斜率优化 DP 解析([HNOI2008] 玩具装箱 题解)

前置知识:单调队列(一般情况下)、一次函数、前缀和(例题)。

关于

斜率优化一般解决这样的问题:

\[dp_i = \min \{ dp_j + f(i, j) \} \]

当然这种也算:

\[dp_i = \max \{ dp_j + f(i, j) \} \]

例题

链接是这个:跳转到洛谷

题目大意:将一段数组分段,每段的代价是 \((j - i + \sum_{k=i}^j{c_k} - L) ^2\),求分段代价合的最小值。

第一次变形

令前缀和数组为 \(s\),即:\(s_i = \sum_1^i{c_k}\),则:\(\sum_{k=i}^j{c_k} = sum_j - sum_{i - 1}\)。

令:\(m = L + 1\)。

则:\(dp_i = \min \{ dp_j + (i - j + s_i - s_j +m) \}\)。

继续令:\(a_i = i + s_i\)。

则:\(dp_i = \min \{ dp_j + (a_i - a_j - m)^2 \}\)。

就是上面关于所提到的类似的式子。

弱版的话直接这样暴力 DP \(O(n^2)\) 就能过。

第二次变形

解决:\(dp_i = \min \{ dp_j + (a_i - a_j - m)^2 \}\) 的问题。

假设存在更优解 \(j\) 且 \(j\) 小于当前最优值 \(k\),即:\(j < k\).

那么很容易得到:\(dp_j + (a_i - a_j - m)^2 \le dp_k + (a_i - a_k - m)^2\)。

化解移项(过程略)后得到的结果:

\[(dp_j + a_j ^ 2) - (dp_k - a_k^2) \le 2(a_i - m)(a_j - k) \]

令:\(f(i) = dp_i + a_i^2\),可得:

\[\frac{f(j) - f(k)}{a_j - a_k} \le 2(a_i - m) \]

斜率具有单调性,使用单调队列优化即可。

代码

cpp 复制代码
#include <bits/stdc++.h>
#define GCC optimize("Ofast", "-funroll-all-loops")
#pragma GCC target("popcnt")

#define int long long

#define rep(x, a, b) for (auto x = a; x <= b; x++)
#define rpl(x, a, b) for (auto x = a; x < b; x++)
#define per(x, a, b) for (auto x = a; x >= b; x--)

using namespace std;

#define pii pair<int, int>
#define x first
#define y second

const int N = 5e4 + 10;
int n, m, a[N], b[N], s[N], dp[N];
deque<int> q;

int f(int x) { return dp[x] + a[x] * a[x]; }
double slope(int x, int y) { return (double)(f(x) - f(y)) / (a[x] - a[y]); }

signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false); 
	cin.tie(nullptr); 

	cin >> n >> m;
	m ++;
	
	rep(i, 1, n) cin >> s[i];
	rep(i, 2, n) s[i] += s[i - 1];
	rep(i, 1, n) a[i] = s[i] + i;   
	
	q.push_back(0);
	rep(i, 1, n) {
		while (q.size() > 1 && slope(q[0], q[1]) <= 2 * (a[i] - m)) q.pop_front();		
		dp[i] = dp[q[0]] + (a[i] - a[q[0]] - m) * (a[i] - a[q[0]] - m);		
		while (q.size() > 1 && slope(q[q.size() - 2], q.back()) > slope(i, q.back())) q.pop_back();
		
		q.push_back(i);
	}
	
	cout << dp[n] << endl;
	return 0;
}