怎么哪儿都有欧拉的事儿？！
想必各位小学时可能做过一种叫一笔画的题，就是任选一个起点，是否能够仅用一笔，走完所有路（有时可能还会加上要回到起点的要求）。
这就和这个笔记的内容有点关系了。
是什么
欧拉路就是指从图中某个点出发，遍历整个图，图中每条边通过且只通过一次 的路径。
比如像这样：
欧拉回路就是起点和重点是同一个点 的欧拉路径。
就是这样：
（五角星）
最后，欧拉图：具有欧拉回路 的图。注意是回路。
一些条件
根据刚刚的图，你会发现一些东西：
无向图
无向图存在欧拉回路 的充要条件 （高数吗有意思，高数：高中数学）：
当且仅当该图所有顶点度数都为偶数，且该图是连通图。
无向图存在欧拉路 的条件：
只有两个奇点，一个是起点，一个是终点。
有向图
好像没图啊。
有向图存在欧拉回路 的充要条件：
一个有向图存在欧拉回路，所有顶点的入度等于出度且该图是连通图。
有向图存在欧拉路 的条件：
恰好存在1个点出度比入度多1，1 个点入度比出度多1，其余节点出度等于入度。
怎么实现
1.欧拉路径
我们以有向图为例（单纯是应为板子题是有向图的）
首先，要存图吧，我喜欢用 vector 来存，同时记录一条边的起点、终点、和编号。
cpp
vector<pair<int,int> >g[N];
//第一个存中点，第二个存编号输入时记录入读和出度（无向图只需要记录度数）：
cpp
for(int i=1,u,v;i<=m;i++){
cin>>u>>v;
g[u].push_back({v,i});
in[v]++;
out[u]++;//无向边只需要d[u]++,d[v]++
}然后判断是否符合欧拉路径的标准，那我们只需要在入度和出度不同的时候判断。
- 先看差值是否为1；
- 然后数度数特殊的点的数量：
- 有向图是将\(out_i-in_i=1\)和\(in_i-out_i=1\)分开来计数的。
- 无向图只需要统计\(d_i%2==1\)的点的数量就行了。
- 最后判断是否符合有向图/无向图的要求，不符合直接无解。
cpp
bool f=1;
for(int i=1;i<=n;i++){//n表示点数
if(in[i]==out[i]) continue;
if(out[i]==in[i]+1) s=i,cst++;
else if(out[i]==in[i]-1) ced++;
else{
f=0;
break;
}
}
if(!f||!(cst==0&&ced==0||cst==1&&ced==1)) return cout<<"No",0;
//无向边时，只需要if(d[u]&1) cnt++;
//然后if(cnt>2) return cout<<"No",0;我还加了一个如果该图是欧拉图（是欧拉回路）的找起点的：
cpp
if(cst==0&&ced==0)
for(int i=1;i<=n;i++)
if(g[i].size()){
s=i;
break;
}接着dfs找路径，这里用了一个当前弧优化：
什么是当前弧优化
当前弧优化相当于是给每个点记一个"进度指针" \(cur_u\)，下次访问从指针处继续，绝不重复扫描已处理的边。
要不然很轻易就超时了。
cpp
stack<int> st;
void dfs(int u){
for(int i=cur[u];i<g[u].size();i=cur[u]){
cur[u]=i+1;
if(flg[g[u][i].__]) continue;
flg[g[u][i].__]=1;
dfs(g[u][i]._);
}
st.push(u);
}
//_表示first，__表示second。
//详情见代码实现的宏定义最后，先判一下图是否连通，不连通的话 dfs 只会跑一部分，跑不全。
cpp
if(st.size()!=m+1) return cout<<"No",0;//m表示边数输出。
cpp
while(st.size()){
cout<<st.top()<<" ";
st.pop();
}代码实现
PID:P7771（这是板子题）
\\color{Cyan}Code
cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define _ first
#define __ second
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int n,m,cur[N],in[N],out[N],s=1,cst,ced;
bool flg[N],f=1;
vector<pair<int,int> > g[N];
stack<int> st;
bool cmp(pair<int,int> a,pair<int,int> b){return a._<b._;}
void dfs(int u){
for(int i=cur[u];i<g[u].size();i=cur[u]){
cur[u]=i+1;
if(flg[g[u][i].__]) continue;
flg[g[u][i].__]=1;
dfs(g[u][i]._);
}
st.push(u);
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n>>m;
for(int i=1,u,v;i<=m;i++){
cin>>u>>v;
g[u].push_back({v,i});
in[v]++;
out[u]++;
}
for(int i=1;i<=n;i++) sort(g[i].begin(),g[i].end(),cmp);
for(int i=1;i<=n;i++){
if(in[i]==out[i]) continue;
if(out[i]==in[i]+1) s=i,cst++;
else if(out[i]==in[i]-1) ced++;
else{
f=0;
break;
}
}
if(!f||!(cst==0&&ced==0||cst==1&&ced==1)) return cout<<"No",0;
if(cst==0&&ced==0) for(int i=1;i<=n;i++)
if(g[i].size()){
s=i;
break;
}
dfs(s);
if(st.size()!=m+1) return cout<<"No",0;
while(st.size()){
cout<<st.top()<<" ";
st.pop();
}
return 0;
}感觉不是很难