模糊数学笔记（一）

注：本文为 "模糊数学笔记" 相关合辑。略作重排，如有内容异常，请看原文。

模糊数学笔记

一、模糊集及其运算性质

1965年，美国加利福尼亚大学控制论专家扎德（L. A. Zadeh）教授在《信息与控制》杂志上发表了一篇开创性论文《模糊集合》，标志着模糊数学的诞生。扎德是世界公认的系统理论及其应用领域最有贡献的学者之一，被誉为"模糊集之父"。

在人类社会和各个科学领域中，人们所遇到的各种量大体上可以分成两大类：确定性的与不确定性的，而不确定性又可分为随机性和模糊性。人们正是用三种数学来分别研究客观世界中不同的量，即：

第一类：确定性数学模型。 这类模型研究的对象具有确定性，对象之间具有必然的关系，最典型的就是用微分法、微分方程、差分方程所建立的数学模型。
第二类：随机性数学模型。 这类模型研究的对象具有随机性，对象之间具有偶然的关系，如用概率分布方法、马尔可夫（Markov）链所建立的数学模型。
第三类：模糊性数学模型。 这类模型所研究的对象与对象之间的关系具有模糊性。

1. 从特征函数定义模糊集

经典集合的特征函数：

χ A : U → { 0 , 1 } x ↦ χ A ( x ) = { 1 , x ∈ A 0 , x ∉ A \chi_A: U \rightarrow \{0, 1\} \\ x \mapsto \chi_A(x) = \begin{cases} 1, & x \in A \\ 0, & x \notin A \end{cases} χA:U→{0,1}x↦χA(x)={1,0,x∈Ax∈/A

模糊集合的特征函数（隶属函数）：

μ A : U → $0 , 1$ x ↦ μ A ( x ) ∈ $0 , 1$ \mu_A: \quad U \rightarrow $0, 1$ \\ x \mapsto \mu_A(x) \in $0, 1$ μA:U→ $0,1$ x↦μA(x)∈ $0,1$

例：设论域 U = $0 , 200$ U = $0, 200$ U= $0,200$ （单位：岁）表示人的年龄，"年轻"（Y）与"年老"（Q）两个模糊集，其隶属函数分别为

Y ( x ) = { 1 , 0 ⩽ x ⩽ 25 $1 + ( x - 25 5 ) 2$ − 1 , 25 < x ⩽ 200 Q ( x ) = { 0 , 0 ⩽ x ⩽ 50 $1 + ( x - 50 5 ) - 2$ − 1 , 50 < x ⩽ 200 Y(x) = \begin{cases} 1, & 0 \leqslant x \leqslant 25 \\ \left $1 + \\left(\\dfrac{x - 25}{5}\\right)\^2\\right$ ^{-1}, & 25 < x \leqslant 200 \end{cases} \\ Q(x) = \begin{cases} 0, & 0 \leqslant x \leqslant 50 \\ \left $1 + \\left(\\dfrac{x - 50}{5}\\right)\^{-2}\\right$ ^{-1}, & 50 < x \leqslant 200 \end{cases} Y(x)=⎩ ⎨ ⎧1, $1+(5x-25)2$ −1,0⩽x⩽2525<x⩽200Q(x)=⎩ ⎨ ⎧0, $1+(5x-50)-2$ −1,0⩽x⩽5050<x⩽200

2. 模糊集合的表示方法

（1）扎德表示法：

A = A ( x 1 ) x 1 + A ( x 2 ) x 2 + ⋯ + A ( x n ) x n A = \frac{A(x_1)}{x_1} + \frac{A(x_2)}{x_2} + \cdots + \frac{A(x_n)}{x_n} A=x1A(x1)+x2A(x2)+⋯+xnA(xn)

这里 " A ( x i ) / x i A(x_i)/x_i A(xi)/xi" 不是分数，"+" 也不表示求和，仅有符号意义，它表示点 x i x_i xi 对模糊集 A A A 的隶属度是 A ( x i ) A(x_i) A(xi)。

（2）序偶表示法：

A = { ( x 1 , A ( x 1 ) ) , ( x 2 , A ( x 2 ) ) , ⋯ , ( x n , A ( x n ) ) } A = \{(x_1, A(x_1)), (x_2, A(x_2)), \cdots, (x_n, A(x_n))\} A={(x1,A(x1)),(x2,A(x2)),⋯,(xn,A(xn))}

（3）向量表示法：

A = ( A ( x 1 ) , A ( x 2 ) , ⋯ , A ( x n ) ) A = (A(x_1), A(x_2), \cdots, A(x_n)) A=(A(x1),A(x2),⋯,A(xn))

一般地，若 0 ⩽ a i ⩽ 1 0 \leqslant a_i \leqslant 1 0⩽ai⩽1， i = 1 , 2 , ⋯ , n i = 1, 2, \cdots, n i=1,2,⋯,n，则称 a = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) \boldsymbol{a} = (a_1, a_2, \cdots, a_n) a=(a1,a2,⋯,an) 为模糊向量。由此可知，模糊向量 a = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) \boldsymbol{a} = (a_1, a_2, \cdots, a_n) a=(a1,a2,⋯,an) 可以表示论域 U = { x 1 , x 2 , ⋯ , x n } U = \{x_1, x_2, \cdots, x_n\} U={x1,x2,⋯,xn} 上的模糊集 A A A。

例： A A A = '高个子' 可表示为以下两种形式

A = 0 x 1 + 0.1 x 2 + 0.4 x 3 + 0.5 x 4 + 0.8 x 5 + 1 x 6 A = \frac{0}{x_1} + \frac{0.1}{x_2} + \frac{0.4}{x_3} + \frac{0.5}{x_4} + \frac{0.8}{x_5} + \frac{1}{x_6} A=x10+x20.1+x30.4+x40.5+x50.8+x61

或：

A = ( 0 , 0.1 , 0.4 , 0.5 , 0.8 , 1 ) A = (0, 0.1, 0.4, 0.5, 0.8, 1) A=(0,0.1,0.4,0.5,0.8,1)

（4）无限集的表示法：

A = ∫ x ∈ U A ( x ) x A = \int_{x \in U} \frac{A(x)}{x} A=∫x∈UxA(x)

这里 ∫ \int ∫ 不是积分符号， A ( x ) / x A(x)/x A(x)/x 也不是分数。上例中的 Y Y Y（年轻）、 Q Q Q（年老）可分别表示为：

Y = ∫ x ∈ $0 , 25$ 1 x + ∫ x ∈ ( 25 , 200 ] $1 + ( x - 25 5 ) 2$ − 1 x Q = ∫ x ∈ $0 , 50$ 0 x + ∫ x ∈ ( 50 , 200 ] $1 + ( x - 50 5 ) - 2$ − 1 x Y = \int_{x \in $0, 25$ } \frac{1}{x} + \int_{x \in (25, 200]} \frac{\left $1 + \\left(\\dfrac{x - 25}{5}\\right)\^2\\right$ ^{-1}}{x} \\ Q = \int_{x \in $0, 50$ } \frac{0}{x} + \int_{x \in (50, 200]} \frac{\left $1 + \\left(\\dfrac{x - 50}{5}\\right)\^{-2}\\right$ ^{-1}}{x} Y=∫x∈ $0,25$ x1+∫x∈(25,200]x $1+(5x-25)2$ −1Q=∫x∈ $0,50$ x0+∫x∈(50,200]x $1+(5x-50)-2$ −1

3. 模糊集合的运算性质

（1）包含：

A ⊆ B ⟺ A ( x ) ⩽ B ( x ) , ∀ x ∈ U A \subseteq B \iff A(x) \leqslant B(x), \quad \forall x \in U A⊆B⟺A(x)⩽B(x),∀x∈U

（2）相等：

A = B ⟺ A ( x ) = B ( x ) , ∀ x ∈ U A = B \iff A(x) = B(x), \quad \forall x \in U A=B⟺A(x)=B(x),∀x∈U

（3）并： A ∪ B A \cup B A∪B 的隶属函数为

( A ∪ B ) ( x ) = def A ( x ) ∨ B ( x ) , ∀ x ∈ U (A \cup B)(x) \stackrel{\text{def}}{=} A(x) \vee B(x), \quad \forall x \in U (A∪B)(x)=defA(x)∨B(x),∀x∈U

（4）交： A ∩ B A \cap B A∩B 的隶属函数为

( A ∩ B ) ( x ) = def A ( x ) ∧ B ( x ) , ∀ x ∈ U (A \cap B)(x) \stackrel{\text{def}}{=} A(x) \wedge B(x), \quad \forall x \in U (A∩B)(x)=defA(x)∧B(x),∀x∈U

（5）余： A c A^c Ac 的隶属函数为

A c ( x ) = def 1 − A ( x ) , ∀ x ∈ U A^c(x) \stackrel{\text{def}}{=} 1 - A(x), \quad \forall x \in U Ac(x)=def1−A(x),∀x∈U

4. 并、交、余的运算性质

（1）幂等律：

A ∪ A = A , A ∩ A = A A \cup A = A, \\ A \cap A = A A∪A=A,A∩A=A

（2）交换律：

A ∪ B = B ∪ A , A ∩ B = B ∩ A A \cup B = B \cup A, \\ A \cap B = B \cap A A∪B=B∪A,A∩B=B∩A

（3）结合律：

( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) , ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C), \\ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) (A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

（4）吸收律：

A ∩ ( A ∪ B ) = A , A ∪ ( A ∩ B ) = A A \cap (A \cup B) = A, \\ A \cup (A \cap B) = A A∩(A∪B)=A,A∪(A∩B)=A

（5）分配律：

( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) ( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) (A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) \\ (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C) (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)

（6）0-1律：

A ∪ ∅ = A , A ∩ ∅ = ∅ , U ∪ A = U , U ∩ A = A A \cup \varnothing = A, \\ A \cap \varnothing = \varnothing, \\ U \cup A = U, \\ U \cap A = A A∪∅=A,A∩∅=∅,U∪A=U,U∩A=A

（7）还原律：

( A c ) c = A (A^c)^c = A (Ac)c=A

（8）对偶律：

( A ∪ B ) c = A c ∩ B c , ( A ∩ B ) c = A c ∪ B c (A \cup B)^c = A^c \cap B^c, \\ (A \cap B)^c = A^c \cup B^c (A∪B)c=Ac∩Bc,(A∩B)c=Ac∪Bc

5. 环和 + ^ \hat{+} +^ 与乘积 ⋅ \cdot ⋅

（1）环和：

( A + ^ B ) ( x ) = def A ( x ) + B ( x ) − A ( x ) ⋅ B ( x ) , ∀ x ∈ U (A \hat{+} B)(x) \stackrel{\text{def}}{=} A(x) + B(x) - A(x) \cdot B(x), \quad \forall x \in U (A+^B)(x)=defA(x)+B(x)−A(x)⋅B(x),∀x∈U

（2）乘积：

( A ⋅ B ) ( x ) = def A ( x ) ⋅ B ( x ) , ∀ x ∈ U (A \cdot B)(x) \stackrel{\text{def}}{=} A(x) \cdot B(x), \quad \forall x \in U (A⋅B)(x)=defA(x)⋅B(x),∀x∈U

运算性质：

交换律： A + ^ B = B + ^ A A \hat{+} B = B \hat{+} A A+^B=B+^A， A ⋅ B = B ⋅ A A \cdot B = B \cdot A A⋅B=B⋅A
结合律： ( A + ^ B ) + ^ C = A + ^ ( B + ^ C ) (A \hat{+} B) \hat{+} C = A \hat{+} (B \hat{+} C) (A+^B)+^C=A+^(B+^C)， ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) (A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C) (A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)
0-1律： A + ^ U = U A \hat{+} U = U A+^U=U， A ⋅ U = A A \cdot U = A A⋅U=A， A + ^ ∅ = A A \hat{+} \varnothing = A A+^∅=A， A ⋅ ∅ = ∅ A \cdot \varnothing = \varnothing A⋅∅=∅
对偶律： ( A + ^ B ) c = A c ⋅ B c (A \hat{+} B)^c = A^c \cdot B^c (A+^B)c=Ac⋅Bc， ( A ⋅ B ) c = A c + ^ B c (A \cdot B)^c = A^c \hat{+} B^c (A⋅B)c=Ac+^Bc

注：环和、乘积运算不满足分配律、吸收律、幂等律和排中律。

6. 其它算子

（1）取大、乘积算子：

a ∨ b = def max ⁡ ( a , b ) , a ⋅ b = a b a \vee b \stackrel{\text{def}}{=} \max(a, b), \quad a \cdot b = ab a∨b=defmax(a,b),a⋅b=ab

（2）有界和、取小算子：

a ⊕ b = def min ⁡ ( 1 , a + b ) , a ∧ b = def min ⁡ ( a , b ) a \oplus b \stackrel{\text{def}}{=} \min(1, a + b), \quad a \wedge b \stackrel{\text{def}}{=} \min(a, b) a⊕b=defmin(1,a+b),a∧b=defmin(a,b)

（3）爱因斯坦算子：

a ε + b = def a + b 1 + a b , a ε ⋅ b = def a b 1 + ( 1 − a ) ( 1 − b ) a \stackrel{+}{\varepsilon} b \stackrel{\text{def}}{=} \frac{a + b}{1 + ab}, \quad a \stackrel{\cdot}{\varepsilon} b \stackrel{\text{def}}{=} \frac{ab}{1 + (1 - a)(1 - b)} aε+b=def1+aba+b,aε⋅b=def1+(1−a)(1−b)ab

（4）哈梅彻算子：

a r + b = def a + ^ b − ( 1 − r ) a b r + ( 1 − r ) ( 1 − a b ) a r ⋅ b = def a b r + ( 1 − r ) ( a + ^ b ) } r ∈ ( 0 , + ∞ ) \left. \begin{aligned} a \overset{+}{r} b &\stackrel{\text{def}}{=} \frac{a \hat{+} b - (1 - r)ab}{r + (1 - r)(1 - ab)} \\ a \overset{\cdot}{r} b &\stackrel{\text{def}}{=} \frac{ab}{r + (1 - r)(a \hat{+} b)} \end{aligned} \right\} \quad r \in (0, +\infty) ar+bar⋅b=defr+(1−r)(1−ab)a+^b−(1−r)ab=defr+(1−r)(a+^b)ab⎭ ⎬ ⎫r∈(0,+∞)

（5）雅格尔算子：

a Y ν b = def min ⁡ { 1 , ( a ν + b ν ) 1 / ν } a λ ν b = def 1 − min ⁡ { 1 , $( 1 - a ) ν + ( 1 - b ) ν$ 1 / ν } } ν ∈ $1 , + ∞ ) \\left. \\begin{aligned} a Y_\\nu b \&\\stackrel{\\text{def}}{=} \\min\\left\\{1, \\left(a\^\\nu + b\^\\nu\\right)\^{1/\\nu}\\right\\} \\\\ a \\lambda_\\nu b \&\\stackrel{\\text{def}}{=} 1 - \\min\\left\\{1, \\left\[(1 - a)\^\\nu + (1 - b)\^\\nu\\right$ ^{1/\nu}\right\} \end{aligned} \right\} \quad \nu \in $1, +\\infty) aYνbaλνb=defmin{1,(aν+bν)1/ν}=def1−min{1,\[(1−a)ν+(1−b)ν$ 1/ν}⎭ ⎬ ⎫ν∈[1,+∞)

若要规避与哈梅彻算子符号冲突，把全部 ν \nu ν 替换为 p p p。

二、模糊截集与分解定理

模糊截集是模糊数学中重要的概念，也是联系模糊数学与精确数学之间的重要桥梁。

1. 定义

模糊集的 λ \lambda λ-截集 A λ A_\lambda Aλ 是一个经典集合，由隶属度不小于 λ \lambda λ 的成员构成。它的特征函数为

χ A λ ( x ) = { 1 , A ( x ) ⩾ λ 0 , A ( x ) < λ \chi_{A_\lambda}(x) = \begin{cases} 1, & A(x) \geqslant \lambda \\ 0, & A(x) < \lambda \end{cases} χAλ(x)={1,0,A(x)⩾λA(x)<λ

例1： 设论域 U U U 表示学生，他们某门功课的分数依次是 50, 60, 70, 85, 90, 95。 A A A = "学习成绩好的学生"，他们所得的分数除以 100 后，即为各自对 A A A 的隶属度，即

A = 0.5 u 1 + 0.6 u 2 + 0.7 u 3 + 0.85 u 4 + 0.9 u 5 + 0.95 u 6 A = \frac{0.5}{u_1} + \frac{0.6}{u_2} + \frac{0.7}{u_3} + \frac{0.85}{u_4} + \frac{0.9}{u_5} + \frac{0.95}{u_6} A=u10.5+u20.6+u30.7+u40.85+u50.9+u60.95

要确定"学习成绩好的学生"即要将模糊集 A A A 转化为经典集合，即先确定一个阈值 λ \lambda λ（ 0 ⩽ λ ⩽ 1 0 \leqslant \lambda \leqslant 1 0⩽λ⩽1），然后将隶属度 A ( x ) ⩾ λ A(x) \geqslant \lambda A(x)⩾λ 的元素找出来。当 λ \lambda λ 取 0.9, 0.8, 0.6, 0.5 时：

A 0.9 （90分以上者） = { u 5 , u 6 } A 0.8 （80分以上者） = { u 4 , u 5 , u 6 } A 0.6 （60分以上者） = { u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , u 6 } A 0.5 （50分以上者） = { u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , u 6 } \begin{aligned} A_{0.9} \text{（90分以上者）} &= \{u_5, u_6\} \\ A_{0.8} \text{（80分以上者）} &= \{u_4, u_5, u_6\} \\ A_{0.6} \text{（60分以上者）} &= \{u_2, u_3, u_4, u_5, u_6\} \\ A_{0.5} \text{（50分以上者）} &= \{u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6\} \end{aligned} A0.9（90分以上者）A0.8（80分以上者）A0.6（60分以上者）A0.5（50分以上者）={u5,u6}={u4,u5,u6}={u2,u3,u4,u5,u6}={u1,u2,u3,u4,u5,u6}

例2： A ( x ) = exp ⁡ $- ( x - a ) 2 σ 2$ A(x) = \exp\left $-\\dfrac{(x - a)\^2}{\\sigma\^2}\\right$ A(x)=exp $-σ2(x-a)2$ ，求 A λ A_\lambda Aλ（ 0 < λ ⩽ 1 0 < \lambda \leqslant 1 0<λ⩽1）。

A ( x ) ⩾ λ ⟺ − ( x − a ) 2 σ 2 ⩾ ln ⁡ λ ⟺ ( x − a ) 2 ⩽ − σ 2 ln ⁡ λ ⟺ a − − σ 2 ln ⁡ λ ⩽ x ⩽ a + − σ 2 ln ⁡ λ \begin{aligned} A(x) \geqslant \lambda &\iff -\frac{(x - a)^2}{\sigma^2} \geqslant \ln \lambda \\ &\iff (x - a)^2 \leqslant -\sigma^2 \ln \lambda \\ &\iff a - \sqrt{-\sigma^2 \ln \lambda} \leqslant x \leqslant a + \sqrt{-\sigma^2 \ln \lambda} \end{aligned} A(x)⩾λ⟺−σ2(x−a)2⩾lnλ⟺(x−a)2⩽−σ2lnλ⟺a−−σ2lnλ ⩽x⩽a+−σ2lnλ

因此

A λ = { x ∣ a − − σ 2 ln ⁡ λ ⩽ x ⩽ a + − σ 2 ln ⁡ λ } A_\lambda = \{x \mid a - \sqrt{-\sigma^2 \ln \lambda} \leqslant x \leqslant a + \sqrt{-\sigma^2 \ln \lambda}\} Aλ={x∣a−−σ2lnλ ⩽x⩽a+−σ2lnλ }

或

A λ = $a - - σ 2 ln λ , a + - σ 2 ln λ$ A_\lambda = $a - \\sqrt{-\\sigma\^2 \\ln \\lambda}, \\ a + \\sqrt{-\\sigma\^2 \\ln \\lambda}$ Aλ= $a--σ2lnλ , a+-σ2lnλ$

2. 性质

A ⊆ B ⇒ A λ ⊆ B λ μ ⩽ λ ⇒ A μ ⊆ A λ ( A ∪ B ) λ = A λ ∪ B λ , ( A ∩ B ) λ = A λ ∩ B λ \begin{aligned} A \subseteq B &\Rightarrow A_\lambda \subseteq B_\lambda \\ \mu \leqslant \lambda &\Rightarrow A_\mu \subseteq A_\lambda \\ (A \cup B)\lambda &= A\lambda \cup B_\lambda, \\ (A \cap B)\lambda &= A\lambda \cap B_\lambda \end{aligned} A⊆Bμ⩽λ(A∪B)λ(A∩B)λ⇒Aλ⊆Bλ⇒Aμ⊆Aλ=Aλ∪Bλ,=Aλ∩Bλ

3. 支集、正规集与核

（1） 称集合 S u p p A = { x ∣ A ( x ) > 0 } \mathrm{Supp}\ A = \{x \mid A(x) > 0\} Supp A={x∣A(x)>0} 为 A A A 的支集，记 S u p p A = A v \mathrm{Supp}\ A = A_{v} Supp A=Av。

（2） 称集合 K e r A = { x ∣ A ( x ) = 1 } \mathrm{Ker}\ A = \{x \mid A(x) = 1\} Ker A={x∣A(x)=1} 为 A A A 的核，记 K e r A = A 1 \mathrm{Ker}\ A = A_1 Ker A=A1。若 K e r A ≠ ∅ \mathrm{Ker}\ A \neq \varnothing Ker A=∅，则称为正规模糊集。

（3） 称集合 B d A = { x ∣ 0 < A ( x ) < 1 } \mathrm{Bd}\ A = \{x \mid 0 < A(x) < 1\} Bd A={x∣0<A(x)<1} 为 A A A 的边界，即 B d A = S u p p A − K e r A \mathrm{Bd}\ A = \mathrm{Supp}\ A - \mathrm{Ker}\ A Bd A=Supp A−Ker A。

4. 分解定理

任意模糊集合可以写成：

A = ⋃ λ ∈ $0 , 1$ λ A λ A = \bigcup_{\lambda \in $0, 1$ } \lambda A_\lambda A=λ∈ $0,1$ ⋃λAλ

该定理表明，模糊集可由经典集合表示，这反映了模糊集和经典集合的密切关系，建立了模糊集与经典集合的转化关系。

上述定理也可以写成：

A ( x ) = ⋁ λ ∈ $0 , 1$ $λ \land χ A λ ( x )$ A(x) = \bigvee_{\lambda \in $0, 1$ } $\\lambda \\wedge \\chi_{A_\\lambda}(x)$ A(x)=λ∈ $0,1$ ⋁ $λ\landχAλ(x)$

或者

A ( x ) = ⋁ { λ ∈ $0 , 1$ ; x ∈ A λ } A(x) = \bigvee \{\lambda \in $0, 1$ ; x \in A_\lambda\} A(x)=⋁{λ∈ $0,1$ ;x∈Aλ}

由上述结论可知，若已知模糊集的所有截集，则可以反求模糊集本身。

例3： 求出模糊集 A = 0.7 u 1 + 0.8 u 2 + 0.2 u 3 + 1 u 4 A = \dfrac{0.7}{u_1} + \dfrac{0.8}{u_2} + \dfrac{0.2}{u_3} + \dfrac{1}{u_4} A=u10.7+u20.8+u30.2+u41 的所有截集及分解。

所有截集：

A 1 = { u 4 } = 1 u 4 , 1 ⋅ A 1 = 1 u 4 A 0.8 = { u 2 , u 4 } = 1 u 2 + 1 u 4 , 0.8 ⋅ A 0.8 = 0.8 u 2 + 0.8 u 4 A 0.7 = { u 1 , u 2 , u 4 } = 1 u 1 + 1 u 2 + 1 u 4 , 0.7 ⋅ A 0.7 = 0.7 u 1 + 0.7 u 2 + 0.7 u 4 A 0.2 = { u 1 , u 2 , u 3 , u 4 } = 1 u 1 + 1 u 2 + 1 u 3 + 1 u 4 , 0.2 ⋅ A 0.2 = 0.2 u 1 + 0.2 u 2 + 0.2 u 3 + 0.2 u 4 \begin{aligned} A_1 &= \{u_4\} = \frac{1}{u_4}, & 1 \cdot A_1 &= \frac{1}{u_4} \\ A_{0.8} &= \{u_2, u_4\} = \frac{1}{u_2} + \frac{1}{u_4}, & 0.8 \cdot A_{0.8} &= \frac{0.8}{u_2} + \frac{0.8}{u_4} \\ A_{0.7} &= \{u_1, u_2, u_4\} = \frac{1}{u_1} + \frac{1}{u_2} + \frac{1}{u_4}, & 0.7 \cdot A_{0.7} &= \frac{0.7}{u_1} + \frac{0.7}{u_2} + \frac{0.7}{u_4} \\ A_{0.2} &= \{u_1, u_2, u_3, u_4\} = \frac{1}{u_1} + \frac{1}{u_2} + \frac{1}{u_3} + \frac{1}{u_4}, & 0.2 \cdot A_{0.2} &= \frac{0.2}{u_1} + \frac{0.2}{u_2} + \frac{0.2}{u_3} + \frac{0.2}{u_4} \end{aligned} A1A0.8A0.7A0.2={u4}=u41,={u2,u4}=u21+u41,={u1,u2,u4}=u11+u21+u41,={u1,u2,u3,u4}=u11+u21+u31+u41,1⋅A10.8⋅A0.80.7⋅A0.70.2⋅A0.2=u41=u20.8+u40.8=u10.7+u20.7+u40.7=u10.2+u20.2+u30.2+u40.2

最终分解：

1 ⋅ A 1 ∪ 0.8 ⋅ A 0.8 ∪ 0.7 ⋅ A 0.7 ∪ 0.2 ⋅ A 0.2 = 1 u 4 ⋁ ( 0.8 u 2 + 0.8 u 4 ) ⋁ ( 0.7 u 1 + 0.7 u 2 + 0.7 u 4 ) ⋁ ( 0.2 u 1 + 0.2 u 2 + 0.2 u 3 + 0.2 u 4 ) = 0.7 ∨ 0.2 u 1 + 0.8 ∨ 0.7 ∨ 0.2 u 2 + 0.2 u 3 + 1 ∨ 0.8 ∨ 0.7 ∨ 0.2 u 4 = 0.7 u 1 + 0.8 u 2 + 0.2 u 3 + 1 u 4 = A \begin{aligned} &1 \cdot A_1 \cup 0.8 \cdot A_{0.8} \cup 0.7 \cdot A_{0.7} \cup 0.2 \cdot A_{0.2} \\ &= \frac{1}{u_4} \bigvee \left(\frac{0.8}{u_2} + \frac{0.8}{u_4}\right) \bigvee \left(\frac{0.7}{u_1} + \frac{0.7}{u_2} + \frac{0.7}{u_4}\right) \bigvee \left(\frac{0.2}{u_1} + \frac{0.2}{u_2} + \frac{0.2}{u_3} + \frac{0.2}{u_4}\right) \\ &= \frac{0.7 \vee 0.2}{u_1} + \frac{0.8 \vee 0.7 \vee 0.2}{u_2} + \frac{0.2}{u_3} + \frac{1 \vee 0.8 \vee 0.7 \vee 0.2}{u_4} \\ &= \frac{0.7}{u_1} + \frac{0.8}{u_2} + \frac{0.2}{u_3} + \frac{1}{u_4} \\&= A \end{aligned} 1⋅A1∪0.8⋅A0.8∪0.7⋅A0.7∪0.2⋅A0.2=u41⋁(u20.8+u40.8)⋁(u10.7+u20.7+u40.7)⋁(u10.2+u20.2+u30.2+u40.2)=u10.7∨0.2+u20.8∨0.7∨0.2+u30.2+u41∨0.8∨0.7∨0.2=u10.7+u20.8+u30.2+u41=A

三、模糊隶属度函数的确定及常用隶属度函数

1. 模糊隶属度函数的确定方法

直觉法： 人们用自己对模糊概念的认识和理解，或者人们对模糊概念的普遍认同来建立隶属函数。这种方法通常用于描述人们熟知、有共识的客观模糊现象，或者用于难于采集数据的情形。
二元对比排序法： 通过对多个对象进行两两对比来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些对象对该特征的隶属程度。这种方法更适用于根据事物的抽象性质由专家来确定隶属函数的情形，可以通过多名专家或者一个委员会，甚至一次民意测验来实施。
模糊统计实验法： 类似于统计学中的大样本实验法，根据概念所占比例确定其对应隶属度。

除此之外还有许多其它方法，如最小模糊度法等。

2. 常用模糊隶属度函数之基本类型

偏小、偏大和中间型是常用的隶属度函数的分类，简单常用的即（半）梯形函数：

（1）偏小型：

A ( x ) = { 1 , x < a b − x b − a , a ⩽ x ⩽ b 0 , b < x A(x) = \begin{cases} 1, & x < a \\ \dfrac{b - x}{b - a}, & a \leqslant x \leqslant b \\ 0, & b < x \end{cases} A(x)=⎩ ⎨ ⎧1,b−ab−x,0,x<aa⩽x⩽bb<x

（2）中间型：

A ( x ) = { x − a b − a , a ⩽ x < b 1 , b ⩽ x ⩽ c d − x d − c , c ⩽ x ⩽ d 0 , x < a 或 d < x A(x) = \begin{cases} \dfrac{x - a}{b - a}, & a \leqslant x < b \\ 1, & b \leqslant x \leqslant c \\ \dfrac{d - x}{d - c}, & c \leqslant x \leqslant d \\ 0, & x < a \text{ 或 } d < x \end{cases} A(x)=⎩ ⎨ ⎧b−ax−a,1,d−cd−x,0,a⩽x<bb⩽x⩽cc⩽x⩽dx<a 或 d<x

（3）偏大型：

A ( x ) = { 0 , x < a x − a b − a , a ⩽ x ⩽ b 1 , b < x A(x) = \begin{cases} 0, & x < a \\ \dfrac{x - a}{b - a}, & a \leqslant x \leqslant b \\ 1, & b < x \end{cases} A(x)=⎩ ⎨ ⎧0,b−ax−a,1,x<aa⩽x⩽bb<x

上述三种基本类型依次对应下列图形：

图：梯形隶属度函数------偏小型、中间型、偏大型

3. 抛物型或半抛物型

（1）偏小型：

A ( x ) = { 1 , x < a ( b − x b − a ) k , a ⩽ x ⩽ b 0 , b < x A(x) = \begin{cases} 1, & x < a \\ \left(\dfrac{b - x}{b - a}\right)^k, & a \leqslant x \leqslant b \\ 0, & b < x \end{cases} A(x)=⎩ ⎨ ⎧1,(b−ab−x)k,0,x<aa⩽x⩽bb<x

（2）偏大型：

A ( x ) = { 0 , x < a ( x − a b − a ) k , a ⩽ x ⩽ b 1 , b < x A(x) = \begin{cases} 0, & x < a \\ \left(\dfrac{x - a}{b - a}\right)^k, & a \leqslant x \leqslant b \\ 1, & b < x \end{cases} A(x)=⎩ ⎨ ⎧0,(b−ax−a)k,1,x<aa⩽x⩽bb<x

（3）中间型：

A ( x ) = { ( x − a b − a ) k , a ⩽ x < b 1 , b ⩽ x ⩽ c ( d − x d − c ) k , c ⩽ x ⩽ d 0 , x < a 或 d < x A(x) = \begin{cases} \left(\dfrac{x - a}{b - a}\right)^k, & a \leqslant x < b \\ 1, & b \leqslant x \leqslant c \\ \left(\dfrac{d - x}{d - c}\right)^k, & c \leqslant x \leqslant d \\ 0, & x < a \text{ 或 } d < x \end{cases} A(x)=⎩ ⎨ ⎧(b−ax−a)k,1,(d−cd−x)k,0,a⩽x<bb⩽x⩽cc⩽x⩽dx<a 或 d<x

上述三种抛物型隶属度函数依次对应以下图形：

图：抛物型隶属度函数------偏小型、中间型、偏大型

其它隶属度函数可参考：ResearchGate - Membership Functions

四、模糊矩阵与模糊关系

1. 模糊矩阵

定义： 如果对于任意 i = 1 , 2 , ⋯ , m i = 1, 2, \cdots, m i=1,2,⋯,m； j = 1 , 2 , ⋯ , n j = 1, 2, \cdots, n j=1,2,⋯,n，都有 r i j ∈ $0 , 1$ r_{ij} \in $0, 1$ rij∈ $0,1$ ，则称 R = ( r i j ) m × n R = (r_{ij})_{m \times n} R=(rij)m×n 为模糊矩阵。特别地，当 m = n m = n m=n 时称 R R R 为模糊方阵。

理解，即若矩阵元素均在区间 $0 , 1$ $0, 1$ $0,1$ 上，则称该矩阵为模糊矩阵。

特殊模糊矩阵（零矩阵、单位矩阵、全称矩阵）：

O = ( 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ) m × n , I = ( 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 0 ⋯ 0 1 ) n × n , U = ( 1 1 ⋯ 1 1 1 ⋯ 1 ⋮ ⋮ ⋮ 1 1 ⋯ 1 ) m × n \boldsymbol{O} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}{m \times n}, \\ $1em$ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}{n \times n}, \\ $1em$ U = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix}_{m \times n} O= 00⋮000⋮0⋯⋯⋯00⋮0 m×n,I= 10⋮001⋱⋯⋯⋱⋱00⋮01 n×n,U= 11⋮111⋮1⋯⋯⋯11⋮1 m×n

2. 模糊矩阵间的关系

相等： A = B ⟺ a i j = b i j A = B \iff a_{ij} = b_{ij} A=B⟺aij=bij， i = 1 , 2 , ⋯ , m i = 1, 2, \cdots, m i=1,2,⋯,m； j = 1 , 2 , ⋯ , n j = 1, 2, \cdots, n j=1,2,⋯,n

包含： A ⩽ B ⟺ a i j ⩽ b i j A \leqslant B \iff a_{ij} \leqslant b_{ij} A⩽B⟺aij⩽bij， i = 1 , 2 , ⋯ , m i = 1, 2, \cdots, m i=1,2,⋯,m； j = 1 , 2 , ⋯ , n j = 1, 2, \cdots, n j=1,2,⋯,n

3. 模糊矩阵的交并余运算

并：相同位置元素取大

A ∪ B = ( a i j ∨ b i j ) m × n A \cup B = (a_{ij} \vee b_{ij})_{m \times n} A∪B=(aij∨bij)m×n

交：相同位置元素取小

A ∩ B = ( a i j ∧ b i j ) m × n A \cap B = (a_{ij} \wedge b_{ij})_{m \times n} A∩B=(aij∧bij)m×n

余： 1 减去所有元素

A c = ( 1 − a i j ) m × n A^c = (1 - a_{ij})_{m \times n} Ac=(1−aij)m×n

例：

A = ( 1 0.1 0.3 0.5 ) , B = ( 0.7 0 0.4 0.9 ) A ∪ B = ( 1 ∨ 0.7 0.1 ∨ 0 0.3 ∨ 0.4 0.5 ∨ 0.9 ) = ( 1 0.1 0.4 0.9 ) A ∩ B = ( 1 ∧ 0.7 0.1 ∧ 0 0.3 ∧ 0.4 0.5 ∧ 0.9 ) = ( 0.7 0 0.3 0.5 ) A c = ( 1 − 1 1 − 0.1 1 − 0.3 1 − 0.5 ) = ( 0 0.9 0.7 0.5 ) \begin{aligned} A &= \begin{pmatrix} 1 & 0.1 \\ 0.3 & 0.5 \end{pmatrix}, & B &= \begin{pmatrix} 0.7 & 0 \\ 0.4 & 0.9 \end{pmatrix} \\ A \cup B &= \begin{pmatrix} 1 \vee 0.7 & 0.1 \vee 0 \\ 0.3 \vee 0.4 & 0.5 \vee 0.9 \end{pmatrix} &&= \begin{pmatrix} 1 & 0.1 \\ 0.4 & 0.9 \end{pmatrix} \\ A \cap B &= \begin{pmatrix} 1 \wedge 0.7 & 0.1 \wedge 0 \\ 0.3 \wedge 0.4 & 0.5 \wedge 0.9 \end{pmatrix} &&= \begin{pmatrix} 0.7 & 0 \\ 0.3 & 0.5 \end{pmatrix} \\ A^c &= \begin{pmatrix} 1 - 1 & 1 - 0.1 \\ 1 - 0.3 & 1 - 0.5 \end{pmatrix} &&= \begin{pmatrix} 0 & 0.9 \\ 0.7 & 0.5 \end{pmatrix} \end{aligned} AA∪BA∩BAc=(10.30.10.5),=(1∨0.70.3∨0.40.1∨00.5∨0.9)=(1∧0.70.3∧0.40.1∧00.5∧0.9)=(1−11−0.31−0.11−0.5)B=(0.70.400.9)=(10.40.10.9)=(0.70.300.5)=(00.70.90.5)

注：模糊矩阵的运算性质与模糊集合完全一致。

4. 模糊关系

对有限论域 U = { u 1 , u 2 , ⋯ , u n } U = \{u_1, u_2, \cdots, u_n\} U={u1,u2,⋯,un}， V = { v 1 , v 2 , ⋯ , v n } V = \{v_1, v_2, \cdots, v_n\} V={v1,v2,⋯,vn}，若元标 r i j = R ( u i , v j ) r_{ij} = R(u_i, v_j) rij=R(ui,vj)，则矩阵 R = ( r i j ) n × n R = (r_{ij})_{n \times n} R=(rij)n×n 表示从 U U U 到 V V V 的一个模糊关系，或者说一个模糊矩阵确定一个模糊关系。

性质： 模糊关系具有对称性和自反性。

5. 模糊关系的合成

定义： 设 Q , R Q, R Q,R 为模糊关系，所谓 Q Q Q 对 R R R 的合成，就是从 U U U 到 W W W 的一个模糊关系，记作 Q ∘ R Q \circ R Q∘R。其定义为：

( Q ∘ R ) i j = ⋁ k = 1 l ( q i k ∧ r k j ) (Q \circ R){ij} = \bigvee{k=1}^{l} (q_{ik} \wedge r_{kj}) (Q∘R)ij=k=1⋁l(qik∧rkj)

注：此处表示 Q Q Q 的每行先与 R R R 的每列对应对取小，再对这一组取大，得到该位置的元素。其操作方式与矩阵乘法类似。

特别地，记：

R 2 = R ∘ R , R n = R n − 1 ∘ R R^2 = R \circ R, \\ R^n = R^{n-1} \circ R R2=R∘R,Rn=Rn−1∘R

例：设模糊关系

Q = ( 0.3 0.7 0.2 1 0 0.9 ) , R = ( 0.8 0.3 0.1 0.8 0.5 0.6 ) Q = \begin{pmatrix} 0.3 & 0.7 & 0.2 \\ 1 & 0 & 0.9 \end{pmatrix}, \quad R = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.1 & 0.8 \\ 0.5 & 0.6 \end{pmatrix} Q=(0.310.700.20.9),R= 0.80.10.50.30.80.6

记：

Q ∘ R = ( s 11 s 12 s 21 s 22 ) Q \circ R = \begin{pmatrix} s_{11} & s_{12} \\ s_{21} & s_{22} \end{pmatrix} Q∘R=(s11s21s12s22)

由模糊关系合成的定义：

s 11 = ( 0.3 ∧ 0.8 ) ∨ ( 0.7 ∧ 0.1 ) ∨ ( 0.2 ∧ 0.5 ) = 0.3 s 12 = ( 0.3 ∧ 0.3 ) ∨ ( 0.7 ∧ 0.8 ) ∨ ( 0.2 ∧ 0.6 ) = 0.7 s 21 = ( 1 ∧ 0.8 ) ∨ ( 0 ∧ 0.1 ) ∨ ( 0.9 ∧ 0.5 ) = 0.8 s 22 = ( 1 ∧ 0.3 ) ∨ ( 0 ∧ 0.8 ) ∨ ( 0.9 ∧ 0.6 ) = 0.6 \begin{aligned} s_{11} &= (0.3 \wedge 0.8) \vee (0.7 \wedge 0.1) \vee (0.2 \wedge 0.5) = 0.3 \\ s_{12} &= (0.3 \wedge 0.3) \vee (0.7 \wedge 0.8) \vee (0.2 \wedge 0.6) = 0.7 \\ s_{21} &= (1 \wedge 0.8) \vee (0 \wedge 0.1) \vee (0.9 \wedge 0.5) = 0.8 \\ s_{22} &= (1 \wedge 0.3) \vee (0 \wedge 0.8) \vee (0.9 \wedge 0.6) = 0.6 \end{aligned} s11s12s21s22=(0.3∧0.8)∨(0.7∧0.1)∨(0.2∧0.5)=0.3=(0.3∧0.3)∨(0.7∧0.8)∨(0.2∧0.6)=0.7=(1∧0.8)∨(0∧0.1)∨(0.9∧0.5)=0.8=(1∧0.3)∨(0∧0.8)∨(0.9∧0.6)=0.6

则：

Q ∘ R = ( 0.3 0.7 0.8 0.6 ) Q \circ R = \begin{pmatrix} 0.3 & 0.7 \\ 0.8 & 0.6 \end{pmatrix} Q∘R=(0.30.80.70.6)

csdn 篇幅所限，未完继续......

模糊数学笔记（二）-CSDN博客
https://blog.csdn.net/u013669912/article/details/166681663