序
怎么十月了？
感觉所有题都写进去没啥意思，就记一点有意思的题。
Problems
P5355 Ynoi Easy Round 2017 由乃的玉米田 *Purple /
详见 Data Structures。
P5607 Ynoi2013 无力回天 NOI2017 *Purple $
详见 Data Structures。
P3580 POI 2014 ZAL-Freight
模拟赛 T2。
首先有结论，一段车子肯定是一起过去一起回来，证明的话就是过去的火车回来肯定会阻挡一部分车，这至少 \(1\) 分钟，但是一起过去不会被阻挡，最多因为发车被拖 \(1\) 分钟，所以这是对的。
先对所有的 \(t_i\) 处理一下，即依次对 \(2 \le i \le n\) 执行 \(t_i\gets \max(t_{i-1}+1,t_i)\)。
这样可以得到一个 \(O(n^2)\) 的 dp，记 \(f_i\) 表示前 \(i\) 辆车的最小时间，考虑一段区间 \(j,i\)，即对所有 \(\max(t_i,f_j+i-j-1)+2s+i-j-1\) 取 \(\min\)，考虑这个 dp 有何性质。
我们有 \(f_{i-1}+2\le f_i\)，感性理解就是一辆车过去回来至少两分钟，然后维护最大的 \(k\) 使得 \(f_k+i-k-1\le t_i\)，\(0,k\) 的部分显然取 \(k\) 决策，因为此时 \(i-k+1\) 最小。\((k,i)\) 的部分注意到等价于求 \(f_j-2j\) 的最小值，由于 \(f_{i-1}+2 \le f_i\)，所以肯定取 \(k+1\) 进行决策，时间复杂度 \(O(n)\)。
P3426 POI 2005 SZA-Template
波兰人还在发力。
首先有一个比较明显的结论，印章 \(t\) 一定是串 \(s\) 的一个 border，因为你要覆盖前缀也要覆盖后缀。先做一遍 kmp 求出 \(s1 \\sim i\) 的最长 border 长度 \(p_i\)，考虑 dp 求出 \(s1 \\sim i\) 的答案。
首先 \(f_i\) 可以为 \(i\)，整个串显然是合法的。我们又有长度为 \(f_i\) 的串可以覆盖 \(s1 \\sim p_i\)，因为你肯定要覆盖掉 \(s1 \\sim p_i\)。
如果两个不同长度的印章 \(a<b\) 都能印出同一个串，那么较短的 \(a\) 能够印出较长的 \(b\)，于是我们得到 \(f_i\) 只能从 \(f_{p_i}\) 转移过来，但是也有一定的限制，我们显然要找到一个最大的 \(q\) 使得 \(f_q=p_i\)，并且为了全部覆盖，要求 \(q+p_i \ge i\)，答案就是 \(f_n\)。
P1852 国家集训队 跳跳棋
好题。
考虑状态 \((x,y,z)\) 其中 \(x<y<z\) 下一步能变成什么，一种是向外面可以变成 \((2x-y,x,z)\) 和 \((x,z,2z-y)\)，还有一种是向内。
但是一次只能跳过一个，记 \(d_1=y-x\)，\(d_2=z-y\)，若：
- \(d_1<d_2\)，可以变成 \((y,2y-x,z)\)。
- \(d_1>d_2\)，可以变成 \((x,2y-z,y)\)。
- \(d_1=d_2\)，无法进行。
将所有互相可达状态连边，发现这是一个二叉树的形式，一棵树的根就是 \(d_1=d_2\) 的点，父亲就是向内跳的状态。此时相当于要求树上两点距离，LCA 的话可以倍增处理，深度可以用类似辗转相除的方式计算，代码懒得写。
P4786 BalkanOI 2018 Election
完蛋了，啥都不会做。
三倍经验 P8304，P12547。
首先 \(\texttt{T} \to -1\)，\(\texttt{C}\to 1\)，做一遍前缀和得 \(s\)，考虑如何 \(O(n)\) 求出这个答案。从前往后扫一遍，出现 \(<0\) 就把这个 \(-1\) 扔了，再倒着做一遍，贪心得到最优解。
考虑快速求这个删除次数，显然第一次删除次数一定是 \(\max\{ -p_i\}\)，但是正着会对倒着做的东西产生影响，我们有 \(s_i=p_n-p_{i-1}+\max\{ -p_i\}-\max\limits_{j < i}\{ -p_i\}\)，加起来拆一下就是 \(\min \limits_{1 \le i<j \le n} \{s_i+p_j\}\)，相当于是不交前后缀最小值，相当于求最大值，线段树维护即可。
P9990 Ynoi Easy Round 2023 TEST_90
详见 Data Structures。
CF1521D Nastia Plays with a Tree
考虑 dp，记 \(f_{u,0/1}\) 表示点 \(u\) 的父边是否保留下，子树内最多保留多少边，转移直接根据存在边数 \(\le 2\) 的条件去转移，构造方案有点史，dp 的时候记录一下即可。
CF1485F Copy or Prefix Sum
很有意思。
把条件转化到 \(a_i\) 上，有 \(a_i\gets b_i\) 或 \(a_i\gets b_i-\sum \limits_{j<i} a_j\)，所以当且仅当 \(\sum \limits_{j<i} a_j=0\) 会重复计算。
考虑 dp 数这个东西，记 \(f_i\) 表示前 \(i\) 个数的答案，辅助计算 \(g_i\) 表示前 \(i\) 个数和为 \(0\) 的方案数，有 \(f_i=2f_{i-1}-g_{i-1}\)，考虑如何计算 \(g_i\)。
不难想到枚举上一个将 \(a_i\) 表示为第二种方式的 \(k\)，此时 \(k+1,i\) 都用的第一种，则前 \(k\) 个和为 \(b_k\)，剩下的分别是 \(b_{k+1},b_{k+2},\ldots,b_i\)，此时加起来就是 \(b\) 的一个后缀和，前缀和表示成 \(s_i=s_{k-1}\) 时合法，显然这种情况的方案数为 \(f_{k-1}\)。
对于两个同时合法的位置 \(p,q\)，考虑两者之间是否存在影响，此时我们知道 \(1 \sim p\) 的和为 \(0\)，那么 \(p+1,q\) 之间怎么填都是相同的，所以只需要算最近的那个符合的就行，用 map 维护做到 \(O(n\log n)\)。
P17024 ROI 2026 Day2 火星背包
怎么和泰莫利亚的调查是同一轮？但是不会。
首先二进制贪心比较显然。一开始想着维护一个 Trie，但是根本做不动。
考虑分治，显然答案具有单调性，也就是说我们确定一个区间的前几位一致的化，剩下的形式一定是 \(1,1,\ldots,1,0,0,\ldots,0\)，记当前考虑第 \(p\) 位，区间是 \(l,r\)，状态是 \(s\)，为了方便我们对于 \(p\) 位以下的全部填 \(1\)。
考虑第 \(p\) 位不是 \(0\)，令 \(f_i(S)=\sum \limits_{j \le i \land w_j \subseteq S} v_j\)，我们希望找到一个最小的 \(j\) 使得 \(f_j(S) \ge C\)。
\(f\) 可以快速从 \(i\) 推出 \(i+1\)，于是我们预处理 \(f_{l-1}(S)\)，再维护 \(g_{p,T}\) 表示 \(p\) 位以上的且 \(0 \sim p\) 位为 \(T\) 的 \(v_i\) 之和，这个可以每次递归分治的时候提前计算出来，于是 \(f_{l-1}(S)=\sum g_{p,T}\)，\(p=-1\) 的时候把 \(l \sim r\) 赋成当前状态即可，时间复杂度 \(O(nk+k2^k)\)。
Universal Cup 10.9
全队 \(7\) 题。
打星是赛后补的。
B. Valid Assignment
未能做出签到，我是小猪。/bx ljd。
首先有奇环无解，于是黑白染色，显然 \(0\) 的位置颜色相同，且 \(0\) 的位置确定其他值也都确定，每种颜色有 \(2^c-1\) 种，相加即可。
C. Reconstruction
罚了 \(2\) 发，成为小猪。
记原运算是 \(x \oplus y\)，转化运算发现模 \(3\) 意义下 \(x \oplus y=-(x+y)\)，组合数计算一下即可，使用卢卡斯定理。
D. Penalties on a Segment of Cities
线段树优化 dp 经典题。
记 \(f_i\) 表示考虑 \(1 \sim i\) 和所有 \(r \le i\) 的区间的最小答案，枚举上一个 \(0/1\) 的位置 \(j\)，有 \(f_i=\min \{f_{j-1}+\text{cost}(j,i,0/1) \}\)。\(\text{cost}(l,r,0/1)\) 表示区间 \(l,r\) 全部填 \(0/1\) 导致所有 \(r \le i\) 的罚款总和，这个可以将每个限制放在右端点然后线段树维护，时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
E. Orientation of a Graph
妙妙构造，/bx tw。
J. Minimum Spanning Forest *
详见 Data Structures。
K. Three Permutations
难绷之题。
先计算出不交换 \(c\) 时的 \(d\)，发现交换 \(c_i,c_j\) 等价于交换 \(d_i,d_j\)，于是变成给定排列 \(A,B\)，求最小交换次数使得 \(\sum \limits_{i=1}^n A_i=B_i=k\)，对 \(k=0,1,\ldots,n\) 求解。
\(k=n-1\) 显然无解，下面不讨论。
连置换环，\(k\) 显然为环大小为 \(1\) 的个数，记原来有 \(g\) 个位置相等。
\(k\le g\) 是容易的，每次把两个大小为 \(1\) 的合并成大小为 \(2\) 的，一次少 \(2\)，最后一个如果是奇数就单独连，答案是 \(\lceil \frac{g-k}{2} \rceil\)。
\(k>g\) 我们考虑交换在置换环的表现形式，我们发现大小 \(x+y\) 的环操作一次可以分裂成大小为 \(x\) 和 \(y\) 的两个环，也就是说对于一个大小为 \(r\) 的环，前 \(r-2\) 次可以分裂出一个大小为 \(1\) 的环，最后一次可以直接分裂出两个。按照环大小排序贪心的取。
但是存在一个 Corner Case，就是如果环大小全是 \(2\) 且增量是奇数，那么我们只能额外使用两次操作分裂再合并出来一个环，然后就做完了。
L. Graph Built by XOR
更加难绷之题，/bx ljd。
结论：路径长度最多是 \(4\) 否则不优，证明按位贪，使用 Trie 维护即可。
M. Board Game
二次剩余博弈题，/bx ljd。
AT_agc002_f Leftmost Ball
简单数数。
题目等价于求出 \(n\) 个白球颜色为 \(1\sim n\) 的每种各 \(k-1\) 个的有色球，要求每一个前缀白球数量大于颜色数量。
显然 dp 做这个事情，令 \(f_{i,j}\) 表示考虑 \(i\) 个白球和 \(j\) 个颜色的方案数，每次找到从左往右第一个空位填上。
- 填入白球：\(f_{i,j}\gets f_{i-1,j}\)。
- 填入有色球：此时有 \(nk-i-(j-1)(k-1)-1\) 个空位，要放 \(k-2\) 个，组合数计算。
答案就是 \(n!f_{n,n}\)，时间复杂度 \(O(n^2)\)。
P12563 UTS 2024 Remove Node
首先我们有贪心策略，每次找出全局权值最大的点 \(u\)，然后找出权值最大得相邻点 \(v\)，然后产生贡献 \(a_u-a_v\)，因为点权值一定不变小，所以越靠后合并贡献越大，这是不优的。
将贡献 \(a_u-a_v\) 看成以下形式，我们将 \(a_u\) 的权值一步步变成 \(a_u-1,a_u-2,\ldots,a_v\)，每次的代价为 \(1\)。
我们按照权值一步步往下做，记当前为 \(k\)，那么所有权值 \(\ge k\) 的为 A 类，剩下的是 B 类，显然同类合并是不会产生任何贡献的，异类合并有 \(1\) 的贡献。
根据贪心策略，我们会把所有 A 类合并成一个连通块再去和 B 类的合并，所以贡献是连通块个数。记 \(m\) 是点权最小值，显然如果全是 A 类没贡献。
对于任意一个点 \(u\)，在第 \(m+1,m+2,\ldots,a_u\) 层中各贡献一次，对于任意一条边的权值较小的权值 \(p\)，在 \(m+1,m+2,\ldots,p\) 层中被抵消，全部相加得 \(\sum (a_u-m)-\sum \limits_{(u,v) \in G} \min(a_u,a_v)-m=\sum a_u-\sum \limits_{(u,v) \in G} \min(a_u,a_v)-m\)，剩下的数据结构优化即可。
AT_agc006_c Rabbit Exercise
考虑 \(f_i\) 表示第 \(i\) 个点的期望位置，最暴力的有 \(f_i=f_{i-1}+f_{i+1}-f_i\)。
考虑每个三元组 \((x,y,z)\)，每次变换写成相邻做差的形式就是 \((x,y-x,z-y)\to (x,z-y,y-x)\)，相当于交换 \(f_i-f_{i-1}\)，做置换上的快速幂即可。
AT_agc018_c Coins
先钦定全选 A，然后 A 改成 B 有 \(d_i=b_i-a_i\) 的收益，A 改成 C 有 \(e_i=c_i-a_i\) 的收益。
考虑 \(i\) 选 \(e\) 且 \(j\) 选 \(d\) 的情况下，交换一下会更优的条件，有 \(e_i+d_j < d_i+e_j\)，得 \(e_i-d_i<e_j-d_j\)，于是按照 \(e-d\) 单调不降排序，此时最优策略一定是在前 \(k\) 个取一定的 B，后 \(n-k\) 个取一定的 C 组成，优先队列维护即可。
P5397 Ynoi2018 天降之物
详见 Data Structures。
P5064 Ynoi Easy Round 2014 等这场战争结束之后
详见 Data Structures。
CF1178F2 Long Colorful Strip
考虑 F1 的做法，\(n=500\) 提示我们区间 dp，记满足区间 \(l,r\) 的方案数。
我们找出这个最小值位置 \(x\)，并枚举覆盖这个最小值的区间 \(L,R\)，因为覆盖数的时候要求区间内颜色数一致，所以此时的方案数为 \(f_{l,L-1}f_{L,x-1}f_{x+1,R}f_{R+1,r}\)，记 \(i>j\) 的所有 \(f_{i,j}=1\)，预处理做到 \(O(n^3)\)。
F2 此时 \(m\) 是 \(10^6\) 级别，但是每次覆盖只会多两个颜色段，先把相同颜色的缩在一起得真正的 \(a\)，\(m>2n\) 方案数就是 \(0\)。若颜色 \(j\) 内出现颜色 \(i(i<j)\) 也无解。
沿用 F1 的做法，但是区间最小值可能有多个，所以分开乘起来，同样预处理做到 \(O(n^3+m)\)。
CF1909F2 Small Permutation Problem
不会 *2200，这训了个滚木。
考虑 F1，对 \(a\) 进行差分得 \(b\)，\(b_i\) 的实际意义是 \(\max(j,p_j)=i\) 的不同 \(j\) 个数，显然若 \(b_i \notin \{0,1,2\}\) 无解。
然后对 \(b_i\) 分类讨论一下，维护 \(c\) 表示前面没选的数即可。
F2 的话对于每一个 \(a_i\ne -1\) 的位置找出上一个 \(a_j\ne -1\)，对 \(j+1,i\) 整段处理。将 \((i,p_i)\) 看成一个点放到二维平面上，此时相当于要解决在一个 \(x \times x\) 去掉左下角 \(y \times y\) 的部分后，放 \(t\) 个互不攻击的车的方案数，容斥解决做到 \(O(n)\)。
CF1562E Rescue Niwen!
看错题了。/kk
首先我们知道 \(si \\sim j < si \\sim j+1\)，考虑 \(f_i\) 表示选取以 \(i\) 开头的一部分子串，考虑什么情况下可以从 \(i\) 转移到 \(j\)。
我们记 \(g_{i,j}\) 表示最小的 \(k\) 使得 \(s_{i+k}\ne s_{j+k}\)，那么要求 \(j+g_{i,j} \le n\) 且 \(s_{i+g_{i,j}}<s_{j+g_{i,j}}\)，此时 \(j\) 为开头的，\(sj \\sim p(j+g_{i,j} \le p \le n)\) 都可以取，于是有 \(f_i=\max(n-i+1,\max \limits_{j<i} \{f_j+n-i-g_{i,j}+1\})\)，\(g_{i,j}\) 等价于 \(si\\sim n\) 和 \(sj\\sim n\) 的 LCP，预处理出来即可。
P8321 『JROI-4』沈阳大街 2
经典题。
将 \(A,B\) 混在一起从小到大排序，相当于我们要把 \(n\) 个 \(A_i\) 和 \(n\) 个 \(B_i\) 两两匹配，后匹配的那个数就可以加入贡献。
记 \(f_{i,s}\) 表示前 \(i\) 个数产生了 \(s\) 个对，此时未匹配的 \(A_i\) 个数和未匹配的 \(B_i\) 个数可以根据 \(s\) 求出，转移就分匹配和不匹配两种，这个是容易的，时间复杂度 \(O(n^2)\)。
P14465 霞む夏の灯（ending）
吃到史了。
首先 \(p_i \ne -1\) 的位置可以直接拿出去。把剩下的从大到小排序，沿用 P8321 的做法。
注意到 \(m \le 6\)，所以可以记录 \([a_i,a_i+m)\) 的出现情况，由于是个排列可以直接状压，然后枚举是 \(<m\) 的具体某个位置匹配还是和 \(\ge m\) 的匹配即可，时间复杂度 \(O(n^2m 4^m)\)。
CF1295F Good Contest
首先有 \(f_{i,j}\) 表示考虑前 \(i\) 个数 \(a_i=j\) 的方案数的暴力 dp，转移就是后缀和的形式，将所有区间写成 \([l_i,r_i)\) 的形式离散化掉即可，前缀和优化做到 \(O(n^3)\)。
P9598 JOI Open 2018 山体滑坡 / Collapse
详见 Data Structures。
P7447 Ynoi2007 rgxsxrs
详见 Data Structures。
P9069 Ynoi Easy Round 2022 堕天作战 TEST_98
详见 Data Structures。