完全背包（模板）

前言：完全背包问题，只是在0,1背包问题上稍微改变了一点，就是这里的物品可以重复选择。

例题1：完全背包__牛客网

1. 题目解析（这个题目说的很清楚了）

（1）求这个背包至多能装多大价值的物品？

（2）若背包恰好装满，求至多能装多大价值的物品？

2. 算法原理

1.状态表示

根据0,1背包问题，

我们对于 问题一 设：f[ i ][ j ]表示在前 i 个物品中选出的物品 总体积不大于j的总质量最大值；

问题二 设：g[ i ] [ j ] 表示在前 i 个物品中选出的物品 总体积等于j的总质量最大值；

只是我们这里需要，对 i 位置的物品 进行枚举，i 位置的物品可能是 1个，2个，3个,......

(满足j >= n * v[ i ] 就行 )

2.状态表示转移方程

对于i位置的物品 ：选 dp[ i ][ j ] = 满足 （j >= n * v [ i ]） 即可

Math.max( dp[ i - 1 ][ j ] ，dp[ i - 1 ] [ j - v[ i ]] + w[ i ]，dp[ i - 1][ j - 2 * v[ j ]] + 2 * w[ i ] + ....)

不选： dp[ i ][ j ] = dp[i - 1][ j ]

3.初始化

int[ ][ ] f = new int[n + 1][v + 1]; int[ ][ ] g = new int[n + 1][v + 1];

对于这多加的一行，一列，初始化的值应为0。（原因如下：）

对于 0 个物品，背包体积无论多大，能选出物品价值都为0；

对于无数个物品，背包体积为 0 ，能选出物品价值都为0；

4.填表顺序

对于dp[ i ][ j ] 依赖与 dp[ i - 1][ j ] , dp[ i - 1][ j - xx] 也就是左上方的值；所以我们

从 左 -> 右，上 -> 下 填表。

5.返回值

由状态表示可得： 问题1为 f[ n ][ v ] ； 问题2为 f[ n ][ v ]。

3. 代码

public class Solution {
    public ArrayList<Integer> knapsack (int v, int n,
                                        ArrayList<ArrayList<Integer>> nums) {
        int[][] f = new int[n + 1][v + 1];
        int[][] g = new int[n + 1][v + 1];

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= v; j++) {
                int tep = nums.get(i - 1).get(0);
                for (int k = 0; k * tep <= j; k++) {
                    f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i - 1][j]);
                    g[i][j] = Math.max(g[i][j], g[i - 1][j]);
                    if (tep <= j) {
                        f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i - 1][j - tep * k] + nums.get(i - 1).get(1) * k);
                    }
                    if(g[i-1][j - k*tep] != 0 || k * tep == j){
                        g[i][j] = Math.max(g[i][j],g[i-1][j- k*tep] + nums.get(i - 1).get(1) * k);
                    }
                }
            }
        }

        ArrayList<Integer> ret = new ArrayList<>();
        ret.add(f[n][v]);
        ret.add(g[n][v]);
        return ret;
    }
}

4. 优化：（实现 O(n3) -> O(n2) ）(这一步说实话真的太强了)

等式一：

f[i][j] = max(f[i-1][j],  f[i-1][j - v[i]]+w[i], f[i-1][j-2*v[i]]+2*w[i], f[i-1][j-3*v[i]]+3*w[i] ,......)

使用代入法，将j= j - v[i]带入上面的方程中得到：

等式二：

f[i][j-v[i]] = max(f[i-1][j-v[i]],  f[i-1][j - 2*v[i]]+w[i], f[i-1][j-3*v[i]]+2*w[i], f[i-1][j-3*v[i]]+3*w[i] ,......)

对比等式一，等式二，可化简为: (如此便可代替循环选多少个当前物品最佳)

f[i][j] = max(f[i-1][j],  f[i][j - v[i]]+w[i]);

import java.util.*;

public class Solution {
    public ArrayList<Integer> knapsack (int v, int n, ArrayList<ArrayList<Integer>> nums) {
        int[][] f = new int[n + 1][v + 1];
        int[][] g = new int[n + 1][v + 1];

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= v; j++) {
                int tep = nums.get(i - 1).get(0);
                f[i][j] = f[i - 1][j];
                g[i][j] = g[i - 1][j];
                if (tep <= j) {
                    f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i][j - tep] + nums.get(i - 1).get(1));
                }                    
                if(tep == j || (tep < j && g[i][j - tep] != 0) ){
                    g[i][j] = Math.max(g[i][j],g[i][j- tep] + nums.get(i - 1).get(1));
                }
            }
        }

        ArrayList<Integer> ret = new ArrayList<>();
        ret.add(f[n][v]);
        ret.add(g[n][v]);
        return ret;
    }
}

例题2：最少的完全平方数_牛客题霸_牛客网 （变式）

1. 题目解析

通过举例表明题目意思

给出 n = 9 , 可提供选择的数有 1 ，4，9，16，25，36...，81，每个数可重复选；

选出m 个数要求和为n，求最小值m，这里选9，m = 1;

2. 算法原理

1.状态表示

设：dp[ i ] [ j ]表示在前i个数中选出 x 个可重复的数 和等于n,x的最小值。

2.状态表示转移方程

由完全背包化简的表达过程得：

选 i 位置 dp[ i ] [ j ] = Math.min( dp [ i - 1][ j ], dp [ i ] [ j - i * i ] + 1)，需满足条件

(i * i == j || (i * i < j && dp[i][j - i*i] != 0)) ；

不选：dp[ i ][ j ] = dp[ i - 1][ j ];

3.初始化

int[][] dp = new int[m+1][n+1];

对于dp[ 0 ][ xx ] 0 个可选的数，但要求选出数的和 和为 n ，这是不可能的，所以我们初始化为 0x3f3f3f3f,这样就选不到，这一行的值了。

对于 dp[ xx ][ 0 ] xx 给可选的数，但要求选出数的和为0，不选就可以了，所以初始化为0。

4.填表顺序

根据当前位置依赖之前位置的关系，这里是 左 -> 右，上 ->下。

5.返回值

根据状态表示的返回值为： dp [m] [n]

3. 代码

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        // 处理初始化，输出
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int m = (int)Math.sqrt(n);
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];
        
        for(int j = 0;j <= n;j++){
            dp[0][j] = 0x3f3f3f3f;
        }
        dp[0][0] = 0;

        // 核心代码
        for(int i = 1;i <= m;i++){
            for(int j = 1;j <= n;j++){
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
                if(i * i == j || (i * i < j && dp[i][j - i*i] != 0)){
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i][j],dp[i][j - i*i] + 1);
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[m][n]);
    }
}

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