P8365 LNOI2022 吃（贪心） 题解
算法：贪心
题目大意
给定 \(n\) 个二元组 \((a_i,b_i)\)，可以任意排列 操作顺序。初始值 \(S=1\)，对每个二元组二选一：
\S \\leftarrow S+b_i \\quad \\text{或} \\quad S \\leftarrow S\\times a_i \\
求最终能得到的最大 值，答案对 \(10^9+7\) 取模。
核心贪心策略推导
结论1：加法操作一定全部放在乘法之前
所有数值均为正数。
设当前值为 \(x>0\)，先加后乘：\((x+b)\cdot a\)；先乘后加：\(x\cdot a + b\)。
作差：
\(x+b)a - (xa+b) = b(a-1) \\
因为 \(b\ge1,a\ge1\)，所以 \((x+b)a \ge xa+b\)。
推论：想要结果最大，所有加法必须排在乘法前面，操作顺序无需考虑其他排列。
结论2：\(a_i=1\) 时，必然选择加法
若 \(a_i=1\)：
- 乘法：\(S\times 1 = S\)，数值无变化
- 加法：\(S+b_i > S\)
因此所有 \(a_i=1\) 的二元组直接执行加法，累加到初始值，之后不再参与后续枚举。
结论3 ：\(a_i\neq 1\) 时，至多选择一个二元组做加法 ！
使用反证 法：
假设对两个不同二元组 \((a_i,b_i),(a_j,b_j)\)（\(a_i,a_j\ge2\)）都执行加法，不妨设 \(b_i \ge b_j\)。
结合加法在前、乘法在后的规则，对比两种方案：
- 两次都加法：\(S+b_i+b_j\)
- 仅 \(b_i\) 加法、\(a_j\) 乘法：\((S+b_i)\cdot a_j\)
由于 \(a_j\ge2\)、\(b_i\ge b_j\)：
\(S+b_i)\\cdot a_j \\ge (S+b_i)\\cdot 2 = 2S+2b_i \\ge S+b_i+b_j \\
显然第二次操作改为乘法更优。
推论 ：\(a_i\ge2\) 的二元组中，最多只选一个执行加法，其余全部执行乘法。
结论4：选出最优加法项
设：
- 预处理完所有 \(a_i=1\) 后，当前基数为 \(S\)；
- 记所有 \(a_i\ge2\) 的乘积为 \(K=\prod a_i\)。
- 全部选乘法：结果为 \(S\cdot K\)
- 选中第 \(i\) 个做加法、其余做乘法：结果为 \(\displaystyle \frac{K\cdot (S+b_i)}{a_i}\)
对比两类方案，等价于比较：
\S \\quad \\boldsymbol{vs} \\quad \\frac{S+b_i}{a_i} \\
所以：只需在所有 \(a_i\ge2\) 的二元组中，选出 \(\boldsymbol{\dfrac{S+b_i}{a_i}}\) 最大的一项作为唯一加法项，即可得到全局最大值。
部分内容由 AI 润色