【1】引言
前序学习进程中，已经对贝叶斯公式和全概率公式做了简单学习，也对相关的先验概率、似然概率和后验概率基本概念做了探究。
今天就在先前学习的基础上再做一下加深，使得理解更加透彻。
【2】贝叶斯公式
【2.1】联合概率
联合概率，事件A和事件B同时发生的概率，可以记作：
P ( A ∩ B ) P(A\cap B) P(A∩B)
【2.2】条件概率
条件概率，一个事件已经发生的前提下，另一个事件发生的概率。
事件A发生的前提下，事件B发生的概率记作： P ( B ∣ A ) P(B|A) P(B∣A)
事件B发生的前提下，事件A发生的概率记作： P ( A ∣ B ) P(A|B) P(A∣B)
条件概率中蕴含联合概率，因为一个事件发生，另一个事件也发生，那这两个事件在表象上是同时发生，所以满足条件概率的定义，具体的计算公式为：
当事件A先发生， P ( B ∣ A ) = P ( A ∩ B ) P ( A ) P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)} P(B∣A)=P(A)P(A∩B)
当事件B先发生， P ( A ∣ B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(A∩B)
【2.3】贝叶斯公式
从条件概率推导联合概率，有：
P ( B ∣ A ) ⋅ P ( A ) = P ( A ∩ B ) = P ( A ∣ B ) ⋅ P ( B ) P(B|A)\cdot P(A)=P(A\cap B)=P(A|B) \cdot P(B) P(B∣A)⋅P(A)=P(A∩B)=P(A∣B)⋅P(B)
根据这个公式可以转换出另外两个公式：
P ( B ∣ A ) = P ( A ∣ B ) ⋅ P ( B ) P ( A ) P(B|A)=\frac{P(A|B)\cdot{P(B)}}{P(A)} P(B∣A)=P(A)P(A∣B)⋅P(B)
P ( A ∣ B ) = P ( B ∣ A ) ⋅ P ( A ) P ( B ) P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot{P(A)}}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(B∣A)⋅P(A)
这两个就是贝叶斯公式。
【2.4】全概率公式
在先前的学习中，其实提及贝叶斯公式会涉及一连串互斥且互补的时间，本质上这是一个全概率问题。
多个事件互斥且互补时，它们一定满足：
P ( A ∣ A ) = 1 = ∑ i = 1 n P ( A i ∣ A ) P(A|A)=1=\sum_{i=1}^{n}P(A_{i}|A) P(A∣A)=1=i=1∑nP(Ai∣A)
i ≠ j , P ( A i ∩ A j ) = 0 i≠j,P(A_{i}\cap A_{j})=0 i=j,P(Ai∩Aj)=0
所以全概率公式可以进一步改写，以事件A先发生讨论，此时有
P ( B ∣ A ) = P ( A ∣ B ) ⋅ P ( B ) P ( A ) = ∑ i = 1 n P ( A i ∣ B ) P ( B ) ∑ i = 1 n P ( A i ) P(B|A)=\frac{P(A|B)\cdot{P(B)}}{P(A)}=\\ \frac{\sum_{i=1}^{n}P(A_{i}|B)P(B)}{\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})} P(B∣A)=P(A)P(A∣B)⋅P(B)=∑i=1nP(Ai)∑i=1nP(Ai∣B)P(B)
【2.5】讨论
贝叶斯公式提供了更为广阔的视角，实际上无论哪个事件先发生，都可以计算 P ( A ∣ B ) P(A|B) P(A∣B)和 P ( B ∣ A ) P(B|A) P(B∣A)，计算的根本依据就是全概率公式。
更多时候，学习里面的困惑在于本来在学习A先发生，B后发生，这样很好计算 P ( B ∣ A ) P(B|A) P(B∣A)，突然问B发生时A发生的概率 P ( A ∣ B ) P(A|B) P(A∣B)，这时候就一定要灵活使用 P ( B ∣ A ) ⋅ P ( A ) = P ( A ∩ B ) = P ( A ∣ B ) ⋅ P ( B ) P(B|A)\cdot P(A)=P(A\cap B)=P(A|B) \cdot P(B) P(B∣A)⋅P(A)=P(A∩B)=P(A∣B)⋅P(B)来转换贝叶斯公式。
【3】总结
学习了贝叶斯公式和全概率公式。