曲线曲面求交解析方案-平面+曲线

曲线曲面求交解析方案-平面+曲线

文章目录

• 曲线曲面求交解析方案-平面+曲线
• • [一. 通用约定](#一. 通用约定)
  • • [1. 输入对象](#1. 输入对象)
    • [2. 容差规则](#2. 容差规则)
    • [3. 结果规则](#3. 结果规则)
  • [二. 直线与平面求交](#二. 直线与平面求交)
  • • [1. 有限线段的端点距离分类](#1. 有限线段的端点距离分类)
    • [2. 穿越时的精确交点](#2. 穿越时的精确交点)
    • [3. 无限直线情况](#3. 无限直线情况)
  • [三. 圆/椭圆与平面求交](#三. 圆/椭圆与平面求交)
  • • [1. 为什么不直接用两平面交线与圆/椭圆求交](#1. 为什么不直接用两平面交线与圆/椭圆求交)
    • [2. 统一参数表达](#2. 统一参数表达)
    • [3. 先处理平面平行/共面](#3. 先处理平面平行/共面)
    • [4. 非平行时用最大/最小有向距离分类](#4. 非平行时用最大/最小有向距离分类)
    • [5. 交点数量分类](#5. 交点数量分类)
    • • [5.1 无交](#5.1 无交)
      • [5.2 一个切触/容差接触点](#5.2 一个切触/容差接触点)
      • [5.3 两个交点](#5.3 两个交点)
    • [6. 容差模糊区处理](#6. 容差模糊区处理)
    • [7. 伪代码](#7. 伪代码)
  • [附录 A：椭圆到平面的最大/最小有向距离点推导](#附录 A：椭圆到平面的最大/最小有向距离点推导)
  • [附录 B：两个交点参数 `t = phi ± acos(-D / S)` 的推导](#附录 B：两个交点参数 t = phi ± acos(-D / S) 的推导)

本文档单独记录直线、圆、椭圆与平面的解析求交方案。核心目标是用原始曲线到目标平面的有向距离做稳定分类，避免浅夹角情况下直接构造两平面交线导致的容差漏交。

一. 通用约定

1. 输入对象

曲线对象：

• LGKLine3d
• LGKCircle3d
• LGKEllipse3d

曲面对象：

• LGKPlane

2. 容差规则

• 平行、垂直等方向关系使用系统角度容差 LGKConstants::AngleTolerance。
• 点到平面、点到曲线相交判断使用调用方传入的长度容差，例如曲线曲面求交 option 中的 m_tol。
• 参数范围过滤不能只用参数差扩张，应最终回到空间距离校验。
• 所有候选点加入结果前必须同时满足：
  • 在曲线参数范围内；
  • 在平面参数范围内，如果平面被上层裁剪为有界参数域；
  • 点在原始曲线和原始平面上。

3. 结果规则

离散交点至少记录：

• 3D 交点坐标；
• 曲线参数 curveParam；
• 平面参数 uv；
• 求交类型：普通交点 Simple 或切触/容差接触 Tangent。

如果曲线整体位于平面内，数学结果是重合区间，不是离散交点。当前点求交接口若不能直接返回 overlap，可暂时返回空点结果；后续应通过 overlap 结果扩展表达。

二. 直线与平面求交

适用对象：LGKLine3d 或有限线段与平面。

直线/线段与平面求交应优先使用点到平面的有向距离做分类，而不是先直接套代数公式。原因是有向距离分类可以自然处理无交、穿越、端点接触和重合，并且和圆/椭圆-平面求交的"先看距离范围，再生成交点"的思路一致。

1. 有限线段的端点距离分类

设线段为：

L(t) = P0 + t (P1 - P0),    t ∈ [0, 1]

平面为：

n · (X - Q) = 0

其中 n 是单位法向。计算两个端点到平面的有向距离：

d0 = n · (P0 - Q)
d1 = n · (P1 - Q)

用 d0、d1 和长度容差 tol 分类：

• d0 > tol && d1 > tol：两个端点都在平面正侧，无交；
• d0 < -tol && d1 < -tol：两个端点都在平面负侧，无交；
• |d0| <= tol && |d1| <= tol：整条线段在平面容差内，返回重合区间；
• 只有一个端点满足 |di| <= tol：返回该端点作为端点接触；
• d0、d1 一正一负：线段穿过平面，计算精确交点。

2. 穿越时的精确交点

当端点有向距离异号时，交点参数由线性插值得到：

t = d0 / (d0 - d1)

交点为：

P = P0 + t (P1 - P0)

这个公式来自：

d(t) = (1 - t) d0 + t d1

令 d(t) = 0：

(1 - t) d0 + t d1 = 0

得到：

t = d0 / (d0 - d1)

候选点加入结果前仍应检查：

1. t 是否位于 [0, 1]；
2. |n · (P - Q)| <= tol；
3. 如果上层使用无限直线或射线，按对应参数域规则过滤。

3. 无限直线情况

如果输入是无限直线：

L(t) = O + t D

计算：

den = n · D
num = n · (O - Q)

• |den| <= angleTol 且 |num| <= tol：直线位于平面内，返回重合直线；
• |den| <= angleTol 且 |num| > tol：直线平行平面，无交；
• 否则：

t = -num / den
P = O + t D

对于有限线段，即使底层用无限直线公式生成候选点，最终也应回到端点有向距离和参数域做过滤。线段场景下，端点距离分类是更稳定、更直接的主流程。

三. 圆/椭圆与平面求交

适用对象：LGKCircle3d / LGKEllipse3d 与平面。

圆和椭圆都是位于自身平面内的完整平面曲线。与另一个平面求交时，数学上可以转化为"曲线所在平面与目标平面的交线"再与圆/椭圆求交；但是在几何内核中，直接把两平面交线作为主判据会有小角度容差问题。因此本方案优先使用圆/椭圆上点到目标平面的最大/最小有向距离进行分类。

1. 为什么不直接用两平面交线与圆/椭圆求交

设曲线所在平面为 Pi_c，目标平面为 Pi。当二者不平行时，精确数学交点一定落在：

L = Pi_c ∩ Pi

因此直接计算 L，再做 L 与圆/椭圆求交，看起来最自然。但当两个平面夹角很小时，这个方案会变得不稳定：

1. 两平面交线的位置对平面法向和点位误差非常敏感。夹角越小，同样的平面距离误差会在交线位置上放大得越明显。
2. L 与圆/椭圆的求交通常是严格的曲线内判定。如果交线因为数值误差被推离曲线，可能得到"无交"。
3. 但从原始几何角度看，圆/椭圆上某个点到目标平面的距离可能已经在长度容差内，这应该被识别为容差接触或切触。
4. 因此，小角度时"交线没有精确碰到圆/椭圆"不等价于"圆/椭圆与目标平面在容差意义下无交"。

换句话说，线-圆/线-椭圆适合作为交点生成手段，但不适合作为浅夹角情况下的唯一存在性判据。

更稳定的判据是直接考察曲线上所有点到目标平面的有向距离范围：

dMin <= d(t) <= dMax

如果整个距离范围都在目标平面一侧，则无交；如果极值距离在容差内，则有一个切触/容差接触点；如果最小值和最大值异号，则有两个交点。这个判据直接作用在原始曲线和目标平面上，不需要构造病态的两平面交线。

2. 统一参数表达

椭圆参数式：

E(t) = C + a cos(t) U + b sin(t) V

其中：

• C：椭圆中心；
• U、V：椭圆所在平面内的两个正交单位轴；
• a、b：两个半轴长度；
• N = U × V：椭圆所在平面法向；
• t：椭圆参数，完整椭圆通常取 [0, 2pi)。

圆是椭圆的特例：

a = b = R

目标平面为：

n · (X - P0) = 0

其中 n 是单位法向，P0 是平面上一点。

3. 先处理平面平行/共面

先判断曲线所在平面和目标平面是否平行：

|N × n| <= angleTol

或等价地使用 abs(N · n) 接近 1。

如果平行，则判断中心到目标平面的有向距离：

D = n · (C - P0)

• |D| <= tol：曲线整体位于目标平面内，返回重合类型，参数区间为完整圆/椭圆参数域，或弧段自身参数域；
• |D| > tol：平行不共面，无交。

4. 非平行时用最大/最小有向距离分类

非平行时，曲线上点到目标平面的有向距离为：

d(t) = n · (E(t) - P0)

它可以写成：

d(t) = D + A cos(t) + B sin(t)

其中：

D = n · (C - P0)
A = a (n · U)
B = b (n · V)

令：

S = sqrt(A^2 + B^2)
phi = atan2(B, A)

则最大/最小有向距离和对应参数为：

dMax = D + S,    tMax = phi
dMin = D - S,    tMin = phi + pi

对应空间点为：

PMax = E(tMax)
PMin = E(tMin)

这一步对圆和椭圆都成立，不需要再按平面夹角是否大于 45° 分支。圆的最大/最小点退化为沿目标平面法向在圆平面内投影方向的两个点；椭圆的最大/最小点是椭圆在该方向上的支撑点，受半轴长度影响。

5. 交点数量分类

使用 dMin、dMax 和长度容差 tol 分类：

5.1 无交

dMin > tol

或：

dMax < -tol

说明整条圆/椭圆都在目标平面同一侧，无交。

5.2 一个切触/容差接触点

如果：

|dMin| <= tol

则最小距离点 PMin = E(phi + pi) 是切触/容差接触点。

如果：

|dMax| <= tol

则最大距离点 PMax = E(phi) 是切触/容差接触点。

这里推荐直接返回极值点，而不是再依赖两平面交线与圆/椭圆求交。因为这个分支正是浅夹角下最容易被交线法漏掉的情况。

5.3 两个交点

如果：

dMin < -tol && dMax > tol

说明曲线一部分在目标平面正侧，一部分在负侧，必然有两个交点。

两个交点参数可以直接解析得到：

theta = acos(clamp(-D / S, -1, 1))
t1 = phi + theta
t2 = phi - theta

再计算：

P1 = E(t1)
P2 = E(t2)

候选点加入结果前仍需：

1. 对周期参数做归一化；
2. 如果是圆弧/椭圆弧，检查参数范围；
3. 用点到目标平面的空间距离做最终验证；
4. 按 3D 点距离去重；
5. 根据切向与平面法向关系标记普通交点或切触点。

6. 容差模糊区处理

可能出现以下接近退化的情况：

• S 非常小：非平行判断和距离函数矛盾，通常说明两个平面几乎平行、输入轴不规范或曲线退化；
• dMin 和 dMax 都在容差内：数学上非平行完整非退化椭圆不应整体在平面内，但在容差意义下整条曲线可能都接近目标平面；
• 两个解析交点非常接近：接近相切，应按空间距离去重，并优先返回切触类型。

这些情况不应通过宽泛异常或静默空结果掩盖。建议保留明确分支：要么按近似重合/容差接触返回，要么降级到通用数值校验，并在调试日志中暴露原因。

7. 伪代码

IntersectEllipsePlane(E, Plane)
{
    C = E.center
    U = normalize(E.axisU)
    V = normalize(E.axisV)
    a = E.radiusU
    b = E.radiusV
    N = normalize(U × V)

    n = normalize(Plane.normal)
    P0 = Plane.origin

    if IsParallel(N, n, angleTol):
        D = n · (C - P0)
        if abs(D) <= tol:
            return Coincident(E, E.interval)
        return Empty

    D = n · (C - P0)
    A = a * (n · U)
    B = b * (n · V)
    S = hypot(A, B)

    if S <= tol:
        return HandleNearParallelOrDegenerateCase()

    phi = atan2(B, A)
    dMin = D - S
    dMax = D + S

    if dMin > tol or dMax < -tol:
        return Empty

    result = EmptyResult

    if abs(dMin) <= tol:
        t = NormalizePeriod(phi + pi)
        result.AddTouch(E(t), t)

    if abs(dMax) <= tol:
        t = NormalizePeriod(phi)
        result.AddTouch(E(t), t)

    if result not empty:
        result.UniqueBy3dDistance(tol)
        return result

    // dMin < -tol && dMax > tol
    q = clamp(-D / S, -1, 1)
    theta = acos(q)

    t1 = NormalizePeriod(phi + theta)
    t2 = NormalizePeriod(phi - theta)

    result.AddIfValid(E(t1), t1)
    result.AddIfValid(E(t2), t2)
    result.UniqueBy3dDistance(tol)
    return result
}

附录 A：椭圆到平面的最大/最小有向距离点推导

椭圆参数式为：

E(t) = C + a cos(t) U + b sin(t) V

平面有向距离为：

d(t) = n · (E(t) - P0)

代入椭圆参数式：

d(t)
= n · (C - P0)
  + a (n · U) cos(t)
  + b (n · V) sin(t)

记：

D = n · (C - P0)
A = a (n · U)
B = b (n · V)

则：

d(t) = D + A cos(t) + B sin(t)

D 是常数，不影响极值点。只需要求：

g(t) = A cos(t) + B sin(t)

的极值。对 g(t) 求导：

g'(t) = -A sin(t) + B cos(t)

极值点满足：

-A sin(t) + B cos(t) = 0

即：

B cos(t) = A sin(t)

使用 atan2 避免 A = 0 的除零问题，得到：

phi = atan2(B, A)

并有：

cos(phi) = A / S
sin(phi) = B / S
S = sqrt(A^2 + B^2)

因此在 t = phi 时：

g(phi) = A cos(phi) + B sin(phi)
       = A^2 / S + B^2 / S
       = S

这是最大值；在 t = phi + pi 时：

g(phi + pi) = -S

这是最小值。所以：

dMax = D + S,    tMax = phi
dMin = D - S,    tMin = phi + pi

几何上，最大点相对椭圆中心的向量为：

E(tMax) - C
= a cos(phi) U + b sin(phi) V
= (a^2 (n · U) / S) U + (b^2 (n · V) / S) V

因此椭圆最大距离点是按 a^2、b^2 加权的支撑点。圆的情况下 a = b = R，该方向退化为目标平面法向在圆平面内的投影方向。

附录 B：两个交点参数 t = phi ± acos(-D / S) 的推导

交点满足点在目标平面上：

d(t) = 0

也就是：

D + A cos(t) + B sin(t) = 0

令：

S = sqrt(A^2 + B^2)
phi = atan2(B, A)

则：

cos(phi) = A / S
sin(phi) = B / S

由余弦差角公式：

cos(t - phi) = cos(t) cos(phi) + sin(t) sin(phi)

代入上式：

cos(t - phi)
= cos(t) A / S + sin(t) B / S

两边乘以 S：

S cos(t - phi) = A cos(t) + B sin(t)

因此距离函数可以写为：

d(t) = D + S cos(t - phi)

交点条件变成：

D + S cos(t - phi) = 0

即：

cos(t - phi) = -D / S

令：

q = clamp(-D / S, -1, 1)
theta = acos(q)

余弦方程在一个周期内有两个解：

t - phi =  theta
t - phi = -theta

所以两个交点参数为：

t1 = phi + theta
t2 = phi - theta

也就是：

t = phi ± acos(-D / S)

当 |D| = S 时，theta 为 0 或 pi，两个参数退化为同一个空间点，对应切触；实现上应由 dMin/dMax 的极值容差分支提前处理。