学习NOTE 12——矩阵

其实这个东西我一直想写，结果不知不觉间就拖了一个月了，必须得写了，再不写就忘了。

是什么

一句话：矩阵就是"按长方形排列的一堆数"。

矩阵时由 $m\times n$ 个数按 $m$ 行 $n$ 列排成的矩形阵列，记作 $A=(a_{ij})$，其中 $a_{ij}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。

本质：线性方程组的系数表、线性变换的表示、数据的矩形组织形式。

就像这样：

text 复制代码

      ┌             ┐
      │  1   2   3  │   ← 第1行
      │  4   5   6  │   ← 第2行
      └             ┘
         ↑   ↑   ↑
       第1列 第2列 第3列

这矩阵有两种最基础的运算方法：加法和乘法。

矩阵加法

先说简单的，这个就是两个矩阵的元素做加法。

怎么加呢？

举个例子：很简单------把相同位置的数字逐个相加 ，得到的新矩阵就是结果。

但是，两个相加的矩阵大小必须完全一样。

[1 2 3]

[4 5 6]

[7 8 9]

[10 11 12]
过程

第1行第1列：1 + 7 = 8
第1行第2列：2 + 8 = 10
第1行第3列：3 + 9 = 12
第2行第1列：4 + 10 = 14
第2行第2列：5 + 11 = 16
第2行第3列：6 + 12 = 18

结果 C=

[8 10 12]

[14 16 18]

矩阵乘法

这东西就讲究的多了，还要先看能不能乘。傲娇的乘法。

有个大前提：左边矩阵的列数 = 右边矩阵的行数。

若 $A$ 是 $n \times \color{red}{m}$ 的矩阵（$n$行$\color{red}{m}$列）
那么 $B$ 必须是 $\color{red}{m}$ $\times p$ 的矩阵（$\color{red}m$行$p$列）
结果矩阵 $C$ 的大小是 $n \times p$（$n$行$p$列）

如果 $A$ 的列数和 $B$ 的行数不相等，那它们俩就没法相乘（"无意义"）。

再看看怎么乘的：

具体操作：

拿出 $A$ 的第 $i$ 行所有数字；
拿出 $B$ 的第 $j$ 列所有数字；
将它们一一对应相乘 ，然后把所有乘积加起来 的到答案 C中的 $c_{i,j}$。

这个乘法对答案还是有影响的：对矩阵大小有影响。

这下知道为什么了吧，其实重点就是在看能不能乘上面。要是不能乘还硬乘，想不无意义都难！

举个栗子：

假设有矩阵 $A$（$2$行$3$列）和 $B$（$3$行$2$列）：

$A$ =

[1 2 3]

[4 5 6]
$B$ =

[7 8]

[9 10]

[11 12]

因为 $A$ 的列数（$3$）等于 $B$ 的行数（$3$），所以可以乘。结果 $C$ 是 $2$行$2$列。
计算过程

C 的第1行第1列 = $A$的第1行 (1,2,3) 乘以 $B$ 的第1列 (7,9,11)

$= 1×7 + 2×9 + 3×11 = 7 + 18 + 33 = 58$
C 的第1行第2列 = $A$的第1行 (1,2,3) 乘以 $B$ 的第2列 (8,10,12)

$= 1×8 + 2×10 + 3×12 = 8 + 20 + 36 = 64$
C 的第2行第1列 = $A$的第2行 (4,5,6) 乘以 $B$的第1列 (7,9,11)

$= 4×7 + 5×9 + 6×11 = 28 + 45 + 66 = 139$
C 的第2行第2列 = $A$的第2行 (4,5,6) 乘以 $B$的第2列 (8,10,12)

$= 4×8 + 5×10 + 6×12 = 32 + 50 + 72 = 154$

所以，结果 C =

[58 64]

[139 154]

注意

不满足交换律 ：绝大多数情况下，$A\times B \ne B\times A$（甚至 $B×A$ 可能根本乘不了）。
顺序很重要 ：公式里永远是 "左矩阵的行" 去乘 "右矩阵的列"，不能反过来。
数字对应要齐：行和列的元素个数必须相同，否则无法对应相乘。

代码

这里直接把矩阵加法、乘法和快速幂一起放出来。

其实矩阵是支持快速幂的，就是一个矩阵的几次方：$A^{k}$，就是$k$个$A$相乘。

PID:P3390

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
const int M=1e9+7;
using namespace std;
struct Matrix{
	int matrix[110][110],n,m;
	Matrix(int _n,int _m){
		n=_n,m=_m;
		memset(matrix,0,sizeof matrix);
		return ;
	}
	int* operator [](int i){return matrix[i];}
	void init(){
		memset(matrix,0,sizeof matrix);
		for(int i=1;i<=n;i++) matrix[i][i]=1;
		return ;
	}
	void print(){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=m;j++) cout<<matrix[i][j]<<" ";
			cout<<"\n";
		}
	}
};
Matrix operator +(Matrix a,Matrix b){//加
	for(int i=1;i<=a.n;i++)
	for(int j=1;j<=a.m;j++) a[i][j]+=b[i][j];
	return a;
}
Matrix operator *(Matrix &a,Matrix &b){//乘
	Matrix c(a.n,b.m);
	for(int i=1;i<=a.n;i++)
	for(int j=1;j<=b.m;j++)
	for(int k=1;k<=a.m;k++) (c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j]%M)%=M;
	return c;
}
Matrix operator %(Matrix a,int mod){//模
	for(int i=1;i<=a.n;i++)
	for(int j=1;j<=a.n;j++) a[i][j]%=mod;
	return a;
}
Matrix operator ^(Matrix a,int b){//快速幂
	Matrix c(a.n,a.n);
	c.init();
	while(b){
		if(b&1) c=c*a%M;
		a=a*a%M;
		b>>=1;
	}
	return c;
}
int n,b;
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>b;
	Matrix a(n,n);
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) cin>>a[i][j];
	a=a^b;
	a.print();
	return 0;
}

另外

有一些比较特殊的矩阵：

零矩阵 (O) :全 $0$ 矩阵，加法单位元，A+O=A。

栗子
text 复制代码
```
[0,0,0]
[0,0,0]
```
单位矩阵 I（或 E） :方阵，主对角线为 1、其余为 0，乘法单位元，A$\times$I=I$\times$A=A。（然后你会发现这个满足交换律）

栗子 $\\times 2$
text 复制代码
```
[1  0  0]
[0  1  0]
[0  0  1]
```
其他特殊矩阵 ：对角矩阵、对称矩阵（Aᵀ=A）、三角矩阵、行/列向量、转置矩阵$\dots$

有什么用

说这么多，其实在OI的题目中最大的用处就是 "批量转移加速器" 。

比如说一道dp的，通常是线性递推加速 ，那就可以用矩阵快速幂优化。

图论中，跑图也是一样的，用矩阵快速幂优化。