「BZOJ3306」树题解

题意

给你一棵有 \(n\) 个节点的有根点权树，编号 \(1\) 的节点是根节点，有 \(Q\) 次询问，支持下列三种操作

将某个点的权值进行修改
修改有根树的树根
查询某棵子树的最小值

对于 \(100\%\) 的数据，\(1\le n,Q\le 10^5\)，\(0\le f_i\le n\)，当且仅当 \(i=1 时 f_i=0\)，\(0\le v_i\le 10^4\)

思路

首先，考虑如果没有换根操作，那么直接用 ST表或线段树配合 dfs序维护区间最小值即可。

然后，考虑换根操作，我们考虑某些节点，换根之后，它的子树会不会发生变化。

例如：

情况一：

不难发现，新根替换旧根后，\(x\) 的子树并没有发生变化，所以按照原根进行计算。

情况二：

不难发现，在这种情况下，\(x\) 的子树根本没有发生变化！所以这 \(2\) 种位置的子树都不会发生改变。

情况三：

在这种情况下，\(x\) 的子树确实发生变化了，其实就是新根子树外的部分

综上所述

只有子树的根节点在原根到换之后的根之间的路径上（即子树的根与新根的 lca 为子树的根），才会有变化，减少的部分即为 \(x\) 与新根的路径上新根的儿子 \(y\)，新子树即为所有点减去 \(y\) 的子树。
反之，则按原根进行计算即可
（上述所有子树都是以 \(1\) 为根节点时的子树）

实现代码

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ls (rt<<1) 
#define rs (rt<<1|1)
const int N=1e5+5;
int n,m,a[N];
vector<int>e[N];
int times,xua[N],in[N],out[N],d[N],f[N][17],root=1;
inline void dfs(int u,int fa){
	in[u]=++times;
	xua[times]=a[u];
	d[u]=d[fa]+1;
	f[u][0]=fa;
	for(int i=1;(1<<i)<=d[u];i++){
		f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
	}
	for(auto v:e[u]){
		if (v==fa)continue;
		dfs(v,u);
	}
	out[u]=times;
} 
inline int lca(int x,int y){
	if (d[x]>d[y]){
		swap(x,y);
	}
	for(int i=16;i>=0;i--){
		if (d[x]<=d[y]-(1<<i)){
			y=f[y][i];
		}
	} 
	if (x==y){
		return x;
	}
	for(int i=16;i>=0;i--){
		if (f[x][i]==f[y][i]){
			continue;
		}else{
			x=f[x][i],y=f[y][i];
		}
	}
	return f[x][0];
}
//x是y的祖先，且x！=y 
//返回x到y路径上，x的那个儿子 
inline int get_son(int x,int y){
	for(int i=16;i>=0;i--){
		if (d[f[y][i]]>d[x]){
			y=f[y][i];
		}
	}
	return y;
}
struct tree{
	int l,r,minn;
}t[N<<2];
inline void pushup(int rt){
	t[rt].minn=min(t[ls].minn,t[rs].minn);
}
inline void build(int rt,int l,int r){
	t[rt].l=l,t[rt].r=r;
	if (l==r){
		t[rt].minn=xua[l];
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(ls,l,mid);
	build(rs,mid+1,r);
	pushup(rt);
}
inline void update(int rt,int pos,int val){
	if (t[rt].l==t[rt].r){
		t[rt].minn=val;
		return;
	}
	int mid=(t[rt].l+t[rt].r)>>1;
	if (pos<=mid)update(ls,pos,val);
	if (mid<pos)update(rs,pos,val);
	pushup(rt);
}
inline int query(int rt,int l,int r){
	if (l<=t[rt].l and t[rt].r<=r){
		return t[rt].minn;
	}
	int mid=(t[rt].l+t[rt].r)>>1;
	int minn=1e9;
	if (l<=mid)minn=min(minn,query(ls,l,r));
	if (mid<r)minn=min(minn,query(rs,l,r));
	return minn;
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int father;
		cin>>father>>a[i];
		if (father!=0){
			e[i].push_back(father);
			e[father].push_back(i);
		}
	}
	dfs(1,0);
	build(1,1,times);
	while(m--){
		char op;
		cin>>op;
		if (op=='V'){
			int pos,val;
			cin>>pos>>val;
			a[pos]=val;
			update(1,in[pos],val);
		}else if(op=='E'){
			int x;
			cin>>x;
			root=x;
		}else{
			int x;
			cin>>x;
			if (x==root){
				cout<<query(1,1,times)<<'\n';
			}else{
				int g=lca(x,root);
				if (x!=g){
					cout<<query(1,in[x],out[x])<<"\n";
				}else{
					int son=get_son(x,root);
					int ans=1e9;
					if (in[son]>1){
						ans=min(ans,query(1,1,in[son]-1));
					}
					if (out[son]<times){
						ans=min(ans,query(1,out[son]+1,times));
					}
					cout<<ans<<"\n";
				}
			}
		}
	}
	return 0;
}

「BZOJ3306」树 题解