目录
[1. 将强化过程建模为马尔可夫链](#1. 将强化过程建模为马尔可夫链)
[2. 定义期望函数](#2. 定义期望函数)
[3. 建立递推方程](#3. 建立递推方程)
[4. 解线性方程组](#4. 解线性方程组)
[第三步：总期望次数 = 从0到1的期望 + 从1到2的期望](#第三步：总期望次数 = 从0到1的期望 + 从1到2的期望)
题目
假设一件装备从0级强化到1级的成功概率为50%，1级时强化到2级成功概率为35%、掉回0级的概率为20%、剩余概率保持不变，那么该装备从0级强化至2级的期望次数是多少？
思路
这个问题的求解使用了马尔可夫链（Markov Chain） 和期望的线性递推（Linear Recurrence for Expectations） 的思想。具体来说，是一种基于状态转移的期望计算方法。
方法一：状态与递推
1. 将强化过程建模为马尔可夫链
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定义状态：0级、1级、2级（吸收态）。
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每次强化都是一次状态转移，带有一定的概率。
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从每个状态出发，转移到其他状态（或自身）的概率是已知的。
2. 定义期望函数
设：
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E0：从状态0（0级）开始，强化到状态2（2级）所需的期望次数。
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E1：从状态1（1级）开始，强化到状态2（2级）所需的期望次数。
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E2=0：因为2级是目标状态（吸收态），不需要再强化。
3. 建立递推方程
从每个状态出发，考虑一次强化后的可能结果：
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从状态0（0级）强化一次：
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成功（50%概率）→ 进入状态1，消耗1次，之后还需要E1次。
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失败（50%概率）→ 保持在状态0，消耗1次，之后还需要E0次。
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所以：E0=1+0.5⋅E1+0.5⋅E0
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从状态1（1级）强化一次：
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成功（35%概率）→ 进入状态2（吸收态），消耗1次，之后还需要0次。
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失败掉回0级（20%概率）→ 进入状态0，消耗1次，之后还需要E0次。
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保持不变（45%概率）→ 保持在状态1，消耗1次，之后还需要E1次。
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所以：E1=1+0.35⋅0+0.20⋅E0+0.45⋅E1
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4. 解线性方程组
得到两个方程：
通过代数方法（代入、消元）求解出E0和E1。
为什么这种方法有效？
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期望的线性性（Linearity of Expectation） ：无论状态如何转移，总期望次数等于本次操作的期望（1次）加上后续状态的期望的加权平均。
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马尔可夫性：下一次状态只取决于当前状态，与历史无关，因此可以用递推关系描述。
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吸收态：目标状态（2级）的期望次数为0，递归边界清晰。
这种方法的应用场景
这种思想适用于：
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游戏强化/升级问题（有概率成功、失败、倒退）。
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随机游走（如赌徒输光问题）。
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任何具有状态转移的随机过程（如排队论、可靠性分析）。
总结
通过定义状态、建立递推关系、解线性方程组，求出了从0级到2级的期望次数。这是一种非常经典且强大的方法，常用于解决带有状态转移的随机过程问题。
✅ 如果问题更复杂（比如更多等级），只需定义更多状态（E0,E1,E2,...E0,E1,E2,...），建立更大的方程组，同样可解。
方法二：直接计算法
对于这个具体问题，存在一种更直观、不需要解方程组的方法 ，但需要一些巧妙的组合思维。这种方法基于首次步分析（First-step analysis） 和几何分布的期望思想。
第一步：计算从0级到1级的期望次数
这是一个简单的几何分布：
第二步：计算从1级到2级的期望次数（考虑掉级）
从1级强化到2级，每次尝试有三种结果：
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成功（35%）：直接到2级（结束）
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失败掉回0级（20%）：需要重新从0级开始（包括先回到0级，再从0级到1级，然后再从1级尝试到2级）
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保持不变（45%）：继续在1级尝试
设 E1→2 为从1级到2级的期望次数。
每次尝试：
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以0.35概率成功，消耗1次
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以0.20概率失败掉回0级，消耗1次 + 从0级到1级的期望次数（2次） + 再从1级到2级的期望次数（E1→2）
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以0.45概率保持不变，消耗1次 + 继续从1级开始（E1→2）
因此：
解释：
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1：每次尝试固定消耗1次
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0.35×0：成功则后续次数为0
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0.20×(2+E1→2)：掉回0级后，需要先花2次回到1级，再花E1→2次到2级
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0.45×E1→2：保持不变，后续还需要E1→2次
化简：
第三步：总期望次数 = 从0到1的期望 + 从1到2的期望
为什么这种方法更直观？
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分阶段处理：将过程分为两个独立阶段（0→1和1→2）。
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处理回调：当从1级掉回0级时，需要额外补偿从0级到1级的期望次数（2次）。
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直接计算：避免了建立方程组，直接通过几何分布和期望的线性性得到结果。
对比两种方法
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方法一（递推方程）：通用性强，适合复杂状态转移。
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方法二（直接计算）：更直观，适合阶段清晰的问题（如本题）。
✅ 对于这个具体问题，方法二更简单直接，且不需要解方程组。