SCC 的动态维护

省流：离线分治求出每条边的闭合时刻，对时间轴扫描线，将 SCC 等效为无向图连通块。

QOJ2214 Link Cut Digraph

维护一张 $n$ 个点初始无边的有向图，进行 $m$ 次加边，每次操作后求出强连通点对数。

$n \le 10^5$，$m \le 2.5 \times 10^5$，3 秒，512 MB。

设 $T(e)$ 为边 $e$ 出现时刻，$f(e)$ 为边 $e=(u,v)$ 端点 $u \leftrightsquigarrow v$ 强连通的最早时刻。

对时间轴升序扫描，若 $f(e) \ge T(e)$ 则在 $f(e)$ 时刻加入双向边 $u \leftrightarrow v$。原图 SCC 等效于当前图的连通块，并查集维护 $\sum \binom{\text{siz}_i}{2}$ 即可。

问题转化为求每条边 $e$ 的 $f$ 值。将操作离线后时间轴分治，设分治区间 $ $l,r$ $，分治中心为 $m$。

对分治区间上的边 $G_1=(V,E_{ $l,r$ })$ 缩 SCC，则 $u \leftrightsquigarrow v$ 在 $G_1$ 中强连通当且仅当 $f(e)\le m$。取 $e \in E$ 分讨：

若 $f(e) \le m$ 且 $T(e) >m$，边 $e$ 不满足 $f(e) \ge T(e)$ 故直接删去。
若 $f(e) \le m$ 且 $T(e) \le m$，边 $e$ 在左侧 $ $l,m$ $ 正常，在右侧 $(m,r]$ 等效为 $u \leftrightsquigarrow v$ 分量的单点。
若 $f(e) > m$ 且 $T(e) >m$，边 $e$ 只在右侧 $(m,r]$ 可用。
若 $f(e)>m$ 且 $T(e) \le m$，边 $e$ 对左侧不改变强连通性，故只对右侧 $(m,r]$ 有效。

每条边 $e$ 只会划分到一侧，从而 $\log$ 层分治树上 $\sum |E| \le O(m\log m)$。

注意精细实现，只遍历 $E_{ $l,r$ }$ 端点，用 Tarjan 求 SCC 可以做到 $O(|E|)$ 复杂度。下传右侧边时只关心 SCC 的闭合时刻，故将端点改为 SCC 标号。

总复杂度 $O(m \log m)$。代码。

P5163 WD与地图

维护一张 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，点有点权 $a_i$，支持 $q$ 次操作：

给定 $u,v$，删去 $u \to v$ 的边。

给定 $u,\delta$，令 $a_u \gets a_u+\delta$。

给定 $u,k$，求 $u$ 所在 SCC 内部前 $k$ 大点权和。

$n \le 10^5$，$m,q \le 2 \times 10^5$，3 秒，500 MB。

时光倒流变为加边。

离线分治求出闭合时刻，对时间轴扫描线，将 SCC 转化为无向图连通块。

使用并查集维护连通块，用权值线段树 / 平衡树维护连通块内前 $k$ 大点权和，支持合并即可。

复杂度 $O(q \log q+n \log^2 n)$。

CF1989F Simultaneous Coloring

现有一个 $n \times m$ 的网格，你可以将一列涂黑，或者将一行涂白。

每轮可以同时进行 $k$ 次操作，代价为 $ $k\>1$ k^2$。对于同时受到两类操作影响的格子，颜色可以自由选定。

进行 $q$ 次操作，给定 $(x,y,c)$，增加一条限制，格子 $(x,y)$ 必须涂成颜色 $c$。每次操作后，输出满足所有要求的最小代价。

$n,m,q \le 2\times 10^5$，6 秒，500 MB。

显然行列至多操作一次。设第 $i$ 行的操作时刻为 $x_i$，第 $j$ 行的操作时刻为 $y_j$，钦定 $(i,j)$ 为白等价于 $x_i \le y_j$，为黑等价于 $x_i \ge y_j$。

考虑用 $n+m$ 个虚点代表行列，边的方向代表偏序关系。若 $(i,j)$ 为白则连边 $i \to j+n$，为黑则连边 $j+n \to i$。

分析可得，最优策略一定是对每个 SCC 整体操作，再按缩点后拓扑序依次操作。答案即为所有 SCC 点数平方和。

离线时间轴分治求出每条边的闭合时刻 $f(e)$，对时间轴扫描线，SCC 转化为无向图连通块，并查集用脚维护。

视 $n,m,q$ 同阶复杂度 $O(n \log n)$。代码。