各位读者：
由于新高三开学时间暂未确定，本次讨论时间暂时无法确定，具体的推荐题目见下方。文档将在开学后预印，现在暂时把题目发布于此。
2027 届新高三卓越班暑期分享推荐讨论题
湛江第一中学 2026-2027 学年第一学期
脚注：最后更新时间： 2026 年 7 月 19 日
Ⅰ 思维训练
共 8 题，总分 100 分。以下习题注重基本功的考察，难度呈现一定的梯度。
1（10 分）
假定此时我们还没有定义三角函数。定义
f(x):=\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{(-1)^n x\^{2n+1}}{(2n+1)!},\\quad g(x):=f'(x)
已知 (f) 在 (\mathbb{R}) 上良好定义且无穷阶可导（无需证明这一陈述）。证明
f(x)\^2 + g(x)\^2 = 1
2（12 分）
在 (\triangle ABC) 中，(\sin(B-A)=\dfrac{1}{4})，(2a2+c2=2b^2)，求 (\sin C)。
3（12 分）
在醋酸缓冲溶液中，记醋酸的电离平衡常数为 (K)，平衡时氢离子浓度为 (H\^{+})。可推导出醋酸的摩尔分数为
x(HAc)=\\frac{\[H^+\]}{\[H^+\]+K}
对于 (x(HAc)-pH) 的图像（其中 (pH=-\lg H\^{+})），请证明其为中心对称图形。
4（12 分）
甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币，若甲抛掷 ((n+1)) 次，乙抛掷 (n) 次，其中 (n \in \mathbb{N})。证明：甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率为与 (n) 无关的常值。
提示：对甲、乙前 (n) 次投掷结果讨论，考虑甲最后一次投掷对局势的影响，注意概率的对称性。
5（12 分）
给定平面上的一个椭圆 (E)，令 (F_1) 和 (F_2) 为其焦点，(D_1) 和 (D_2) 分别为长轴上的两顶点。
- （8 分）在椭圆 (E) 任取一点 (P)，使得 (P,F_1,F_2) 构成三角形。请证明下述光学性质：椭圆 (E) 在 (P) 点处的切线是 (\triangle PF_1F_2) 的外角平分线。
- （4 分）由椭圆上一点 (A_1) 出发的一束光线，穿越线段 (F_1F_2) 上的某点后交 (E) 于点 (A_2)，按照"反射角等于入射角"的规则完成反射，令反射光线交 (E) 于点 (A_3)。如此一直反射，请证明对于任意的 (n \in \mathbb{N})，每次反射生成的线段 (A_nA_{n+1}) 都与 (F_1F_2) 相交。
6（14 分）
在四棱锥 (P-ABCD) 中，(\angle APB = \angle BPC = \angle CPD = \angle DPA = 60^\circ)，且 (\angle APC = \angle BPD)，(PB = PD)，(PA = \sqrt{6})，若该四棱锥存在半径为 (1) 的内切球，求 (PC) 的长。
提示：角度条件给出顶点 (P) 附近的高度对称性，可验证在射线 (PA,PB,PC,PD) 上能取与 (P) 等距的四点得到一个正四棱锥，那么可对一个"很大"的正四棱锥经过一些"操作"得到题中的四棱锥。
7（14 分）
取定一个实数 (x)，设数列 ({a_n}_{n=1}^\infty) 的通项为 (a_n = \sin nx)。
- （8 分）记 ({a_n}_{n=1}^\infty) 前 (n) 项和为 (S_n)。是否存在 (M > 0)，满足 (\forall n \in \mathbb{N},\ S_n \leq M)？请论证你的判断。 提示：可以考虑三角恒等变换中的和积转换，进行"裂项"操作。题干已约定 (x) 为常数。
- （6 分）（(\boldsymbol{*})）取定 (x = 1)，(\exists m \geq 0) 使得 (\forall n \in \mathbb{N},\ |a_n| \geq m)。求 (m) 的最大值。
8（14 分）
设函数 (f(x):=x3+ax2+bx+c)，其中 (a,b,c \in \mathbb{Z})。
- （6 分）取定 (x_0=1+|a|+|b|+|c|)，请证明当 (|x| > x_0) 时，(|f(x)|>|x|)。
- （8 分）对于 (n \in \mathbb{N}+)，定义 (f_1(x):=f(x))，(f (x):=f(f_n(x)))。
记集合 (S_f: = {x \in \mathbb{Q} : \exists n \in \mathbb{N}_+ , f_n(x)=x })。请证明 (S_f \subseteq \mathbb{Z})，且 (S_f) 元素个数有限。
Ⅱ 知识拓展
共五大题。本组习题均具有一定的科普性和拓展性，尤其注重对定义及其边界的理解，供感兴趣的同学选做。其中标注 (\boldsymbol{(*)}) 的习题难度较大或与高考相关度较小。
A
在必修第六章，我们学习了向量的数量积 （这也被称为"欧氏空间的标准内积"）。数量积的定义严格依赖于欧氏空间中的长度（度量）和角度。本题我们将考察抽象的线性空间，如果它具有内积结构，那么我们拥有讨论向量的长度和角度的权利。首先我们给出 (\mathbb{R}) 上线性空间的定义。
定义A.1
称 (V) 为 (\mathbb{R}) 上的线性空间 ，若可定义运算
(1)加法 (\forall \boldsymbol u,\boldsymbol v\in V,\boldsymbol u+\boldsymbol v\in V)；
(2)数乘 (\forall \boldsymbol u\in V,k\in\mathbb{R},k\boldsymbol u\in V)。
(3)(\forall \boldsymbol u,\boldsymbol v,\boldsymbol w\in V,\forall k,l\in\mathbb{R}) 满足下述八条运算公理：
- 加法交换律 (\boldsymbol u+\boldsymbol v=\boldsymbol v+\boldsymbol u)
- 加法结合律 ((\boldsymbol u+\boldsymbol v)+\boldsymbol w=\boldsymbol u+(\boldsymbol v+\boldsymbol w))
- 加法单位元 (\exists \boldsymbol 0\in V,\boldsymbol u+\boldsymbol 0=\boldsymbol u)
- 加法逆元 (\exists -\boldsymbol u\in V,\boldsymbol u+(-\boldsymbol u)=\boldsymbol 0)
- 分配律 (k(\boldsymbol u+\boldsymbol v)=k\boldsymbol u+k\boldsymbol v)
- 分配律 ((k+l)\boldsymbol u=k\boldsymbol u+l\boldsymbol u)
- 数乘结合律 (k(l\boldsymbol u)=(kl)\boldsymbol u)
- 数乘单位元 (1\cdot\boldsymbol u=\boldsymbol u)
我们指出对于一般的线性空间不一定能讨论长度和角度。比如定义在 (0,1) 上一元连续函数组成的集合 (C0,1)，可按定义A.1.验证这是一个线性空间（自行练习）。但我们无法定义两个连续函数之间的"距离"和"夹角"。下面我们给出 (\mathbb{R}) 上的线性空间中内积的定义。
定义A.2
设 (V) 是实数域上的线性空间，称在 (V) 上定义了一个内积，若存在某种规则，使对 (V) 中任意一组有序向量 ({\boldsymbol\alpha, \boldsymbol\beta})，都唯一地对应一个实数，记为 (\langle\boldsymbol\alpha, \boldsymbol\beta\rangle)，且适合如下规则：
- 对称性：(\langle\boldsymbol\beta, \boldsymbol\alpha\rangle = \langle\boldsymbol\alpha, \boldsymbol\beta\rangle)
- 第一变元线性：(\langle\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta, \boldsymbol\gamma\rangle = \langle\boldsymbol\alpha, \boldsymbol\gamma\rangle + \langle\boldsymbol\beta, \boldsymbol\gamma\rangle)；(\langle c\boldsymbol\alpha, \boldsymbol\beta\rangle = c\langle\boldsymbol\alpha, \boldsymbol\beta\rangle)，(c) 为任一实数。
- 正定性：(\langle\boldsymbol\alpha, \boldsymbol\alpha\rangle \ge 0) 且等号成立当且仅当 (\boldsymbol\alpha = 0)。
此时线性空间 (V) 也被称为实内积空间。下面我们对有限维数的实内积空间（欧氏空间）(V) 展开讨论。
-
令 (\boldsymbol\alpha=(x_1,x_2,\cdots,x_n))，(\boldsymbol\beta=(y_1,y_2,\cdots,y_n))，定义
\\langle\\boldsymbol\\alpha, \\boldsymbol\\beta\\rangle:=x_1y_1 + x_2y_2 + \\cdots + x_ny_n
请验证上述内积是良好定义的。这被称为 (\mathbb{R}^n) 的标准内积。
-
对任意 (\boldsymbol\alpha \in V)，定义 (\boldsymbol\alpha) 的长度 (|\boldsymbol\alpha|:=\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\alpha\rangle^\frac{1}{2})，容易验证其正定性定义A.2.(3)。此时称 (|\cdot|) 为由内积 (\langle\cdot,\cdot\rangle) 诱导的范数。请进一步证明：
- 数乘性质：对任意 (c \in \mathbb{R})，(|c\boldsymbol\alpha|=|c||\boldsymbol\alpha|)。
- Cauchy-Schwarz不等式: (|\langle\boldsymbol\alpha, \boldsymbol\beta\rangle| \leq |\boldsymbol\alpha| \cdot |\boldsymbol\beta|)
- 三角不等式：(|\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta| \leq |\boldsymbol\alpha| + |\boldsymbol\beta|)
注记：实线性空间 (X) 上一个满足如下条件的函数 (|\cdot|_X \colon X \to \mathbb{R},\ x \mapsto |x|_X)（当不会引起混淆时我们将省略下标，将它简记为 (|\cdot|)）被称为 (X) 上的一个范数，可以看作是欧氏向量模长的推广，满足正定性、数乘性质、三角不等式，不一定满足Cauchy-Schwarz不等式。
-
尝试给出 (V) 中两向量夹角的一个定义，并验证其良定性。
-
请证明实内积空间 (V) 中由内积 (\langle\cdot,\cdot\rangle) 诱导的范数 (|\cdot|) 满足下述的平行四边形恒等式：
2\\big(\|x\|^2+\|y\|^2\\big)=\|x+y\|^2+\|x-y\|^2,\\quad \\forall x,y\\in V.
注记：此式几何含义十分清晰：平行四边形四条边长的平方和等于两条对角线长度的平方和。
- (\boldsymbol{(*)}) 假设 ((U,|\cdot|)) 是一个赋范空间，且对于任意的 (x,y\in U) 上述平行四边形等式成立。请证明 (U) 上存在一个内积 (\langle\cdot,\cdot\rangle)，使得 (|\cdot|) 恰为由它诱导的范数。
提示：可以尝试直接写一个内积的可能的定义，然后加以论证。
B
称 (f(x)) 为区间 (I) 上的凸函数(Convex Function)，若任取 (a,b\subseteq I,\ t \in (0,1))，有
f(ta+(1-t)b) \\leq tf(a) + (1-t)f(b)
上次讨论中我们介绍了可微凸函数的四种等价定义，并讨论了一些公切线问题，本题我们将进一步探讨区间 (I) 上凸函数 (f(x)) 的分析性质和代数性质。
定义B.1
(V) 是 (\mathbb{R}) 上的线性空间，(C \subset V) 是子集。称 (C) 是凸集，若 (\forall x,y \in C,\ t \in 0,1,\ tx+(1-t)y \in C)，即 (x) 和 (y) 所连线段落在 (C) 中。
- 证明下述命题与凸函数的定义等价：集合
\\Gamma_{\\geq f}=\\left{(x,y),\\big\|, x\\in I,; y\\ge f(x)\\right}
（即 (xOy) 平面上函数图像上方的部分）是凸集。
定义B.2
称 (x_0) 为 (f(x)) 的极小值点，若 (\exists \delta > 0,\forall x \in (x_0-\delta ,x_0+\delta) \cap I ,\ f(x) \geq f(x_0))。
-
(\boldsymbol{(*)}) 证明凸函数的极小值点具有全局性：如果 (x_0 \in I) 为凸函数 (f(x)) 的极小值点，那么它也是 (f(x)) 在 (I) 上的最小值点。
-
称一个一元函数为DC函数 (Difference of Convex)，若其可表示为两个凸函数之差。称所有凸函数组成的集合为凸函数空间，所有DC函数组成的集合为DC函数空间。
凸函数空间、DC函数空间是否为线性空间？请论证你的判断。
C (\boldsymbol{(*)})
续5.2.题，请进一步思考：令这一组反射线段构成一个序列。这一序列是否存在极限状态（即"收敛"到一个确定的状态）？请论证你的判断。
D
本题的目标是计算 (\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2})。这是著名的 Basel 问题之初等做法，由 Euler 最先解决。
-
考虑复数的三角表示，证明
\\sin((2n+1)x) = \\sum_{k=0}\^{n} (-1)\^k \\mathrm{C}_{2n+1}\^{2k+1} \\cos\^{2n-2k} x \\cdot \\sin\^{2k+1} x,\\quad \\forall n \\in \\mathbb{N}.
-
考虑 (n) 次多项式 (P(x) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \mathrm{C}*{2n+1}^{2k+1} x^{n-k})，证明
\\sum* \^{n} \\cot\^2 \\frac{k\\pi}{2n+1} = \\frac{n(2n-1)}{3},\\quad \\forall n \\in \\mathbb{N}.
-
证明 对 (0 < x < \frac{\pi}{2}) 有
\\frac{1}{x\^2} - 1 \< \\cot\^2 x \< \\frac{1}{x\^2}.
-
(\boldsymbol{(*)}) 证明
\\sum_{n=1}\^{\\infty} \\frac{1}{n\^2} = \\frac{\\pi\^2}{6}.
E
设 ({a_n}*{n=0}^{\infty}) 是如下定义的数列
a_0 = a_1 = 1,\\quad a* = \\frac{1}{n+1}\\big(a_n + a_{n-1}\\big),\\quad \\forall, n \\in \\mathbb{Z}_+.
- 考虑数学归纳法，证明 ({a_n}) 从 (a_2) 起单调递减。
- 证明
a_{2027} \< \\frac{2\^{2026} \\times 1013!}{2027!}.
- (\boldsymbol{(*)}) 定义 (\displaystyle f(x):=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n)，(f) 在 (\mathbb{R}) 上任意阶可导（无需证明这一陈述）。求 (f) 的显式表达式。
提示：由 (f(x)) 的光滑性，对 (f(x)) 求导，再按递推关系，找到 (f(x)) 与 (f'(x)) 的关系。