基于经验模型的动力电池SOH估算

文章目录

- 前言
- 一、经验模型SOH核心原理与工程定义
- - [1.1 SOH 标准定义](#1.1 SOH 标准定义)
  - [1.2 电池老化两大组成](#1.2 电池老化两大组成)
- 二、全套量产经验模型公式
- - [2.1 基础幂律老化模型](#2.1 基础幂律老化模型)
  - [2.2 多应力修正因子（温度/倍率/DOD）](#2.2 多应力修正因子（温度/倍率/DOD）)
  - [2.3 等效老化循环次数](#2.3 等效老化循环次数)
  - [2.4 日历老化模型](#2.4 日历老化模型)
  - [2.5 最终融合SOH公式](#2.5 最终融合SOH公式)
- 三、全部拟合参数
- - [3.1 基础老化系数 A](#3.1 基础老化系数 A)
  - [3.2 老化曲率系数 B](#3.2 老化曲率系数 B)
  - [3.3 活化能 Ea（温度因子核心参数）](#3.3 活化能 Ea（温度因子核心参数）)
  - [3.4 倍率敏感系数 kc](#3.4 倍率敏感系数 kc)
  - [3.5 日历老化系数 δ](#3.5 日历老化系数 δ)
- 四、所有参数完整数学拟合推导
- - [4.1 参数 A、B 拟合推导](#4.1 参数 A、B 拟合推导)
  - [4.2 活化能 Ea 拟合推导](#4.2 活化能 Ea 拟合推导)
  - [4.3 倍率系数 kc 拟合推导](#4.3 倍率系数 kc 拟合推导)
  - [4.4 日历系数 δ 拟合推导](#4.4 日历系数 δ 拟合推导)
  - [4.5 拟合精度判定标准](#4.5 拟合精度判定标准)
- 五、参数标定严格顺序
- [六、经验模型SOH 优缺点](#六、经验模型SOH 优缺点)
- - [6.1 优点](#6.1 优点)
  - [6.2 缺点](#6.2 缺点)

前言

动力电池SOH估计算法主要分为三类：等效电路模型辨识法、数据驱动AI法、经验退化模型法。

在车载BMS、储能BMS量产项目中，经验退化模型是落地最稳、算力最低、鲁棒性最强的主流方案。不需要复杂矩阵迭代、不依赖高精度动态辨识、低温不漂移、永不发散。

一、经验模型SOH核心原理与工程定义

1.1 SOH 标准定义

S O H = C r e a l C r a t e d × 100 % SOH = \frac{C_{real}}{C_{rated}} \times 100\% SOH=CratedCreal×100%

(C_{real})：电池当前永久性可用容量（Ah）
(C_{rated})：电池出厂额定容量（Ah）

经验模型核心思想：

不求解微观电化学机理，通过大量老化实验 ，拟合温度、倍率、DOD、循环次数、静置时间 与永久性容量衰减 的宏观数学规律，属于白盒工程统计模型。

1.2 电池老化两大组成

循环老化：充放电使用导致SEI增厚、活性锂损失、电极结构坍塌（不可逆）
日历老化：长期静置自发缓慢老化（不可逆）

重点：低温容量下降是极化可逆衰减，不属于老化，严禁计入SOH计算。

二、全套量产经验模型公式

2.1 基础幂律老化模型

C l o s s = A ⋅ N e q B C_{loss} = A \cdot N_{eq}^B Closs=A⋅NeqB

S O H = 1 − A ⋅ N e q B SOH = 1 - A \cdot N_{eq}^B SOH=1−A⋅NeqB

2.2 多应力修正因子（温度/倍率/DOD）

温度阿伦尼乌斯老化修正：

K T = exp ⁡ $E a ( 1 T r e f - 1 T r e a l )$ K_T = \exp\left $E_a \\left( \\frac{1}{T_{ref}} - \\frac{1}{T_{real}} \\right) \\right$ KT=exp $Ea(Tref1-Treal1)$

充放电倍率老化修正：

K C = 1 + k c ⋅ ( C r a t e − 0.5 ) K_C = 1 + k_c \cdot (C_{rate} - 0.5) KC=1+kc⋅(Crate−0.5)

放电深度老化修正：

K D O D = D O D 0.8 K_{DOD} = DOD^{0.8} KDOD=DOD0.8

2.3 等效老化循环次数

Δ N = ∫ ∣ I ( t ) ∣ d t 2 ⋅ C r a t e d \Delta N = \frac{\int |I(t)|dt}{2\cdot C_{rated}} ΔN=2⋅Crated∫∣I(t)∣dt

N e q = ∑ Δ N ⋅ K T ⋅ K C ⋅ K D O D N_{eq} = \sum \Delta N \cdot K_T \cdot K_C \cdot K_{DOD} Neq=∑ΔN⋅KT⋅KC⋅KDOD

2.4 日历老化模型

C l o s s , c a l = δ ⋅ K T ⋅ t C_{loss,cal} = \delta \cdot K_T \cdot \sqrt{t} Closs,cal=δ⋅KT⋅t

S O H c a l = 1 − δ ⋅ K T ⋅ t SOH_{cal} = 1 - \delta \cdot K_T \cdot \sqrt{t} SOHcal=1−δ⋅KT⋅t

2.5 最终融合SOH公式

S O H t o t a l = ( 1 − A ⋅ N e q B ) ⋅ ( 1 − δ K T t ) SOH_{total} = \big(1 - A\cdot N_{eq}^B\big) \cdot \big(1 - \delta K_T \sqrt{t}\big) SOHtotal=(1−A⋅NeqB)⋅(1−δKTt )

三、全部拟合参数

3.1 基础老化系数 A

物理意义

全局老化强度系数。表征电池整体老化快慢，代表电芯材料体系的固有衰减速率。

A越大：电池老化越快、容量掉得越猛
A越小：电池寿命越长、衰减越平缓
LFP 天然A偏大，NCM A偏小（三元寿命更长）

需要实测数据

标准工况老化数据：25℃、0.5C、100%DOD

循环次数 (N)
每50/100次循环标定的标准容量 (C_{real})
计算永久性容量损失：(C_{loss}=1-C_{real}/C_{rated})

测试方法

恒温箱25℃恒温，0.5C满充满放循环，定期离线容量标定，记录老化曲线。

3.2 老化曲率系数 B

物理意义

老化非线性曲率系数。控制电池全生命周期的老化趋势形态：

(B \approx 0.5\sim0.6)：符合锂电池前期慢、后期加速的老化特征
B越大：电池中后期老化加速越明显
B越小：老化越接近线性衰减

需要实测数据

与参数A共用同一组标准工况老化数据，联合拟合得到。

测试方法

同A参数标定实验，无需额外测试。

3.3 活化能 Ea（温度因子核心参数）

物理意义

电池老化温度敏感系数。表征电池老化速率对温度的敏感程度：

Ea越大：电池对温度越敏感，高温/低温偏离25℃时老化加速越严重
Ea越小：温度对电池寿命影响越小

本质：电化学老化反应需要跨越的能量势垒，势垒越高，温度扰动对老化影响越大。

需要实测数据

多温度梯度老化数据（固定0.5C、100%DOD）

0℃、25℃、45℃、55℃ 多组恒温老化
相同循环次数下，不同温度对应的 (C_{loss}(T))

测试方法

多组恒温箱并行老化，控制循环次数一致，对比不同温度的容量衰减差异。

3.4 倍率敏感系数 kc

物理意义

大电流老化敏感系数。表征充放电倍率对电池寿命的加速能力：

kc越大：快充、大电流放电对电池伤害越大
kc越小：倍率变化对老化影响越小

需要实测数据

多倍率老化数据（固定25℃、100%DOD）

0.3C、0.5C、1C、1.5C、2C 多倍率循环
相同循环次数下各组容量损失 (C_{loss}(C_{rate}))

测试方法

常温下不同倍率循环老化，量化大电流带来的额外老化增量。

3.5 日历老化系数 δ

物理意义

静置自发老化系数 。表征电池不使用、仅存放时的容量自衰减速率：

δ越大：库存电池、长期停放电池老化越快
δ越小：日历寿命越长

需要实测数据

多温度静置搁置实验数据

搁置天数 (t)
7d/15d/30d/60d 间隔容量标定值

测试方法

电池满电静置，定期取出常温标容，统计无循环下的自发容量损失。

四、所有参数完整数学拟合推导

所有参数无理论定值，全部通过「非线性模型线性化+最小二乘回归」求解。

4.1 参数 A、B 拟合推导

步骤1：模型线性化

C l o s s = A ⋅ N e q B C_{loss} = A \cdot N_{eq}^B Closs=A⋅NeqB

两边取自然对数，化非线性为线性：

ln ⁡ ( C l o s s ) = ln ⁡ A + B ⋅ ln ⁡ ( N e q ) \ln(C_{loss}) = \ln A + B \cdot \ln(N_{eq}) ln(Closs)=lnA+B⋅ln(Neq)

变量代换：

y = ln ⁡ ( C l o s s ) , x = ln ⁡ ( N e q ) , a = ln ⁡ A , b = B y=\ln(C_{loss}),\;x=\ln(N_{eq}),\;a=\ln A,\;b=B y=ln(Closs),x=ln(Neq),a=lnA,b=B

线性模型：

y = a + b x y = a + bx y=a+bx

步骤2：最小二乘求解

残差平方和代价函数：

J = ∑ i = 1 m ( y i − a − b x i ) 2 J = \sum_{i=1}^m (y_i - a - bx_i)^2 J=i=1∑m(yi−a−bxi)2

对 (a、b) 求偏导置零，得到正规方程组：

{ m a + b ∑ x i = ∑ y i a ∑ x i + b ∑ x i 2 = ∑ x i y i \begin{cases} ma + b\sum x_i = \sum y_i \\ a\sum x_i + b\sum x_i^2 = \sum x_i y_i \end{cases} {ma+b∑xi=∑yia∑xi+b∑xi2=∑xiyi

解析解：

b = m ∑ x i y i − ∑ x i ∑ y i m ∑ x i 2 − ( ∑ x i ) 2 b = \frac{m\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{m\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} b=m∑xi2−(∑xi)2m∑xiyi−∑xi∑yi

a = y ˉ − b x ˉ a = \bar y - b\bar x a=yˉ−bxˉ

步骤3：参数还原

B = b , A = e a B = b,\quad A = e^a B=b,A=ea

4.2 活化能 Ea 拟合推导

同一等效循环次数下，温度对老化的倍率关系：

C l o s s ( T ) C l o s s ( T r e f ) = exp ⁡ $B E a ( 1 T r e f - 1 T )$ \frac{C_{loss}(T)}{C_{loss}(T_{ref})} = \exp\left $B E_a \\left(\\frac{1}{T_{ref}}-\\frac{1}{T}\\right)\\right$ Closs(Tref)Closs(T)=exp $BEa(Tref1-T1)$

取对数线性化：

ln ⁡ C l o s s ( T ) C l o s s ( T r e f ) = B E a ⋅ ( 1 T r e f − 1 T ) \ln\frac{C_{loss}(T)}{C_{loss}(T_{ref})} = B E_a \cdot \left(\frac{1}{T_{ref}}-\frac{1}{T}\right) lnCloss(Tref)Closs(T)=BEa⋅(Tref1−T1)

变量代换：

Y = ln ⁡ C l o s s ( T ) C l o s s ( T r e f ) , X = 1 T r e f − 1 T , k = B E a Y=\ln\frac{C_{loss}(T)}{C_{loss}(T_{ref})},\quad X=\frac{1}{T_{ref}}-\frac{1}{T},\quad k=B E_a Y=lnCloss(Tref)Closs(T),X=Tref1−T1,k=BEa

拟合直线斜率 (k)，代入已求得的 (B)：

E a = k B E_a = \frac{k}{B} Ea=Bk

4.3 倍率系数 kc 拟合推导

固定温度DOD，仅倍率变化：

C l o s s C l o s s , s t d = ( 1 + k c ( C r a t e − 0.5 ) ) B \frac{C_{loss}}{C_{loss,std}} = \big(1+k_c(C_{rate}-0.5)\big)^B Closs,stdCloss=(1+kc(Crate−0.5))B

变形开方：

( C l o s s C l o s s , s t d ) 1 B = 1 + k c ( C r a t e − 0.5 ) \left(\frac{C_{loss}}{C_{loss,std}}\right)^\frac{1}{B} = 1 + k_c(C_{rate}-0.5) (Closs,stdCloss)B1=1+kc(Crate−0.5)

变量代换拟合直线斜率，直接得到 (k_c)。

4.4 日历系数 δ 拟合推导

C l o s s , c a l = δ K T t C_{loss,cal} = \delta K_T \sqrt{t} Closs,cal=δKTt

固定温度 (K_T) 为常数：

C l o s s , c a l = K ⋅ t C_{loss,cal} = K\cdot \sqrt{t} Closs,cal=K⋅t

以 (X=\sqrt{t},;Y=C_{loss,cal}) 线性拟合得斜率 (K)：

δ = K K T \delta = \frac{K}{K_T} δ=KTK

4.5 拟合精度判定标准

R 2 = 1 − ∑ ( y i − y ^ i ) 2 ∑ ( y i − y ˉ ) 2 R^2 = 1 - \frac{\sum(y_i-\hat y_i)^2}{\sum(y_i-\bar y)^2} R2=1−∑(yi−yˉ)2∑(yi−y^i)2

工程量产标准：(\boldsymbol{R^2 \ge 0.95})
(R^2) 越接近1，参数可信度越高

五、参数标定严格顺序

标准常温工况 → 拟合基础老化参数 (A、B)
多温度老化 → 拟合温度敏感参数 (E_a)
多倍率老化 → 拟合倍率敏感参数 (k_c)
静置日历老化 → 拟合日历衰减参数 (\delta)
随机工况交叉验证、参数微调

六、经验模型SOH 优缺点

6.1 优点

算力极低

仅四则运算、指数、开方，低端MCU即可运行，无算力压力。
稳定性拉满、永不发散

无滤波震荡、无矩阵迭代、无辨识失效，低温工况完全稳定，彻底解决ECM内阻辨识低温失效问题。
单调性符合物理规律

SOH只降不升，贴合电池不可逆老化特性，不会出现跳变、回升BUG。
无初始值依赖

不需要出厂标定初始SOH，上电即可稳定输出。
支持全工况修正

通过T/C-rate/DOD多应力耦合，适配春夏秋冬、快充、浅充浅放全场景。

6.2 缺点

纯统计滞后模型

基于历史累积老化，无法识别单体早衰、微短路、瞬时隐性故障。
极度依赖标定实验

全套参数需要大量恒温老化、倍率老化、搁置实验，标定周期长。
无单体差异化能力

输出整包平均SOH，无法精准区分单串单体一致性劣化。
极端非标工况精度下降

超高温、过充过放、超倍率无拟合数据时，估算误差增大。