水光互补短期调度：一次 NSGA-II 双目标优化的完整拆解
光伏在中午顶着满发，傍晚归零；电网负荷的高峰却落在上午和晚间。
两条曲线错开大约三个小时，中间的缺口交给水电来补。今天要拆的这份 MATLAB 代码，回答的问题很具体：一天 24 小时，水库水位该怎么安排，才能既压住水光总出力的峰值，又让出力尽量贴着负荷走。
80 个个体，70 代迭代，最后交出一张 63 个解的帕累托前沿。下面从数学模型一路拆到运行结果。
一、研究背景
光伏出力在 14 时前后达到 277 MW，19 时之后归零。电网负荷在 11 时冲到 1340 MW，午后跌到 572 MW，晚间再回到 780 MW 附近。负荷的日内波动是 2.3 倍，光伏的波动是它的全部。
水电在这里充当调节电源，但调节能力有边界。代码把库水位限制在 2451.5 到 2455 m 之间，折算成发电流量是 175.7 到 1029.0 m³/s，对应出力 186 到 1091 MW。上限看着很宽，真正绑住手脚的却是另一条约束：水光总出力不得超过电网负荷。
削峰和贴合负荷因此构成一对矛盾。把水位压低，总出力峰值跟着下来，出力与负荷之间的缺口就拉大；贴着负荷走，峰值又必然被顶上去。两个目标都想取最优，只能交给多目标算法，一次算出一整条权衡曲线。
二、代码做了什么
输入是一个 1×24 的水位序列，输出是两个目标值，另有一份存着完整前沿解集的 .mat 文件。
| 文件 | 承担的工作 |
|---|---|
main.m |
参数设定、种群初始化、NSGA-II 主循环、结果保存 |
myfun.m |
计算两个目标值 f1、f2 |
HydroData.m |
集中定义负荷、光伏与电站参数 |
test.m |
约束校验，返回可行标志 |
Dominates.m |
判断两个解之间的支配关系 |
NonDominatedSorting.m |
快速非支配排序，为每个个体标注等级 |
CalcCrowdingDistance.m |
计算拥挤距离，维持前沿解的分布均匀性 |
SortPopulation.m |
先按等级升序、再按拥挤距离降序排列种群 |
Crossover.m |
算术交叉算子 |
Mutate.m |
高斯变异算子 |
PlotCosts.m |
主循环中的实时前沿绘图 |
result.m |
结果输出、折中解选取与六张成果图 |
HydroData.m 的写法值得借鉴。负荷、光伏、出力系数、水头、水位流量拟合系数全部收在一个函数里，目标函数、约束函数和主程序各自调用，同一组常数不会在三处各写一遍。改参数的时候省事，也少了版本对不上的隐患。
三、数学模型与公式原理
3.1 决策变量与水位流量关系
决策变量是 24 个小时的库水位 x(t)。发电流量与水位用一条线性拟合关系换算：
Q_m(t) = 243.8 · x(t) − 597500 [m³/s]斜率 243.8 的含义是水位每抬高 1 m，发电流量增加 243.8 m³/s。代入上下限：水位 2451.5 m 对应 175.7 m³/s，2455 m 对应 1029.0 m³/s。前者低于发电流量下限 200 m³/s，真正可用的水位下沿因此被抬到 2451.60 m。
3.2 水电出力核算
P_W(t) = A · Q_m(t) · H_mA = 8.5 是电站综合出力系数，H_m = 124.75 / 1000 = 0.12475 km 是平均发电水头。水头用 km 而不是 m 输入，是为了让出力直接落在 MW 量级。标准出力公式是 P = 9.81·η·Q·H，水头换成 km 之后写成 P(MW) = 9.81·η·Q·H(km)，于是 A 实际等效于 9.81η，反推电站综合效率约 0.867，落在常规机组的合理区间里。
代入数值，P_W ≈ 1.0604 × Q_m。折中解中 655 m³/s 的流量对应 694.8 MW 出力，量级自洽。
3.3 两个目标函数
f1 = max_t [ P_W(t) + P_p(t) ]
f2 = sqrt( (1/24) · Σ_t [ P_D(t) − P_W(t) − P_p(t) ]² )f1 取 24 个时段水光总出力的最大值，最小化它就等于削峰。f2 是出力与负荷之差的均方根，最小化它等于让出力曲线贴住负荷曲线。
这里有个容易忽略的地方。约束要求水光总出力不得超负荷，所以 P_D − P_W − P_p 恒为非负，f2 度量的是"缺了多少"，而不是"偏了多少"。折中解的缺额均值 145.7 MW、标准差 134.8 MW，两者量级相当，说明 f2 既反映了平均缺口水平，也包含了缺口的起伏。
3.4 约束条件
(1) 0 ≤ P_W ≤ 17803 MW
(2) P_W + P_p ≤ P_D
(3) 200 ≤ Q_m ≤ 7000 m³/s
(4) 库容上下限（代码中已注释，未启用）四条约束里，实际起作用的是第三条的下限和第二条。
发电流量下限 200 m³/s 把水位下限从 2451.5 m 抬到 2451.60 m。第二条约束更狠，它给每个时段切出一条独立的上限：
x_UB(t) = ( (P_D(t) − P_p(t)) / (A·H_m) − k0 ) / k124 个时段里最紧的是 14 时，上限只有 2451.95 m，可行带宽 0.35 m。11 时因为负荷高、光伏也不低，这条约束反而失效，水位上限退回到 2455 m 的箱式边界。
另外两条上限在本算例中永远不会触发。流量上限 7000 m³/s 反算对应水位 2479.5 m，比水位上限还高 24.5 m；出力上限 17803 MW 反算对应流量 16789 m³/s，是流量上限的 2.4 倍。两个数字彼此不匹配，多半来自不同机组的参数，建议按实际机组容量与满发流量重新标定。
四、算法步骤
NSGA-II 的六个环节，在这份代码里都有对应实现。
- 种群初始化。主循环之前先由约束反推可行区间，记作逐时的
[x_LB, x_UB]，再在盒内均匀采样。80 个个体一次生成完毕，不会因为可行域狭窄而反复重采样。这一步处理得干净。 - 快速非支配排序。两两比较所有个体，为每个个体记录它支配了谁、以及被多少个体支配。被支配数为 0 的个体构成第一前沿，逐层剥离得到后续各层。
- 拥挤距离。在同一层前沿内，按每个目标分别排序，取相邻两个解的目标值之差做归一化，再对各目标方向求和。边界解的距离设为无穷大，保证前沿两端不被丢弃。
- 交叉。每次随机挑两个父代做算术交叉，
y1 = α·x1 + (1−α)·x2，y2 = α·x2 + (1−α)·x1，α 是逐维随机系数。交叉比例 0.7，实际产生 56 个子代。 - 变异。从 24 个基因里随机挑出 1 个（
ceil(0.02 × 24) = 1），叠加标准差 0.35 m 的高斯扰动。变异比例 0.4，每代有 32 个个体参与变异。 - 环境选择。父代、交叉子代、变异子代合并成一个 168 个体的临时种群，重新做非支配排序与拥挤距离计算，再按"等级优先、同等级看拥挤距离"的顺序截断回 80 个。
约束怎么处理？代码用的是拒绝策略：交叉或变异产生的个体只要 test() 返回 0，就直接丢弃，用父代替换。因为初始种群本身就落在可行盒内，这种做法在本算例里不会导致种群收缩，代价是牺牲了一部分搜索多样性。
五、技术路线
把上面的环节串起来，整条路线是这样：
初始化：在逐时可行区间 [x_LB, x_UB] 内均匀采样 80 个个体
↓
非支配排序 + 拥挤距离计算
↓
for it = 1 : 70
随机选择父代 → 算术交叉（56 子代）→ 高斯变异（32 子代）
约束校验，违反者回退父代
父代 + 交叉子代 + 变异子代 合并为 168 个体
非支配排序 → 拥挤距离 → 排序 → 截断回 80
记录本代最小 f1、最小 f2 与前沿解个数
end
↓
输出帕累托前沿、折中解与 24 小时调度过程下面的图是主循环跑到第 70 代时的实时前沿。横轴是系统总出力峰值，纵轴是负荷缺额均方根，每个点代表一套完整的 24 小时调度方案。
六、参数设定
算法参数：
| 参数 | 取值 | 说明 |
|---|---|---|
nVar |
24 | 决策变量维数，即调度时段数 |
VarMin / VarMax |
2451.5 / 2455 m | 库水位上下限 |
nObj |
2 | 目标个数 |
MaxIt |
70 | 最大迭代代数 |
nPop |
80 | 种群规模 |
pCrossover |
0.7（56 个子代） | 交叉比例 |
pMutation |
0.4（32 个个体） | 变异比例 |
mu |
0.02（每代 1 个基因） | 变异率 |
sigma |
0.35 m | 高斯变异步长 |
PlotStep |
10 | 实时绘图间隔 |
电站与负荷数据：
| 符号 | 取值 | 说明 |
|---|---|---|
P_D |
572 ~ 1340 MW | 24 小时电网负荷 |
P_p |
0 ~ 277 MW | 24 小时光伏出力 |
A |
8.5 | 电站综合出力系数 |
H_m |
0.12475 km | 平均发电水头（124.75 m） |
k1 / k0 |
243.8 / −597500 | 水位流量线性拟合系数 |
P_W 上下限 |
0 / 17803 MW | 水电出力约束 |
Q_m 上下限 |
200 / 7000 m³/s | 发电流量约束 |
七、运行结果
7.1 收敛过程
70 代跑完，前沿解个数从第 1 代的 8 个增长到第 70 代的 63 个，中途在第 64 代达到最多的 74 个。最终 f1 稳定在 714.49 MW ，f2 稳定在 170.04 MW。
收敛曲线呈明显的阶梯状，前 30 代贡献了绝大部分改进，40 代之后两条曲线基本走平。阶梯形态和目标函数的结构有关：f1 取的是 24 个时段里的最大值，只有变异恰好把所有时段都压下来一格，峰值指标才会整体下移，中间过程就表现为长时间的平缓。
7.2 帕累托前沿
63 个解的分布范围：f1 从 714.49 到 977.94 MW，f2 从 170.04 到 271.50 MW。两个目标呈清晰的负相关，前沿形状光滑，没有明显断点。
图 2 中颜色表示拥挤距离，红色五角星是折中解，落在前沿的中段。
把拥挤距离放到第三个维度上看得更清楚：绝大多数解的拥挤距离集中在 0 到 0.1 之间，只有前沿两端的少数端点解因为边界处理被赋了较大数值。绘图时无穷大的拥挤距离被替换成了有限大值，所以图上呈现出几个孤立的亮点，这是可视化处理的结果，不代表这些解本身更优。
7.3 折中解与调度过程
折中解的挑法是：把两个目标各自归一化到 0, 1，再算到理想点 (0, 0) 的欧氏距离，距离最小的解胜出。结果是编号 6 的方案，f1 = 820.84 MW，f2 = 198.45 MW。
它的 24 小时水位序列落在 2451.81 到 2453.75 m 之间。
水位过程线的形状很有代表性。13 到 17 时被压到 2451.8 到 2452.7 m，因为这段时间光伏出力接近满发，水电必须让路，否则总出力会顶穿"不过发"约束；上午 9 到 12 时和晚间 23 时水位抬高，因为这些时段负荷高、光伏弱，缺口最大。
把这条曲线和前面算出的逐时上限 x_UB(t) 叠在一起看，凹陷位置完全重合。水位过程线的形状主要是可行区间的形状，而不是水量平衡演化出来的结果，这一点后面还会提到。
对应到出力上，水电在 267.13 到 767.11 MW 之间摆动，光伏在 0 到 277 MW 之间摆动，叠加后的总出力在 11 时达到峰值 820.84 MW。
缺额最大的时刻出现在 11 时，519.16 MW，当时负荷 1340 MW，光伏只有 192 MW。缺额最小的时刻是 23 时，仅 15.82 MW，此时水位 2453.69 m 已经贴近该时段的上限 2453.75 m。
7.4 解集全貌
把 63 个解的水电出力铺成三维曲面，低洼出现在中午时段，与光伏出力最高的几个小时对齐，两端则被抬高。
八、运行环境
MATLAB R2020b及以上即可。代码只用了基础语言特性，randperm(n, k) 的双参数形式是唯一有版本要求的地方。
不依赖任何工具箱。优化、排序、绘图全部使用 MATLAB 自带函数，从零安装的 MATLAB 就能跑。
绘图需要中文字体。result.m 里指定了 SimHei，Windows 下可以直接运行；Linux 或 macOS 上需要换成系统内可用的中文字体，否则图上的中文标签会显示成方框。
运行产出三样东西：命令行的结果报表、ParetoFront_F1.mat 数据文件，以及六张成果图。
计算量很轻。种群规模 80，每代最多评价 88 次目标函数（56 个交叉子代加 32 个变异个体），70 代合计不超过 6300 次评价，而目标函数本身只是向量化的四则运算。
九、应用场景
日前调度计划的生成。 给定次日 24 小时负荷预测与光伏预测，一次算出整条权衡前沿。调度员按实际需求在前沿上挑点：优先保供电就选 f2 小的方案，优先压峰就选 f1 小的方案。
新能源消纳能力的评估。 把光伏出力曲线换成不同装机规模重跑，观察前沿整体右移或下移的幅度，可以量化再增加多少光伏会让电网缺口明显扩大。
调节电源容量的校核。 水电装机、水位运行区间、发电流量下限都是输入，改动这些参数看前沿形状的变化，比单点仿真更容易看出制约瓶颈在哪里。
算法教学与验证。 决策变量维数适中、目标函数可解析写出、可行域可解析推导，作为 NSGA-II 的测试平台很合适，六个算子的实现也方便逐个替换做对照实验。
需要说清楚的是，这份代码的模型是简化版：没有水量平衡约束，也没有启用库容约束，24 个小时的水位实际上是相互独立的变量。用于演示算法、探索权衡关系没有问题，直接拿去当生产调度方案使用，得先把这些约束补齐。
十、代码层面可以追问的三个问题
问题一：采样边界与算子边界不一致
初始化的采样区间是逐时的 [x_LB, x_UB(t)]，最窄处（14 时）只有 0.35 m。交叉与变异函数的裁剪区间却是 [2451.5, 2455]，宽 3.5 m。
高斯变异的标准差 sigma = 0.1 × (2455 − 2451.5) = 0.35 m，恰好等于最窄时段的全部可行带宽。只要变异恰好落在 14 时这个基因上，个体就有相当大的概率被推出可行域，然后被 test() 拦下、回退成父代。每代有 32 个个体参与变异，无效扰动的累积并不小。
改法很简单：把 Crossover() 与 Mutate() 的边界参数换成逐时的 [x_LB, x_UB]，主程序里改两行就够。
问题二：父代选择不是锦标赛
代码里选父代用的是 randi([1 nPop])，均匀随机，不带任何偏向。教科书写法是二元锦标赛，按非支配等级和拥挤距离在两两比较中取胜者。这里的选择压力全部由"父代与子代合并后截断到 80"这一步承担。
这种精英保留策略本身没有错，收敛性也能保证。代价是交叉的两个亲本完全随机配对，好的基因组合被撞上的概率偏低。目标数少、种群小的时候影响有限，问题规模上去之后就会显现。
问题三：前沿的覆盖范围比预期窄
这一条最值得留意。同样满足全部约束的可行解里，有两个极端解可以直接构造出来：
| 构造方式 | f1 / MW | f2 / MW | 是否可行 |
|---|---|---|---|
| 24 时段水位全部取可行下限 2451.60 m | 489.07 | 581.84 | 通过 |
24 时段水位逐时贴住上限 x_UB(t) |
1283.13 | 11.61 | 通过 |
第一个解的峰值只有 489.07 MW，比前沿里最小的 714.49 MW 低 31%。第二个解的缺额均方根只有 11.61 MW，比前沿里最小的 170.04 MW 低一个数量级。两个解都没有被前沿里的任何解支配，它们把真实前沿的两端各自向外推了一大截。
换句话说，70 代搜索得到的前沿，只覆盖了真实前沿中间的一段。
原因不难理解。要让缺额接近 0，需要 24 个时段同时贴住各自的上限，在高维空间里这是极窄的目标区域；而算子的探索能力有限，每代只有 32 个个体参与变异，每个个体只动 1 个基因。80 个体、70 代的采样量，放在 24 维空间里确实偏少。
改进方向有几条：把代数提到 300 到 500；在初始种群里注入若干贴边解或按规则生成的启发式解；把父代选择换成二元锦标赛；或者利用问题结构，把可以解析求解的维度单独处理。
结语
回到开头那个问题：24 小时的水位到底该怎么定。
这份代码给出的答案是 63 个方案，从"峰值 714 MW、缺口 271 MW"到"峰值 978 MW、缺口 170 MW"，中间连续可取。选哪个，取决于调度目标是把尖峰压下去，还是把电量缺口补上来。多目标优化的价值也正在这里，它不替你做决定，而是把每个选择要付的代价摊开摆在你面前。
代码和图片来自同一套工程。如果你正在做水光互补或者类似的短期调度问题，这份实现可以当作起点；把水量平衡与库容约束补齐、把机组参数标定到真实值，它离生产可用就不远了。
说明：本文的公式、参数、图表与全部数值均来自作者本地的 MATLAB 运行输出，未做改动。第十节中两个对照解为按同一模型解析构造，并已用独立脚本复算校验其可行性。