C++图论基础多源最短路经典OJ题流食般投喂

本编介绍关于多源最短路的三道经典OJ题，题目难度层层递进，请先根据OJ题所在网址位置，先试着做一做，疑难卡顿点再来看看题目解析~

OJ题来源：洛谷

OJ题名：Clear And Present Danger

OJ题归属：图论基础【多源最短路】

解题算法：Floyd 算法 + 对 dp表的结果统计

📌题目细节：

📌题目所说根据藏宝图会途径一种岛屿序列，但是不一定相邻：意思是，总顺序是这样的，但是可以加入新的点当作桥梁，达到最短路径效果~

📌结果统计：题目例子：1------2------1------3，在 dp 表里面分别统计 1------2、2------1、1------3，结果之和。
cpp 复制代码
#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 110, M = 1e4 + 10;

int n, m;
int f[N][N];
int pass_through[M];
int ret;

int main()
{
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= m; i++) cin >> pass_through[i];
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			cin >> f[i][j];

	// floyd
	for (int k = 1; k <= n; k++) // 不断加入点当作桥梁
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			for (int j = 1; j <= n; j++)
			{
				f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);
			}

	for (int i = 1; i < m; i++)
	{
		int d1 = pass_through[i], d2 = pass_through[i + 1];
		ret += f[d1][d2];
	}

	cout << ret << endl;

	return 0;
}

OJ题来源：洛谷

OJ题名：灾后重建

OJ题归属：图论基础【多源最短路】

解题算法：Floyd 算法（加点建桥梁工作需要先判断）

📌题目细节：

📌此题的编号是从 0 ~ n - 1；

📌输出 -1 的情况：a------b，a/b 还没重建好；f $a$ $b$ 之间没有最短路。

💡经验总结：

💡再识 Floyd 算法：不断加可以加的点，加一次点之后，就在已有点的基础上更新最短路，后面再加，再在目前已有点的基础上更新最短路......

📌此题给每个点绑定一个时间，其实就是加点顺序，以时间为依据，判断能否加点。
cpp 复制代码
#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 210, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int f[N][N];
int t[N]; // 判断加点的依据
int pos; // 不断加入可加的点

void floyd(int k)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (int j = 0; j < n; j++)
		{
			f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);
		}
	}
}

int main()
{
	cin >> n >> m;
	for (int i = 0; i < n; i++) cin >> t[i];

	memset(f, 0x3f, sizeof f);
	for (int i = 0; i < n; i++) f[i][i] = 0;

	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int u, v, w; cin >> u >> v >> w;

		// 虽然不需要判断重边，但是初始化成了无穷，还是要取 min 的
		f[u][v] = f[v][u] = min(f[u][v], w);
	}

	int q; cin >> q;
	pos = 0; // 中途不用删点的，一直加可以加的点
	while (q--)
	{
		int a, b, c; cin >> a >> b >> c;

		while (pos < n && t[pos] <= c) floyd(pos++);

		if (t[a] > c || t[b] > c || f[a][b] == INF) cout << -1 << endl;
		else cout << f[a][b] << endl;
	}

	return 0;
}

OJ题来源：洛谷

OJ题名：无向图的最小环问题

OJ题归属：图论基础【多源最短路】

解题算法：Floyd 算法（利用其每阶段的阶段含义）

💡算法原理：

📌按环中结点的最大值将环分成若干类

📌求解每类环的最小环

📌最终结果取所有最小环的最小值

📌题目细节：

📌dp 表与邻接矩阵分成两个表

💡经验总结：

💡0x3f3f3f3f 是 1e9 级别的，0x3f3f3f3f * 2 < int的最大值 2^32 - 1 的，但是，0x3f3f3f3f * 3 就大于 int 的范围，溢出了，此题就用了 1e8。

💡dp 表中的 f $i$ $j$ ，从 i 走到 j 的最短路存在，就表明 i 和 j 之间是通路，此时再将 k 结点当作桥梁，直接连接在 i、j 之间，那么此时 i、j 之间就形成了环，此题给这环的叫法是，以 k 结点为最大值的环。
cpp 复制代码
#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 1e8;

int n, m;
int e[N][N];
int f[N][N];

int main()
{
	cin >> n >> m;
	// 初始化
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			f[i][j] = e[i][j] = 1e8;
	for (int i = 1; i <= n; i++) f[i][i] = e[i][i] = 0;

	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int a, b, c; cin >> a >> b >> c;

		f[a][b] = f[b][a] = e[a][b] = e[b][a] = min(f[a][b], c);
	}

	// floyd
	int ret = INF;
	for (int k = 1; k <= n; k++)
	{
		// 枚举以k结点为最大值的环的最小环的可能情况
		// i------>j 和 j------>i 的情况是同一情况，所以只需枚举矩形表一半就够，还能保证结点不重复
		for (int i = 1; i < k; i++)
		{
			for (int j = i + 1; j < k; j++) // 需保证环上结点不重复
			{
				ret = min(ret, f[i][j] + e[i][k] + e[k][j]);
			}
		}

		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			for (int j = 1; j <= n; j++)
			{
				f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);
			}
		}
	}

	if (ret == INF) cout << "No solution." << endl;
	else cout << ret << endl;

	return 0;
}