1. 问题描述
考虑标准的多重背包问题。有 \(n\) 种物品，第 \(i\) 种物品有 \(c_i\) 个，每个物品体积 \(t_i\)，价值 \(w_i\)，背包容量为 \(m\)。其中 \(n,c_i,t_i,w_i,m\) 均为正整数。
一个解记为长 \(n\) 的非负整数序列 \(s=\{s_1,s_2,\dots,s_n\}\)，其中 \(s_i\) 表示取了 \(s_i\) 个第 \(i\) 种物品，满足 \(0\le s_i\le c_i\) 且 \(\sum_is_it_i\le m\)。
定义解 \(s\) 的总体积和总价值分别为
\T(s)=\\sum_i s_i t_i \\qquad W(s)=\\sum_i s_i w_i \\
记第 \(i\) 种物品的性价比为 \(r_i=w_i/t_i\)。
记 \(t_{max}=\max_i t_i\)。
设所有最优解组成的集合为 \(O=\{s|s~\text{是一个最优解}\}\)。
现在按性价比 \(r_i\) 从高到低排序，尽可能多地装入物品，得到贪心解 \(g\)。
2. 贪心近似定理
我们要证明如下结论：
\\\boxed{ \\exists x\\in O, \\forall i,\\ \|g_i-x_i\|\\le t_{\\max} } \\
也就是说，一定存在一个最优解，它每一种物品取的数量都不会与贪心解相差超过 \(t_{max}\)。
3. 证明
3.1 准备
如果所有物品都可以全部装入背包，贪心解就是唯一最优解，定理显然成立。
因此下面统一假设 \(\sum_{i=1}^n c_i t_i>m\)，于是任何可行解都不会取完所有物品。这个性质将在后面使用。
记
\H(s)=\\sum_i\|g_i-s_i\|. \\
固定 \(x\) 为所有最优解中 \(H\) 最小的。我们将证明 \(x\) 满足 \(\forall i,|g_i-x_i|\le t_{max}\)。
3.2 贪心解的结构
不妨重新编号，使得 \(r_1\ge r_2\ge\cdots\ge r_n\)。按照这个顺序贪心。
由于物品无法全部装下，由贪心过程可知存在唯一的 \(k\)，使得
\\\begin{aligned} \&\\forall i\
即：
- 性价比高于第 \(k\) 中物品的全取完
- 第 \(k\) 种物品取了一部分
- 第 \(k\) 种之后的物品不取
3.3 引理一
\(\forall s\in O\)，有
\m-T(s)\
证明：反设 \(\exists s\in O\) 满足 \(m-T(s)\ge t_{max}\)，即剩余容量至少还能装一个物品。由于物品不能全部取完，加入一个没取的物品能得到严格更优的解，矛盾。
3.4 引理二
\(\forall s\in O\)，有
\-t_{max}\
证明：显然 \(g\) 满足 \(m-T(g)<t_{max}\)。由引理一得 \(m-T(s)<t_{max}\)。结合两式即可证明。
3.5 反证法证明
反设存在 \(a\)，使得 \(|g_a-x_a|>t_{\max}\)。分类讨论拆绝对值。
情况一：\(\exists a,g_a-x_a>t_{max}\)
定义
\\\begin{aligned} \& \\Delta_{-} = \\sum_{x_i\
有
\T(x)-T(g)=\\Delta_{-}+\\Delta_{+} \\
由引理二得
\\\begin{aligned} -t_{max}\&\
即 \(x\) 相较于 \(g\) 至少多取了 \(t_a\) 个物品。根据贪心结构，所有满足 \(x_i>g_i\) 的物品都排在 \(a\) 的后面，因此它们的性价比都满足 \(r_i\le r_a\)。
于是，在这些多取的物品中，由抽屉原理，可以选出一个非空子集 \(S\)，使得
\\\sum_{i\\in S}t_i\\equiv0\\pmod{t_a}. \\
（不妨考虑前缀和）
设
\\\sum_{i\\in S}t_i=q t_a. \\
由于 \(x_a<g_a\)，我们可以拿 \(S\) 中的物品换 \(q\) 个物品 \(a\)，从而
- \(W(x)\) 单调不减
- \(T(x)\) 不变
- \(H(x)\) 单调减小
这与 \(x\) 是所有最优解中 \(H\) 最小者矛盾。
情况二：\(\exists a,x_a-g_a>t_{max}\)
这与情况一完全对称。
同理
\\\begin{aligned} \& \\Delta_{-}=\\sum_{x_i\
由引理二得
\\\begin{aligned} T(x)-T(g) \&\< t_{max} \\\\ \\Delta_{-}+\\Delta_{+} \&\< t_{max} \\\\ \\sum_{x_i\
即至少少选 \(t_a\) 个物品，少选的物品必排在 \(a\) 前面。后面的论证同理。
证毕。
4. 应用
在上面的多重背包问题中，我们令数据范围 \(n,t_i\le 100,m,c_i,w_i\le 10^9\)。
首先不难求出 \(g\)。由贪心近似定理，对于每一种物品 \(i\)，可以限制最优解 \(x_i\) 的范围：
\x_i\\in \\left\[ \\max(0,g_i-t_{\\max}), \\min(g_i+t_{\\max},c_i) \\right. \]
因此每一种物品剩余的可变数量只有 \(\Theta(t_{\max})\) 个。
由于 \(t_{\max}\le 100\)，只需要在这个小范围内做多重背包 DP 即可。