正态总体样本方差、t 分布 纯文本笔记
一、四种样本方差定义与性质
设正态总体 X~N (μ,σ²)，样本 X₁,X₂...Xₙ，样本均值 X̄
- S₁² = 1/(n-1)∑(Xᵢ-X̄)² 【无偏样本方差，课本标准 S²】 期望：E (S₁²)=σ²，无系统误差 卡方关系：(n-1) S₁²/σ² ~ χ²(n-1)
- S₂² = (1/n)∑(Xᵢ-X̄)² 【有偏样本方差】 期望：E (S₂²)=(n-1)/nσ² < σ²，整体偏小 卡方关系：nS₂²/σ² ~ χ²(n-1)
- S₃² = 1/(n-1)∑(Xᵢ-μ)² 卡方关系：(n-1) S₃²/σ² ~ χ²(n)
- S₄² = (1/n)∑(Xᵢ-μ)² 卡方关系：nS₄²/σ² ~ χ²(n)
关键区分自由度
- 式子用样本均值 X̄计算偏差：卡方自由度 n-1（有 1 个约束∑(Xᵢ-X̄)=0，损失 1 自由度）
- 式子用总体真值 μ 计算偏差：卡方自由度 n（无约束，全部样本独立）
- 无偏 / 有偏只看分母是 n-1 还是 n，和自由度无关
二、t 分布定义
若 Z~N (0,1)，W~χ²(df)，二者相互独立，则： t = Z / √(W/df) ~ t (df) 本题目标：构造自由度 df=n-1 的 t 分布，即 W 必须服从 χ²(n-1)
三、两种标准 t 统计量推导
基础标准正态变量：Z=(X̄-μ)/(σ/√n) ~ N (0,1)
-
搭配无偏方差 S₁（考试最常用） √χ²(n-1)/(n-1) = √((n-1) S₁²/σ²)/(n-1) = S₁/σ t = Z / (S₁/σ) = (X̄-μ) / (S₁/√n) ~ t (n-1) 结论：S₁ 搭配分母 √n
-
搭配有偏方差 S₂（题目特殊形式） √χ²(n-1)/(n-1) = √(nS₂²/σ²)/(n-1) = S₂√n / (σ√(n-1)) t = Z / S₂√n/(σ√(n-1)) = (X̄-μ) / (S₂/√(n-1)) ~ t (n-1) 结论：S₂ 搭配分母 √(n-1)
四、极简记忆口诀
- S₁分母是 n-1（无偏）→ t 式分母√n
- S₂分母是 n（有偏）→ t 式分母√(n-1)
- 只要式子内是 (Xᵢ-μ) 而非 (Xᵢ-X̄)，卡方自由度为 n，只能构造 t (n)，不是 t (n-1)
- 通用判定：分子永远是 X̄-μ；分母根号里的数字，由使用 S₁/S₂决定，目的是凑出 t 分布标准定义式
五、原题选项速判总结
A：(X̄-μ)/(S₁/√(n-1)) 系数不匹配，不服从 t (n-1)，错 B：(X̄-μ)/(S₂/√(n-1)) 完全匹配 t 分布定义，服从 t (n-1)，对 C：(X̄-μ)/(S₃/√n) S₃对应 χ²(n)，服从 t (n)，错 D：(X̄-μ)/(S₄/√n) S₄对应 χ²(n)，服从 t (n)，错