快速幂
快速幂（Fast Exponentiation）算法 解决这样一个问题：求解自然数的指数运算。计算 \(a^b\) 时，按照指数定义的朴素的方法是通过连续相乘：
\a\^b = \\underbrace{a \\times a \\times \\cdots \\times a}_{b\\text{次}} \\
这种方法需要进行 \(b-1\) 次乘法，当 \(b\) 很大时（如 \(10^9\)），时间复杂度 \(O(b)\) 是完全不可接受的。
快速幂通过巧妙的二进制分解技术，将幂运算的时间复杂度从 \(O(b)\) 优化到 \(O(\log b)\)。
考虑计算 \(a^{13}\)，将指数 13 用二进制表示：
\13 = 1101_2 = 2\^3 + 2\^2 + 0 + 2\^0 = 8 + 4 + 0 + 1 \\
因此：
\a\^{13} = a\^{8 + 4 + 0 + 1} = a\^8 \\times a\^4 \\times a\^0 \\times a\^1 \\
而 a\^8 = (a\^4) \^2 = ((a\^2) \^2) \^2 ，分解后的幂次很容易计算
算法流程：
- 初始化结果 1
- 从最低位开始检查指数的二进制位
- 如果当前位为 1，将当前的底数（\(a^{2^x}\)）乘入结果
- 底数不断平方（不断计算 \(a^0,a^1,a^2...\)），指数右移一位
- 重复直到指数的最高位 1 也被遍历
快速幂算法也可以从递归的角度来理解，这种理解方式更加直观。
\a\^b = \\begin{cases} 1 \& \\text{if } b = 0 \\\\ (a\^{b/2})\^2 \& \\text{if } b \\text{ is even} \\\\ a \\times (a\^{(b-1)/2})\^2 \& \\text{if } b \\text{ is odd} \\end{cases} \\
cpp
long long quick_pow(long long base, long long exp) {
long long res = 1;
while (exp) {
if (exp & 1) {
res *= base;
}
base *= base;
exp >>= 1;
}
return res;
}带模数版本
更多的时候，我们要求解的是 \(a^b \bmod m\)。这也可以用快速幂思想解决。快速幂模数版本的正确性基于模运算的分配律：
\(a \\times b)\\bmod m = \[(a \\bmod m) \\times (b \\bmod m) \bmod m \]
因此，我们可以直接对 a 取模，同时在算法每一步中，我们都对中间结果取模，这保证了最终结果的正确性，同时防止数值溢出。
不过我们不能 直接对指数取模。指数 \(b\) 必须保持原值，因为：
\a\^b \\bmod m \\neq a\^{b \\bmod m} \\bmod m \\
当然，既然复杂度是对数的，所以 \(b\) 大一些一般也无所谓。
cpp
long long quick_pow(long long base, long long exp, long long mod) {
long long res = 1;
base %= mod; // 先取模，防止初始base过大
while (exp) {
if (exp & 1) {
res = (res * base) % mod;
}
base = (base * base) % mod;
exp >>= 1;
}
return res;
}不过，在某些特定情况下，我们可以使用欧拉定理来化简指数：
欧拉定理 ：如果 \(a\) 和 \(m\) 互质（即 \(\gcd(a, m) = 1\)），那么：
\a\^{\\phi(m)} \\equiv 1 \\pmod{m} \\
其中 \(\phi(m)\) 是欧拉函数，表示小于 \(m\) 且与 \(m\) 互质的正整数的个数。
所以当 \(a\) 和 \(m\) 互质时，我们可以将指数对 \(\phi(m)\) 取模：
\a\^b \\mod m = a\^{b \\mod \\phi(m)} \\mod m \\
这在某些数学和密码学应用中很有用，但不是快速幂算法的必要部分。代码略。
快速幂方法的时间复杂度是 \(O(\log b)\)，循环次数等于指数的二进制位数，效率极高。
演示 ：计算 \(3^{13} \mod 100\)
指数 13 = 1101(二进制)
初始化: res = 1, base = 3
第1轮 (最低位为1): res = 1×3 = 3, base = 3² = 9
第2轮 (位为0): res = 3, base = 9² = 81
第3轮 (位为1): res = 3×81 = 243 ≡ 43, base = 81² = 6561 ≡ 61
第4轮 (位为1): res = 43×61 = 2623 ≡ 23
结果: 3¹³ ≡ 23 (mod 100)快速乘（防治溢出）
同样的思想也可以应用到乘法本身中。两个 32 位整数相乘，范围将达到 64 位；两个 64 位整数相乘，范围将达到 128 位。同样大小的数无法装入正确的结果。
快速乘（又称"龟速乘"）模仿快速幂的思想，将乘法运算转换为加法运算。核心思路是将 \(a \times b\) 看作是 \(b\) 个 \(a\) 相加，然后利用二进制分解来优化，这样就可以在中间结果下取模。
对于 \(a \times b\)，将 \(b\) 二进制分解：
\b = \\sum_{i=0}\^{k} b_i \\cdot 2\^i \\quad \\text{其中 } b_i \\in \\{0,1\\} \\
那么：
\a \\times b = a \\times \\sum_{i=0}\^{k} b_i \\cdot 2\^i = \\sum_{i=0}\^{k} b_i \\cdot (a \\cdot 2\^i) \\
cpp
typedef long long ll;
// 快速乘：返回 (a * b) % mod，防止中间过程溢出
ll quick_mul(ll a, ll b, ll mod) {
ll res = 0;
a %= mod;
while (b) {
if (b & 1) {
res = (res + a) % mod;
}
a = (a + a) % mod; // a = 2a，相当于左移一位
b >>= 1;
}
return res;
}
// 使用快速乘的快速幂
ll quick_pow_safe(ll base, ll exp, ll mod) {
ll res = 1;
base %= mod;
while (exp) {
if (exp & 1) {
res = quick_mul(res, base, mod); // 关键替换！
}
base = quick_mul(base, base, mod); // 关键替换！
exp >>= 1;
}
return res;
}| 方法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 防溢出能力 |
|---|---|---|---|
| 直接乘法 | \(O(1)\) | \(O(1)\) | 无 |
| 快速乘 | \(O(\log n)\) | \(O(1)\) | 有 |
快速乘通过 \(O(\log n)\) 次加法替代 \(O(1)\) 次乘法，实际上更慢了，所以也叫做"龟速乘"，这属于用时间换取了数值安全性。
浮点幂
如果是底数浮点，指数自然数，那么直接应用快速幂没有任何问题。但若指数是浮点数，这个问题会麻烦的多：浮点数指数无法直接进行二进制位操作，且误差会随着运算的拆分不断累积。
相比之下浮点幂的主要思想是利用自然对数变换法来计算浮点幂：
\a\^b = e\^{b \\cdot \\ln(a)} \\
其中，自然对数和指数是常见且重要的函数，有快速且精确的办法来实现。
常见的库（如C++ <cmath>、Intel MKL、GNU Scientific Library）采用此类核心思路。
cpp
// 伪代码示意
if (a == 0.0) {
if (b > 0) return 0.0;
if (b == 0) return 1.0; // 或 NaN，依标准而定
return INFINITY; // 或报错
}
if (a == 1.0) return 1.0;
if (b == 0.0) return 1.0;
if (b == 1.0) return a;
result = exp(b * log(a)); # 对于一般情况矩阵快速幂
已知矩阵 \(A\)，由于矩阵乘法满足结合律，指数为自然数时，仍可以利用快速幂思想求解 \(A^n\)。这最其深刻、最实用的扩展之一。它将快速幂的核心理念从标量运算成功迁移到了线性代数领域。
\A\^n = \\begin{cases} I \& \\text{if } n = 0 \\\\ (A\^{n/2})\^2 \& \\text{if } n \\text{ is even} \\\\ A \\times (A\^{(n-1)/2})\^2 \& \\text{if } n \\text{ is odd} \\end{cases}\\
cpp
typedef vector<vector<long long>> Matrix;
Matrix matrixMultiply(const Matrix& A, const Matrix& B, long long mod) {
int n = A.size();
Matrix C(n, vector<long long>(n, 0));
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
for (int k = 0; k < n; k++) {
C[i][j] = (C[i][j] + A[i][k] * B[k][j]) % mod;
}
}
}
return C;
}
Matrix matrixPow(Matrix base, long long exp, long long mod) {
int n = base.size();
// 初始化单位矩阵
Matrix res(n, vector<long long>(n, 0));
for (int i = 0; i < n; i++) {
res[i][i] = 1;
}
while (exp > 0) {
if (exp & 1) {
res = matrixMultiply(res, base, mod);
}
base = matrixMultiply(base, base, mod);
exp >>= 1;
}
return res;
}经典案例：斐波那契数列的矩阵解法
斐波那契数列的递推关系：
\F(n) = F(n-1) + F(n-2) \\
可以表示为矩阵形式：
\\\begin{bmatrix} F(n) \\\\ F(n-1) \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 1 \& 1 \\\\ 1 \& 0 \\end{bmatrix} \\times \\begin{bmatrix} F(n-1) \\\\ F(n-2) \\end{bmatrix}\\
递推得到：
\\\begin{bmatrix} F(n) \\\\ F(n-1) \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 1 \& 1 \\\\ 1 \& 0 \\end{bmatrix}\^{n-1} \\times \\begin{bmatrix} F(1) \\\\ F(0) \\end{bmatrix}\\
由于我们可以快速计算矩阵的幂，我们就绕过了斐波那契数列的定义，使用对数次矩阵乘法的时间直接计算出了某一项。
cpp
long long fibonacci_matrix(long long n, long long mod) {
if (n == 0) return 0;
if (n == 1) return 1;
Matrix base = {{1, 1}, {1, 0}};
Matrix result = matrixPow(base, n - 1, mod);
return result[0][0]; // F(n)
}更一般的，对于 k 阶线性递推：
\a_n = c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2} + \\cdots + c_ka_{n-k} \\
构造转移矩阵：
\M = \\begin{bmatrix} c_1 \& c_2 \& \\cdots \& c_{k-1} \& c_k \\\\ 1 \& 0 \& \\cdots \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& \\cdots \& 0 \& 0 \\\\ \\vdots \& \\vdots \& \\ddots \& \\vdots \& \\vdots \\\\ 0 \& 0 \& \\cdots \& 1 \& 0 \\end{bmatrix}\\
则：
\\\begin{bmatrix} a_n \\\\ a_{n-1} \\\\ \\vdots \\\\ a_{n-k+1} \\end{bmatrix} = M\^{n-k+1} \\times \\begin{bmatrix} a_{k-1} \\\\ a_{k-2} \\\\ \\vdots \\\\ a_0 \\end{bmatrix}\\