GESP7级C++考试语法知识（三、对数函数（1、认识对数）

🌟数学魔法函数学院

第八课《寻找指数小偷------认识对数》

------ 当结果知道了，指数跑哪去了？

🎯 本课学习目标

学完本课后，你将掌握：

✅ 什么是对数

✅ 对数与指数的关系

✅ 为什么要发明对数

✅ C++中的 log() 函数

✅ 如何利用对数反求指数

✅ 对数在信息学竞赛中的应用

🏰 一、故事开始：指数小偷失踪案

一天，程序王国发生了一件奇怪的事情。

1、数学宝库里有一张神秘纸条：

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2 ? = 1024

2、国王急坏了：

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指数不见了！

3、原来：

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的位置被神秘小偷偷走了。

4、国王下令：

谁能找到这个指数，

就封他为皇家数学侦探！

于是阿Q开始调查。

🔍 二、先回顾指数函数

阿Q想：

1、以前学过：

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2¹ = 2

2² = 4

2³ = 8

2⁴ = 16

2⁵ = 32

2、继续往后：

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2⁶ = 64

2⁷ = 128

2⁸ = 256

2⁹ = 512

2¹⁰ = 1024

3、终于发现：

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2¹⁰ = 1024

4、所以小偷藏起来的数字是：

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❓ 三、问题来了

刚才我们是一个个试出来的。

1、如果变成：

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2 ? = 1048576

怎么办？

2、或者：

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3 ? = 59049

怎么办？

3、难道要一直乘下去？

太麻烦了！

4、于是数学家发明了一个超级工具：

对数（Logarithm）

📖 四、什么是对数？

1、数学家规定：

如果：

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a^x=b

2、那么：

对数定义为：

3、我们简单理解下：

a要乘自己多少次，

才能得到b？

4、例如：

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2¹⁰ = 1024

那么：

意思：

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2要乘自己10次
才能得到1024

🎮 五、把对数理解成侦探

1、指数逆计算：

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2¹⁰ = 1024

（1）已知：

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底数
2

（2）和结果：

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（3）求：

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2、这时：

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对数

就像侦探一样。

专门负责寻找失踪的指数。

3、所以：

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指数函数

负责：

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已知指数
求结果

4、而：

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对数函数

负责：

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已知结果
求指数

⚖️ 六、指数与对数是一对好朋友

1、看看这两个式子：

（1）指数形式：

cpp 复制代码

10 ^ 2  =100

（2）对数形式：

cpp 复制代码

lg100 = 2

其实表达的是同一件事。

2、再看：

（1）指数形式：

cpp 复制代码

e ^ 1 = e

（2）对数形式：

cpp 复制代码

ln e = 1

3、指数与对数的关系：

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互为逆运算

4、就像：

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加法 ↔ 减法

乘法 ↔ 除法

一样。

🧙 七、对数魔法表

1、阿Q整理出一张对数表。

指数形式	对数形式
2¹ = 2	log₂2 = 1
2² = 4	log₂4 = 2
2³ = 8	log₂8 = 3
2⁴ = 16	log₂16 = 4
2⁵ = 32	log₂32 = 5

2、观察：

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指数是多少
对数就是多少

3、因为：

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对数本来就是找指数

🎯 八、第一个侦探任务

1、求：

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log₂64

2、意思：

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2的几次方等于64？

3、观察：

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2⁶=64

4、所以：

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log₂64=6

🎯 第二个侦探任务

1、求：

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log₃81

2、意思：

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3的几次方等于81？

3、观察：

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3⁴=81

4、答案：

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💻 九、C++中的对数函数

1、问题来了。

2、C++有没有：

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log()

函数呢？

3、当然有！

需要头文件：

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#include <cmath>

4、语法：

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log(x)

5、注意：

这里计算的是：

cpp 复制代码

自然对数 e

6、数学写作：

lnN

比如：lne=1

e是底数

e ≈2.71828... 在数学中是非常重要的科学常数。

7、C++中，例如输出：

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cout << log(2);

输出的是：

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0.693147...

❓ 十、为什么结果不是1？

1、很多同学第一次学都会疑惑。

2、因为：

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log()

不是：

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log₂

3、而是：

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ln

即：

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以e为底

4、在高中数学中我们会学到。

5、今天先记住，C++中的对数函数：

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log()

表示：

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自然对数

相当于数学中的

cpp 复制代码

ln（N）

🏆 十一、如何求 log₂(X)呢？

1、例如：

求：

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log₂1024

2、数学里有一个重要公式：

换底公式

3、于是：

4、C++中：

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#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main()
{
    double ans = log(1024) / log(2);

    cout << ans;

    return 0;
}

5、输出：

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🔥 十二、信息学竞赛中的应用

以后会遇到很多题目：

应用1：二分查找

（1）例如：

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1024个数

（2）每次砍一半：

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（3）需要几次？

（4）其实就是：

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2的几次方等于1024？

（5）答案：

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10次

应用2：满二叉树

（1）第n层节点数：

（2）如果有：

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1024个节点

求层数。

（3）其实就是：

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求指数

需要对数。

应用3：快速幂

（1）我们学习：

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快速幂

时，

时间复杂度：

（2）这里的：

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log

就是对数。

🚧 十三、初学者最容易犯的错误

错误1

（1）认为：

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log(8)

（2）等于：

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错！

（3）因为：

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log()

默认不是：

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log₂

（4）而是：

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ln

错误2

忘记包含头文件

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#include <cmath>

错误3

（1）把：

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pow()

和

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log()

搞混。

（2）记忆：

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pow()
知道指数求结果

log()
知道结果求指数

🎮 挑战任务

第一题

求：

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log₂32

第二题

求：

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log₃243

第三题

已知：

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2^x=2048

求：

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第四题

为什么：

cpp 复制代码

2¹⁰ 约等于 1000

所以：

cpp 复制代码

log₂1000 约等于 10

📝 本课总结

1、今天我们认识了指数函数最好的朋友：

对数函数

核心定义：

对数就是寻找失踪的指数。

2、一句话：

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指数函数：
知道指数求结果

对数函数：
知道结果求指数

下一课：

⚔️《魔法天梯有多高------对数增长》⚔️

在这里，同学们会发现：

为什么二分查找能那么快？

为什么100万数据只需要查20次左右？

对数到底为什么被称为：

🏆 增长最慢的函数之一。