ixiP{X=xi}=∑ixiP(Si)=∑ixi∑s∈Sip(s)=∑i∑s∈Sixip(s)=∑i∑s∈SiX(s)p(s)=∑s∈SX(s)p(s) \begin{aligned} E[X] &= \sum_{i} x_i P\{X = x_i\} \\ &= \sum_{i} x_i P(S_i) \\ &= \sum_{i} x_i \sum_{s \in S_i} p(s) \\ &= \sum_{i} \sum_{s \in S_i} x_i p(s) \\ &= \sum_{i} \sum_{s \in S_i} X(s) p(s) \\ &= \sum_{s \in S} X(s) p(s) \end{aligned} E[X]=i∑xiP{X=xi}=i∑xiP(Si)=i∑xis∈Si∑p(s)=i∑s∈Si∑xip(s)=i∑s∈Si∑X(s)p(s)=s∈S∑X(s)p(s)
推论 9.4
对于随机变量 X_1, X_2, \\ldots, X_n ，有：
E[∑i=1nXi]=∑i=1nE[Xi] \boxed{E\left[\sum_{i=1}^n X_i\right] = \sum_{i=1}^n E[X_i]} E[i=1∑nXi]=i=1∑nE[Xi]
证明：
记 Z = \\sum_{i=1}\^{n} X_i ，由命题 9.1 可得：
E[Z]=∑s∈SZ(s)p(s)=∑s∈S(X1(s)+X2(s)+⋯+Xn(s))p(s)=∑s∈SX1(s)p(s)+∑s∈SX2(s)p(s)+⋯+∑s∈SXn(s)p(s)=E[X1]+E[X2]+⋯+E[Xn] \begin{aligned} E[Z] &= \sum_{s \in S} Z(s) p(s) \\ &= \sum_{s \in S} (X_1(s) + X_2(s) + \dots + X_n(s)) p(s) \\ &= \sum_{s \in S} X_1(s) p(s) + \sum_{s \in S} X_2(s) p(s) + \dots + \sum_{s \in S} X_n(s) p(s) \\ &= E[X_1] + E[X_2] + \dots + E[X_n] \end{aligned} E[Z]=s∈S∑Z(s)p(s)=s∈S∑(X1(s)+X2(s)+⋯+Xn(s))p(s)=s∈S∑X1(s)p(s)+s∈S∑X2(s)p(s)+⋯+s∈S∑Xn(s)p(s)=E[X1]+E[X2]+⋯+E[Xn]
例题
例 9c：n 次掷骰子点数之和的期望
求 n 次掷骰子所得点数之和的期望。
-
令 X 表示点数之和，可表示为：
X=∑i=1nXi X = \sum_{i=1}^n X_i X=i=1∑nXi其中 X_i 表示第 i 次掷骰子所得点数
-
因为 X_i 从 1 至 6 取值的概率相等：
E[Xi]=∑k=16k⋅16=216=72 E[X_i] = \sum_{k=1}^{6} k \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} E[Xi]=k=1∑6k⋅61=621=27 -
由期望的线性性：
E[X]=E[∑i=1nXi]=∑i=1nE[Xi]=7n2=3.5n E[X] = E\left[\sum_{i=1}^{n} X_i\right] = \sum_{i=1}^{n} E[X_i] = \frac{7n}{2} = 3.5n E[X]=E[i=1∑nXi]=i=1∑nE[Xi]=27n=3.5n
例 9d：n 次试验中成功总次数的期望
求 n 次试验中成功总次数的期望，设第 i 次试验成功的概率为 p_i ，，， i = 1, \\ldots, n 。
-
定义指示变量：
Xi={1第 i 次试验成功0第 i 次试验失败 X_i = \begin{cases} 1 & \text{第 } i \text{ 次试验成功} \\ 0 & \text{第 } i \text{ 次试验失败} \end{cases} Xi={10第 i 次试验成功第 i 次试验失败 -
令 X = \\sum_{i=1}\^n X_i 表示成功总次数
-
由于 E\[X_i\] = P{X_i = 1} = p_i ，由期望的线性性：
E[X]=∑i=1nE[Xi]=∑i=1npi E[X] = \sum_{i=1}^n E[X_i] = \sum_{i=1}^n p_i E[X]=i=1∑nE[Xi]=i=1∑npi
!NOTE
这个结果不要求这些试验是独立的。
- 对于二项随机变量（所有 p_i = p ），期望为 np
- 对于超几何随机变量（从有 m 个白球的 N 个球中抽取 n 个），期望为 \\frac{nm}{N}
例 9e：成功试验次数的方差详解
我们需要计算 n 次试验中成功次数 X 的方差，其中第 i 次试验成功的概率为 p_i 。
第一步：建立模型
定义指示变量：
Xi={1第 i 次试验成功0第 i 次试验失败 X_i = \begin{cases} 1 & \text{第 } i \text{ 次试验成功} \\ 0 & \text{第 } i \text{ 次试验失败} \end{cases} Xi={10第 i 次试验成功第 i 次试验失败
则成功总次数：
X=∑i=1nXi X = \sum_{i=1}^{n} X_i X=i=1∑nXi
已知（由例 9d）：
E[X]=∑i=1npi E[X] = \sum_{i=1}^{n} p_i E[X]=i=1∑npi
方差的定义为：
Var(X)=E[X2]−(E[X])2 Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 Var(X)=E[X2]−(E[X])2
因此，我们需要计算 E\[X\^2\] 。
第二步：计算 E\[X\^2\]
首先展开 X\^2 ：
X2=(∑i=1nXi)2=(∑i=1nXi)(∑j=1nXj)=∑i=1n∑j=1nXiXj \begin{aligned} X^2 &= \left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)^2 \\ &= \left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)\left(\sum_{j=1}^{n} X_j\right) \\ &= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \end{aligned} X2=(i=1∑nXi)2=(i=1∑nXi)(j=1∑nXj)=i=1∑nj=1∑nXiXj
将求和拆分为两部分： i = j 和 i \\neq j ：
X2=∑i=1nXi2+∑i=1n∑j≠iXiXj=∑i=1nXi2+∑i=1n∑j≠iXiXj \begin{aligned} X^2 &= \sum_{i=1}^{n} X_i^2 + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j \neq i} X_i X_j \\ &= \sum_{i=1}^{n} X_i^2 + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j \neq i} X_i X_j \end{aligned} X2=i=1∑nXi2+i=1∑nj=i∑XiXj=i=1∑nXi2+i=1∑nj=i∑XiXj
由于 X_i 只取 0 或 1，所以 X_i\^2 = X_i ：
X2=∑i=1nXi+∑i=1n∑j≠iXiXj X^2 = \sum_{i=1}^{n} X_i + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j \neq i} X_i X_j X2=i=1∑nXi+i=1∑nj=i∑XiXj
取期望：
E[X2]=E[∑i=1nXi+∑i=1n∑j≠iXiXj]=∑i=1nE[Xi]+∑i=1n∑j≠iE[XiXj] \begin{aligned} E[X^2] &= E\left[\sum_{i=1}^{n} X_i + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j \neq i} X_i X_j\right] \\ &= \sum_{i=1}^{n} E[X_i] + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j \neq i} E[X_i X_j] \end{aligned} E[X2]=E i=1∑nXi+i=1∑nj=i∑XiXj =i=1∑nE[Xi]+i=1∑nj=i∑E[XiXj]
由于 E\[X_i\] = p_i ，且 X_i X_j = 1 当且仅当 X_i = 1 且 X_j = 1 ，所以：
E[XiXj]=P{Xi=1,Xj=1} E[X_i X_j] = P\{X_i = 1, X_j = 1\} E[XiXj]=P{Xi=1,Xj=1}
因此：
E[X2]=∑i=1npi+∑i=1n∑j≠iP{Xi=1,Xj=1} E[X^2] = \sum_{i=1}^{n} p_i + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j \neq i} P\{X_i = 1, X_j = 1\} E[X2]=i=1∑npi+i=1∑nj=i∑P{Xi=1,Xj=1}
第三步：计算方差
Var(X)=E[X2]−(E[X])2=(∑i=1npi+∑i=1n∑j≠iP{Xi=1,Xj=1})−(∑i=1npi)2=∑i=1npi+∑i=1n∑j≠iP{Xi=1,Xj=1}−∑i=1npi2−∑i=1n∑j≠ipipj \begin{aligned} Var(X) &= E[X^2] - (E[X])^2 \\ &= \left(\sum_{i=1}^{n} p_i + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j \neq i} P\{X_i = 1, X_j = 1\}\right) - \left(\sum_{i=1}^{n} p_i\right)^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n} p_i + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j \neq i} P\{X_i = 1, X_j = 1\} - \sum_{i=1}^{n} p_i^2 - \sum_{i=1}^{n} \sum_{j \neq i} p_i p_j \end{aligned} Var(X)=E[X2]−(E[X])2= i=1∑npi+i=1∑nj=i∑P{Xi=1,Xj=1} −(i=1∑npi)2=i=1∑npi+i=1∑nj=i∑P{Xi=1,Xj=1}−i=1∑npi2−i=1∑nj=i∑pipj
其中， \\left(\\sum_{i=1}\^{n} p_i\\right)\^2 = \\sum_{i=1}\^{n} p_i\^2 + \\sum_{i=1}\^{n} \\sum_{j \\neq i} p_i p_j
整理得：
Var(X)=∑i=1npi(1−pi)+∑i=1n∑j≠i(P{Xi=1,Xj=1}−pipj) Var(X) = \sum_{i=1}^{n} p_i(1-p_i) + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j \neq i} \left(P\{X_i = 1, X_j = 1\} - p_i p_j\right) Var(X)=i=1∑npi(1−pi)+i=1∑nj=i∑(P{Xi=1,Xj=1}−pipj)
二项随机变量的方差
- 二项随机变量： n 次独立重复试验，每次成功概率为 p
- 所有 p_i = p
- 试验相互独立
-
计算 E\[X\^2\] ：
由于试验独立，当 i \\neq j 时：
P{Xi=1,Xj=1}=P{Xi=1}⋅P{Xj=1}=p⋅p=p2 P\{X_i = 1, X_j = 1\} = P\{X_i = 1\} \cdot P\{X_j = 1\} = p \cdot p = p^2 P{Xi=1,Xj=1}=P{Xi=1}⋅P{Xj=1}=p⋅p=p2因此：
E[X2]=∑i=1np+∑i=1n∑j≠ip2=np+n(n−1)p2 \begin{aligned} E[X^2] &= \sum_{i=1}^{n} p + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j \neq i} p^2 \\ &= np + n(n-1)p^2 \end{aligned} E[X2]=i=1∑np+i=1∑nj=i∑p2=np+n(n−1)p2解释：
- 第一项 \\sum_{i=1}\^{n} p = np ：有 n 个 p
- 第二项 \\sum_{i=1}\^{n} \\sum_{j \\neq i} p\^2 ：有 n(n-1) 项，每项为 p\^2
-
计算方差 ：
Var(X)=E[X2]−(E[X])2=np+n(n−1)p2−(np)2=np+n2p2−np2−n2p2=np−np2=np(1−p) \begin{aligned} Var(X) &= E[X^2] - (E[X])^2 \\ &= np + n(n-1)p^2 - (np)^2 \\ &= np + n^2p^2 - np^2 - n^2p^2 \\ &= np - np^2 \\ &= np(1-p) \end{aligned} Var(X)=E[X2]−(E[X])2=np+n(n−1)p2−(np)2=np+n2p2−np2−n2p2=np−np2=np(1−p)
超几何随机变量的方差
- 超几何随机变量：从 N 个球（其中 m 个白球）中无放回抽取 n 个球，得到的白球数量
- p = \\frac{m}{N} ：每次抽取得到白球的概率
- 试验不独立（无放回抽样）
-
**计算 P{X_i = 1, X_j = 1} ∗∗（\*\*（∗∗（ i \\neq j ）：
由于是无放回抽样：
P{Xi=1,Xj=1}=P{Xi=1}⋅P{Xj=1∣Xi=1}=mN⋅m−1N−1 \begin{aligned} P\{X_i = 1, X_j = 1\} &= P\{X_i = 1\} \cdot P\{X_j = 1 \mid X_i = 1\} \\ &= \frac{m}{N} \cdot \frac{m-1}{N-1} \end{aligned} P{Xi=1,Xj=1}=P{Xi=1}⋅P{Xj=1∣Xi=1}=Nm⋅N−1m−1解释：
- P{X_i = 1} = \\frac{m}{N} ：第一次抽取得到白球的概率
- P{X_j = 1 \\mid X_i = 1} = \\frac{m-1}{N-1} ：已知第一次抽到白球，第二次也抽到白球的条件概率
-
计算 E\[X\^2\] ：
E[X2]=∑i=1npi+∑i=1n∑j≠iP{Xi=1,Xj=1}=np+n(n−1)⋅mN⋅m−1N−1=nmN+n(n−1)⋅mN⋅m−1N−1 \begin{aligned} E[X^2] &= \sum_{i=1}^{n} p_i + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j \neq i} P\{X_i = 1, X_j = 1\} \\ &= np + n(n-1) \cdot \frac{m}{N} \cdot \frac{m-1}{N-1} \\ &= \frac{nm}{N} + n(n-1) \cdot \frac{m}{N} \cdot \frac{m-1}{N-1} \end{aligned} E[X2]=i=1∑npi+i=1∑nj=i∑P{Xi=1,Xj=1}=np+n(n−1)⋅Nm⋅N−1m−1=Nnm+n(n−1)⋅Nm⋅N−1m−1
解释：
- \\sum_{i=1}\^{n} p_i = np = \\frac{nm}{N} ：：： n 次试验中成功次数的期望
- \\sum_{i=1}\^{n} \\sum_{j \\neq i} P{X_i = 1, X_j = 1} = n(n-1) \\cdot \\frac{m}{N} \\cdot \\frac{m-1}{N-1} ：有 n(n-1) 对不同的试验，每对同时成功的概率
-
计算方差：
Var(X)=E[X2]−(E[X])2=nmN+n(n−1)⋅mN⋅m−1N−1−(nmN)2=np+n(n−1)⋅p⋅m−1N−1−(np)2 \begin{aligned} Var(X) &= E[X^2] - (E[X])^2 \\ &= \frac{nm}{N} + n(n-1) \cdot \frac{m}{N} \cdot \frac{m-1}{N-1} - \left(\frac{nm}{N}\right)^2 \\ &= np + n(n-1) \cdot p \cdot \frac{m-1}{N-1} - (np)^2 \end{aligned} Var(X)=E[X2]−(E[X])2=Nnm+n(n−1)⋅Nm⋅N−1m−1−(Nnm)2=np+n(n−1)⋅p⋅N−1m−1−(np)2
令 p = \\frac{m}{N} ，则 m = Np ，代入得：
Var(X)=np+n(n−1)⋅p⋅Np−1N−1−n2p2=np[1+(n−1)⋅Np−1N−1−np]=np[1−np+(n−1)(Np−1)N−1]=np[1−np+nNp−n−Np+1N−1]=np[(N−1)(1−np)+nNp−n−Np+1N−1]=np[N−1−Nnp+np+nNp−n−Np+1N−1]=np[N−Np−n+npN−1]=np[N(1−p)−n(1−p)N−1]=np(1−p)⋅N−nN−1 \begin{aligned} Var(X) &= np + n(n-1) \cdot p \cdot \frac{Np-1}{N-1} - n^2p^2 \\ &= np \left[1 + (n-1) \cdot \frac{Np-1}{N-1} - np\right] \\ &= np \left[1 - np + \frac{(n-1)(Np-1)}{N-1}\right] \\ &= np \left[1 - np + \frac{nNp - n - Np + 1}{N-1}\right] \\ &= np \left[\frac{(N-1)(1-np) + nNp - n - Np + 1}{N-1}\right] \\ &= np \left[\frac{N - 1 - Nnp + np + nNp - n - Np + 1}{N-1}\right] \\ &= np \left[\frac{N - Np - n + np}{N-1}\right] \\ &= np \left[\frac{N(1-p) - n(1-p)}{N-1}\right] \\ &= np(1-p) \cdot \frac{N-n}{N-1} \end{aligned} Var(X)=np+n(n−1)⋅p⋅N−1Np−1−n2p2=np[1+(n−1)⋅N−1Np−1−np]=np[1−np+N−1(n−1)(Np−1)]=np[1−np+N−1nNp−n−Np+1]=np[N−1(N−1)(1−np)+nNp−n−Np+1]=np[N−1N−1−Nnp+np+nNp−n−Np+1]=np[N−1N−Np−n+np]=np[N−1N(1−p)−n(1−p)]=np(1−p)⋅N−1N−n
!NOTE
超几何分布的方差公式为：
Var(X)=np(1−p)⋅N−nN−1 \boxed{Var(X) = np(1-p) \cdot \frac{N-n}{N-1}} Var(X)=np(1−p)⋅N−1N−n其中 p = \\frac{m}{N} 。
4.10 分布函数的性质
基本性质
随机变量 X 的分布函数 F(b) = P{X \\leq b} 具有以下性质：
-
非降性： F 是非降函数，即如果 a \\leq b ，则 F(a) \\leq F(b)
- 证明：当 a \< b 时，事件 {X \\leq a} 包含在事件 {X \\leq b} 中
-
极限性质：
- limb→∞F(b)=1\lim_{b \to \infty} F(b) = 1limb→∞F(b)=1
- limb→−∞F(b)=0\lim_{b \to -\infty} F(b) = 0limb→−∞F(b)=0
-
右连续性 ： F 是右连续的，即对任意 b 和单调递减收敛于 b 的序列 b_n ，有 limn→∞F(bn)=F(b)\lim_{n \to \infty} F(b_n) = F(b)limn→∞F(bn)=F(b)
概率计算
所有关于 X 的概率问题都可以通过其分布函数 F 计算：
-
区间概率 ：
P{a<X≤b}=F(b)−F(a)当 a<b(10.1) \boxed{P\{a < X \leq b\} = F(b) - F(a) \quad \text{当 } a < b} \tag{10.1} P{a<X≤b}=F(b)−F(a)当 a<b(10.1)- 证明：事件 {X \\leq b} = {X \\leq a} \\cup {a \< X \\leq b} ，且两事件互斥
-
严格小于的概率 ：
P{X<b}=limn→∞F(b−1n) P\{X < b\} = \lim_{n \to \infty} F\left(b - \frac{1}{n}\right) P{X<b}=n→∞limF(b−n1)- 注意： P{X \< b} 不一定等于 F(b) ，因为 F(b) 还包含 P{X = b}
例题
例 10a：分布函数应用
随机变量 X 的分布函数为：
F(x)={0x<0x/20≤x<12/31≤x<211/122≤x<313≤x F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ x/2 & 0 \leq x < 1 \\ 2/3 & 1 \leq x < 2 \\ 11/12 & 2 \leq x < 3 \\ 1 & 3 \leq x \end{cases} F(x)=⎩ ⎨ ⎧0x/22/311/121x<00≤x<11≤x<22≤x<33≤x
计算：
-
(a) P{X \< 3}
P{X<3}=limn→∞P{X≤3−1n}=limn→∞F(3−1n)=1112 P\{X < 3\} = \lim_{n \to \infty} P\left\{X \leq 3 - \frac{1}{n}\right\} = \lim_{n \to \infty} F\left(3 - \frac{1}{n}\right) = \frac{11}{12} P{X<3}=n→∞limP{X≤3−n1}=n→∞limF(3−n1)=1211 -
(b) P{X = 1}
P{X=1}=P{X≤1}−P{X<1}=F(1)−limn→∞F(1−1n)=23−12=16 P\{X = 1\} = P\{X \leq 1\} - P\{X < 1\} = F(1) - \lim_{n \to \infty} F\left(1 - \frac{1}{n}\right) = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} P{X=1}=P{X≤1}−P{X<1}=F(1)−n→∞limF(1−n1)=32−21=61 -
© P{X \> 1/2}
P{X>12}=1−P{X≤12}=1−F(12)=1−14=34 P\left\{X > \frac{1}{2}\right\} = 1 - P\left\{X \leq \frac{1}{2}\right\} = 1 - F\left(\frac{1}{2}\right) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} P{X>21}=1−P{X≤21}=1−F(21)=1−41=43 -
(d) P{2 \< X \\leq 4}
P{2<X≤4}=F(4)−F(2)=1−1112=112 P\{2 < X \leq 4\} = F(4) - F(2) = 1 - \frac{11}{12} = \frac{1}{12} P{2<X≤4}=F(4)−F(2)=1−1211=121
本章小结
随机变量与分布函数
- 随机变量：定义在概率试验结果上的实值函数
- 分布函数： F(x) = P{X \\leq x}
- 任意关于 X 的概率都可通过 F 计算
离散型随机变量
- 定义：可能取值为有限集或可数无限集的随机变量
- 概率分布列： p(x) = P{X = x}
- 期望： E\[X\] = \\sum_{x, p(x) \> 0} x p(x)
- 函数期望： E\[g(X)\] = \\sum_{x, p(x) \> 0} g(x) p(x)
- 方差： Var(X) = E\[(X - E\[X\])\^2\] = E\[X\^2\] - (E\[X\])\^2
- 标准差： SD(X) = \\sqrt{Var(X)}
常见离散分布
| 分布 | 分布列 | 期望 | 方差 |
|---|---|---|---|
| 二项分布 (n,p)(n, p)(n,p) | p(i)=(ni)pi(1−p)n−ip(i) = \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}p(i)=(in)pi(1−p)n−i i=0,⋯ ,ni = 0, \cdots, ni=0,⋯,n | npnpnp | np(1−p)np(1-p)np(1−p) |
| 泊松分布 (λ)(\lambda)(λ) | p(i)=e−λλii!p(i) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^i}{i!}p(i)=i!e−λλi i≥0i \geq 0i≥0 | λ\lambdaλ | λ\lambdaλ |
| 几何分布 (p)(p)(p) | p(i)=p(1−p)i−1p(i) = p(1-p)^{i-1}p(i)=p(1−p)i−1 i=1,2,⋯i = 1, 2, \cdotsi=1,2,⋯ | 1p\frac{1}{p}p1 | 1−pp2\frac{1-p}{p^2}p21−p |
| 负二项分布 (r,p)(r, p)(r,p) | p(i)=(i−1r−1)pr(1−p)i−rp(i) = \binom{i-1}{r-1} p^r (1-p)^{i-r}p(i)=(r−1i−1)pr(1−p)i−r i≥ri \geq ri≥r | rp\frac{r}{p}pr | r(1−p)p2\frac{r(1-p)}{p^2}p2r(1−p) |
| 超几何分布 (n,N,m)(n, N, m)(n,N,m) | p(i)=(mi)(N−mn−i)(Nn)p(i) = \frac{\binom{m}{i}\binom{N-m}{n-i}}{\binom{N}{n}}p(i)=(nN)(im)(n−iN−m) i=0,1,...,mi = 0, 1, \dots, mi=0,1,...,m | npnpnp (p=mN)(p = \frac{m}{N})(p=Nm) | N−nN−1np(1−p)\frac{N-n}{N-1} np(1-p)N−1N−nnp(1−p) |
期望的线性性质
- 核心性质： E\\left\[\\sum_{i=1}\^n X_i\\right\] = \\sum_{i=1}\^n E\[X_i\]
- 该性质不要求随机变量相互独立
- 在计算复杂随机变量的期望时非常有用