数学笔记：泊松求和公式

泊松求和公式（Poisson Summation Formulation） 由法国科学家泊松发现，是调和分析中非常重要的一个公式，在诸多数学分支中有着广泛的应用。它建立了函数在时域（或实数域）上的无限求和与其连续傅里叶变换之间的对应建立对应关系，其核心思想是将函数$f$沿整数平移叠加，得到一个周期为$1$的函数；这个周期函数的傅里叶级数系数，恰好是$f$的傅里叶变换在整数点的值。

泊松求和公式建立了离散点求和 与连续傅里叶变换在等间距频率点求和之间的恒等关系，是分析采样、混叠与数值频散的核心数学工具。其解释了如下的数值现象：

时域、空间域离散采样$\Leftrightarrow$ 频域、波数域周期延拓。
对连续函数$f(x)$ 以间距$\Delta{x}$ 采样，其离散序列的频谱等于原连续频谱以$2\pi/{\Delta{x}}$ 为周期的重复叠加。
若原信号带限且最高频率低于$Nyquist$ 频率，则无混叠；否则高频成分会折叠到低频，产生数值频散

1.傅里叶变换约定及泊松求和公式

为了后续的推导简洁清晰避免符号混乱，本笔记采用如下的符号约定：设$f(\xi)$ 为定义在实数轴上足够光滑且衰减足够快的函数，其傅里叶变换为：

\ $\\hat{f}(\\xi)=\\int_{\\mathbb{R}}f(x)e\^{-2\\pi{i}x\\xi}d{x} \\tag{1.1} \\$

其傅里叶逆变换：

\ $f(x)=\\int_{\\mathbb{R}}\\hat{f}(\\xi)e\^{2\\pi{i}x\\xi}d{\\xi} \\tag{1.2} \\$

在这个约定下，泊松求和公式的常见的约定形式为：

\ $\\sum_{n\\in{\\mathbb{Z}}}{f(n)}=\\sum_{k\\in{\\mathbb{Z}}}\\hat{f}(k) \\tag{1.3} \\$

更一般的周期化形式为：

\ $\\sum_{n\\in{\\mathbb{Z}}}f(n+x\^{\\prime})=\\sum_{k\\in{\\mathbb{Z}}}\\hat{f}(k)e\^{2\\pi{i}kx} \\tag{1.4} \\$

令$x=0$，就得到第一个公式（1.3）。

泊松求和公式定理成立最严格条件是$f$属于Schwartz 空间$\mathcal{S}(\mathbb{R})$，即$f$无限可微且各阶导数均快速衰减。此时$\hat{f}$ 也属于$\mathcal{S}(\mathbb{R})$ ，因此：

\ $\\sum_{n\\in{\\mathbb{Z}}}\|f(n)\|\<{\\infty},\\space \\sum_{k\\in\\mathbb{Z}}\|\\hat{f}(k)\|\<\\infty \\tag{1.5} \\$

所以两边都绝对收敛。在较弱条件下也可成立，例如$f$连续且$f,\hat{f}$ 都有足够快的衰减；在分布意义下还可进一步推广。

2.泊松求和公式的数学推导：周期化与傅里叶级数

设$f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$，定义其周期化函数$F(x)$为：

\ $F(x)=\\sum_{n\\in\\mathbb{Z}}f(x+n).\\tag{2.1} \\$

由于$f$快速衰减，这个函数绝对且一致收敛，并且$F$是周期为$T=1$的光滑函数：

\ $F(x+1)=\\sum_{n\\in{\\mathbb{Z}}}f(x+n+1)=\\sum_{m\\in\\mathbb{Z}}f(x+m)=F(x) \\tag{2.2} \\$

因此$F$可以展开成傅里叶级数：

\ $F(x)=\\sum_{k\\in{\\mathbb{Z}}}c_ke\^{2\\pi{i}kx}.\\tag{2.3} \\$

其傅里叶系数为：

\ $c_k=\\int_{0}\^{1}F(x)e\^{2\\pi{i}kx}d{x} \\tag{2.4} \\$

代入$F(x)=\sum_{n\in{\mathbb{z}}}f(x+n)$，并交换求和与积分：

\ $\\begin{aligned} c_k\&=\\int_{0}\^{1}\\sum_{n\\in{\\mathbb{Z}}}f(x+n)e\^{-2\\pi{i}kx}d{x} \\\\ \&= \\sum_{n\\in{\\mathbb{Z}}}\\int_{0}\^{1}f(x+n)e\^{-2\\pi{i}kx}d{x} \\end{aligned} \\tag{2.5} \\$

令$t=x+n$，则$x=t-n$，且：

\ $e\^{-2\\pi{i}kn}=e\^{-2\\pi{i}k(t-n)}=e\^{-2\\pi{i}kt}e\^{2\\pi{i}kn}=e\^{-2\\pi{i}kt} \\tag{2.6} \\$

因为$k,n\in{\mathbb{Z}}$，所以$e^{2\pi{ikn}}=1$。于是建立傅里叶级数$c_k$可以变为

\ $\\begin{aligned} c_k\&=\\sum_{n\\in{\\mathbb{Z}}}\\int_{n}\^{n+1}f(t)e\^{-2\\pi{ikt}}d{t}\\\\ \&=\\int_{-\\infty}\^{\\infty}f(t)e\^{-2\\pi{i}kt}dt\\\\ \&=\\hat{f}(k) \\end{aligned} \\tag{2.7} \\$

因此，周期化函数$F$的傅里叶级数为

\ $F(x)=\\sum_{k\\in{\\mathbb{Z}}}\\hat{f}(k)e\^{2\\pi{ikx}} \\tag{2.8} \\$

代入可得：

\ $\\sum_{n\\in{\\mathbb{Z}}}f(x+n)=\\sum_{k\\in{\\mathbb{Z}}}\\hat{f}(k)e\^{2\\pi{ikx}} \\tag{2.9} \\$

最后令$x=0$，得到

\ $\\sum_{n\\in{\\mathbb{Z}}}f(n)=\\sum_{k\\in\\mathbb{Z}}\\hat{f}(k). \\tag{2.10} \\$

这就是泊松求和公式 。同理，若以采样间距$\Delta{x}$ 采样，则更一般的形式为：

\ $\\sum_{n=-\\infty}\^{\\infty}f(n\\Delta{x})=\\frac{1}{\\Delta{x}}\\sum_{m=-\\infty}\^{\\infty}\\hat{f}\\left(\\frac{2\\pi m}{\\Delta{x}}\\right) \\tag{2.11} \\$

该公式表明**：函数在等间距离散点上的求和，等于其连续傅里叶变换在等间距频率点上的求和（乘以$1/\Delta{x}$）** 。泊松求和成立需要$f(x)$ 满足一定条件：

绝对可积 ：$\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx<\infty$；
有界变差： $f(x)$ 在任意有限区间内有界变差；
衰减条件： $f(x)$ 在无穷远处衰减足够快，使得周期化函数$g(x)$ 收敛。

更一般地，公式在分布意义下对更广泛的函数成立，但上述条件对绝大多数的物理应用已足够。

3.与采样定理的关系

泊松求和公式与采样定理描述的是同一物理事实的两个侧面：离散采样导致频谱周期化。泊松求和给出精确的数学恒等式，采样定理给出无混叠可重构的充分条件。设连续信号 (f(t)) 的频谱为

\ $F(\\omega)=\\int_{-\\infty}\^{\\infty} f(t)e\^{-i\\omega t}\\,dt. \\tag{3.1} \\$

若 (F(\omega)) 带限，即存在截止频率 (\omega_c) 使得

\ $F(\\omega)=0 \\quad (\|\\omega\|\>\\omega_c), \\tag{3.2} \\$

且采样角频率

\ $\\omega_s=\\frac{2\\pi}{\\Delta t} \\tag{3.3} \\$

满足 Nyquist 条件

\ $\\omega_s \> 2\\omega_c, \\tag{3.4} \\$

则 (f(t)) 可由样本 (f(n\Delta t)) 完全重构：

\ $f(t)=\\sum_{n=-\\infty}\^{\\infty} f(n\\Delta t)\\, \\operatorname{sinc}\\!\\left(\\frac{t-n\\Delta t}{\\Delta t}\\right). \\tag{3.5} \\$

对采样信号

\ $f_s(t)=f(t)\\sum_{n=-\\infty}\^{\\infty}\\delta(t-n\\Delta t), \\tag{3.6} \\$

其傅里叶变换为

\ $F_s(\\omega)=\\sum_{n=-\\infty}\^{\\infty} f(n\\Delta t)e\^{-i\\omega n\\Delta t}. \\tag{3.7} \\$

由傅里叶变换的周期延拓性质（等价于泊松求和），有

\ $\\boxed{ F_s(\\omega) = \\frac{1}{\\Delta t} \\sum_{m=-\\infty}\^{\\infty} F(\\omega-m\\omega_s) } \\tag{3.8} \\$

这就是频谱的周期延拓。若 (F(\omega)) 带限于 (|\omega|<\omega_c)，且 (\omega_s>2\omega_c)，则各副本互不重叠。在基带 (|\omega|<\omega_s/2) 内，只有 (m=0) 项存在：

\ $F_s(\\omega)=\\frac{1}{\\Delta t}F(\\omega),\\qquad \|\\omega\|\<\\frac{\\omega_s}{2}. \\tag{3.9} \\$

因此通过低通滤波即可恢复 (F(\omega))，进而重构 (f(t))。这就是采样定理。泊松求和公式的一般形式为

\ $\\sum_{n=-\\infty}\^{\\infty} f(n\\Delta t) = \\frac{1}{\\Delta t} \\sum_{m=-\\infty}\^{\\infty} F(m\\omega_s), \\qquad \\omega_s=\\frac{2\\pi}{\\Delta t}. \\tag{3.10} \\$

它正是采样信号频谱在零频处的值：

\ $F_s(0)=\\sum_n f(n\\Delta t) = \\frac{1}{\\Delta t}\\sum_m F(-m\\omega_s) = \\frac{1}{\\Delta t}\\sum_m F(m\\omega_s). \\tag{3.11} \\$

因此，泊松求和公式是采样信号频谱周期延拓在 (\omega=0) 处的特例；采样定理是这一周期延拓在带限条件下无混叠的推论

当带限条件不满足时，周期延拓的各副本发生重叠，产生混叠：

\ $F_s(\\omega) = \\frac{1}{\\Delta t} \\sum_{m=-\\infty}\^{\\infty} F(\\omega-m\\omega_s). \\tag{3.12} \\$

在有限断层离散化中：

空间采样：子断层间距 (\Delta s)，方向性空间频率 (\phi=\omega\kappa/v_r)，空间 Nyquist 波数 (\phi_N=\pi/\Delta s)。

\ $M_d(\\phi)=\\sum_{m=-\\infty}\^{\\infty}M\\!\\left(\\phi+\\frac{2\\pi m}{\\Delta s}\\right). \\tag{3.13} \\$

时间采样：时间步长 (\Delta t)，Nyquist 频率 (\omega_N=\pi/\Delta t)。

\ $\\hat{\\dot S}_d(\\omega) = \\frac{1}{\\Delta t} \\sum_{n=-\\infty}\^{\\infty} \\hat{\\dot S}\\!\\left(\\omega+\\frac{2\\pi n}{\\Delta t}\\right). \\tag{3.14} \\$

工程上要求上升时间 (\tau\ge 5\Delta t)。

项目	泊松求和公式	采样定理
性质	精确恒等式	充分条件
内容	离散求和 = 连续谱周期叠加	带限且过采样时可重构
混叠	给出混叠的完整表达式	给出无混叠的 Nyquist 条件
应用	数值频散误差的定量分析	确定采样率、子断层间距、时间步长

核心结论：泊松求和公式是采样定理的数学基础。采样定理是泊松求和公式在带限信号条件下的特例。在有限断层离散化数值频散分析中，采样定理提供 Nyquist 判据，泊松求和则提供混叠误差的精确表达式，二者互补使用。

参考文献

Poisson, S. D. (1823). Mémoire sur la théorie du magnétisme. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France, 5, 247--338. （原始文献）
Bracewell, R. N. (2000). The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.). McGraw-Hill. Chapter 5: The Poisson Summation Formula. （经典教材，详细推导与物理应用）
Papoulis, A. (1977). Signal Analysis. McGraw-Hill. Chapter 3: Sampling and Poisson Summation. （信号处理视角）
Mallat, S. (2009). A Wavelet Tour of Signal Processing (3rd ed.). Academic Press. Chapter 3: Discrete Revolution. （小波与采样理论）
Stein, E. M., & Shakarchi, R. (2003). Fourier Analysis: An Introduction. Princeton University Press. Chapter 5: The Poisson Summation Formula. （严格数学处理）
Aki, K., & Richards, P. G. (2002). Quantitative Seismology (2nd ed.). University Science Books. Section 11.4: Discrete wavenumber integration. （地震学中的应用）
Bouchon, M. (1981). A simple method to calculate Green's functions for elastic layered media. Bulletin of the Seismological Society of America, 71(4), 959--971. （离散波数积分法，泊松求和在地震模拟中的典型应用）