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本章目标：读完本章，你将能够
- 用振幅、频率、相位描述一个正弦信号，把相位差换算成时间差，算出峰值、峰峰值和有效值；
- 用积化和差公式解释"两个频率相乘会产生和频与差频"，这是混频器和超外差接收机的数学基础；
- 熟练进行复数的四则运算，在直角坐标和极坐标之间互相转换；
- 理解并证明欧拉公式 ejθ=cosθ+jsinθ，把正弦信号看成复平面上旋转的相量；
- 用相量计算同频正弦的叠加，并用它解释多径衰落；
- 熟练使用 dB、dBm、dBμV、dBi、dBd 和 S 表读数，做出一份完整的链路预算；
- 用 NumPy 处理复数和数组，用 Matplotlib 画图。
前置知识：高中三角函数（和角公式）和对数。第一、三节用到导数和定积分的基本概念，第三节用到泰勒级数（只需知道"函数可以展开成幂级数"）。
无线电工程师每天都在和四样数学工具打交道：
- 正弦函数：载波、本振、音频，无线电里几乎所有信号都由正弦波构成；
- 复数：电容、电感的阻抗，正交（IQ）信号，软件无线电里的每一个采样点，都是复数；
- 相量：把"同频正弦的加减和求导"变成"复数的加减和乘法"，第 03 章分析交流电路全靠它；
- 分贝：从 100 W 的发射机到 0.2 μV 的接收灵敏度，功率相差 17 个数量级，没有分贝几乎没法讨论。
本章把这四样工具一次讲清楚。每一样都结合无线电的实际例子：负载上的电压、混频器、多径衰落、S 表读数、链路预算。最后用一节介绍 NumPy 和 Matplotlib，后面所有章节的代码都建立在它们之上。
一、正弦信号：无线电的"原子"
1. 三个参数
一个正弦信号可以写成
v(t)=Acos(2πft+φ)=Acos(ωt+φ)
它由三个参数完全确定：
| 符号 | 名称 | 单位 | 含义 |
|---|---|---|---|
| A | 振幅（峰值） | V、A、V/m 等 | 偏离零点的最大值 |
| f | 频率 | Hz | 每秒重复的次数； ω=2πf 是角频率，单位 rad/s |
| φ | 初相位 | 弧度或度 | t=0 时刻处在一个周期的哪个位置 |
本教程统一用余弦 cos 作为"标准"正弦信号，正弦函数可以用 sinx=cos(x−90°) 换过来。角度在公式里一律用弧度，在叙述和图表里为了直观常用度， 180°=π rad。
2. 相位差就是时间差
把 cos(ωt+φ) 改写成 cosω(t+φ/ω)，可以看出：初相位 φ 相当于把波形在时间上提前了
Δt=ωφ=360°φT
φ>0 称为超前 ， φ<0 称为滞后。
图 1：100 W 发射机接 50 Ω 假负载时，负载两端的电压（f = 7.1 MHz）。虚线超前 60°，相当于提前 T/6。
例如在 7.1 MHz，周期 T=140.8 ns，60° 的相位差对应 140.8/6=23.47 ns 的时间差。在射频电路里，"相位"和"时间延迟"是同一件事的两种说法：一段电缆、一个滤波器让信号延迟了多少纳秒，就等于让它的相位滞后了多少度。
3. 峰值、峰峰值和有效值
描述正弦电压的"大小"，常用三个量：
- 峰值 Vp：最大值，即振幅 A；
- 峰峰值 Vpp=2Vp：从最低点到最高点，示波器上最容易直接读出；
- 有效值 （均方根值，RMS） Vrms：产生相同平均功率的直流电压。
有效值的定义是"平方的平均值再开方"：
Vrms=T1∫0Tv2(t)dt
对正弦信号，利用 cos2x=21+cos2x：
T1∫0TVp2cos2(ωt)dt=TVp2∫0T21+cos2ωtdt=2Vp2
因为 cos2ωt 在一个周期内的积分为零。所以
Vrms=2 Vp≈0.707Vp
电阻 R 上的平均功率是 P=Vrms2/R。我们平时说的"220 V 市电""100 W 发射机"，指的都是有效值和平均功率。
例：100 W 发射机接 50 Ω 假负载。 附录代码算出：
Vrms=PR =100×50 =70.71 V,Vp=100.00 V,Vpp=200.00 V
代码还对一个周期的采样直接求了均方根，结果 70.7107 V，和公式一致。反过来，如果你用示波器（配合衰减器）测出假负载上的峰峰值，就能算出发射功率：
P=RVrms2=R(Vpp/22 )2=8RVpp2
4. 积化和差：两个频率相乘，产生和频与差频
由余弦的和角公式
cos(a+b)=cosacosb−sinasinb,cos(a−b)=cosacosb+sinasinb
两式相加再除以 2，得到积化和差公式：
cosa⋅cosb=21cos(a−b)+21cos(a+b)
令 a=2πf1t、 b=2πf2t，它告诉我们：两个不同频率的正弦信号相乘，结果是两个新的频率：差频 f1−f2 和和频 f1+f2 ，原来的 f1、 f2 反而不见了。
图 2：14.2 MHz 的信号乘以 5.2 MHz 的本振，结果正好是 9.0 MHz 和 19.4 MHz 两个余弦之和。
附录代码在 2 μs 内取了 20 万个采样点，两边的最大误差只有 2.8×10−14，也就是计算机的舍入误差。
这个公式是整个无线电接收技术的基石。接收机里有一个叫混频器 的电路，它把收到的信号和本机振荡器（本振）的信号相乘。比如要收 14.2 MHz 的短波电台，让本振工作在 5.2 MHz，相乘后得到 9.0 MHz 和 19.4 MHz；再用一个固定在 9.0 MHz 的滤波器取出差频，就把任意电台"搬"到了一个固定的中频 上。想收别的电台，只需改变本振频率。这就是阿姆斯特朗发明的超外差原理，第 15 章会详细讨论（包括这个方案带来的"镜像频率"问题，见练习 2）。
另一个常用的特例是 a=b：
cos2(ωt)=21+21cos(2ωt)
一个正弦信号经过"平方"这样的非线性运算，就会产生直流分量和二倍频（二次谐波）。检波器、倍频器的原理是它，发射机为什么会产生谐波干扰、为什么必须加滤波器，原因也是它。**线性电路不会产生新频率，非线性电路会。**这是射频电路里反复出现的主题。
5. 同频正弦相加，还是同频正弦
另一个经常遇到的问题是：两个同频率但振幅、相位不同的正弦信号相加，结果是什么？比如
10cos(ωt+30°)+5cos(ωt−60°)= ?
可以证明结果仍是同一频率的正弦，只是振幅和相位变了。用和角公式展开、合并、再凑回一个余弦，能算出来，但很繁琐。接收天线同时收到直射波和地面反射波时，遇到的就是这个问题。下面两节介绍的复数 和相量，能把它变成简单的向量加法。
二、复数
1. 定义
引入一个数 j，规定
j2=−1
形如 z=a+jb（ a、 b 为实数）的数称为复数 ， a=Rez 是实部， b=Imz 是虚部。数学和物理书里常用 i，电子工程里习惯用 j，因为 i 已经被电流占用了。Python 也用 j：3 + 4j 就是一个复数。
复数可以画在复平面 上：横轴是实部，纵轴是虚部， z=a+jb 对应点 (a, b)，或者从原点指向它的箭头。
2. 四则运算
按普通代数运算，遇到 j2 就换成 −1：
| 运算 | 公式 |
|---|---|
| 加减 | (a+jb)±(c+jd)=(a±c)+j(b±d) |
| 乘法 | (a+jb)(c+jd)=(ac−bd)+j(ad+bc) |
| 共轭 | z∗=a−jb， zz∗=a2+b2 |
| 除法 | c+jda+jb=c2+d2(a+jb)(c−jd)（分子分母同乘分母的共轭） |
以 z1=3+4j、 z2=1−2j 为例，附录代码给出：
| 运算 | 结果 |
|---|---|
| z1+z2 | 4+2j |
| z1−z2 | 2+6j |
| z1z2 | (3+8)+j(−6+4)=11−2j |
| z1/z2 | 1+4(3+4j)(1+2j)=5−5+10j=−1+2j |
| z1∗ | 3−4j |
加减法就是向量的加减（平行四边形法则），这一点后面画相量图时会用到。
3. 极坐标形式
复平面上的点也可以用长度 和角度描述：
∣z∣=a2+b2 ,θ=argz=atan2(b, a)
∣z∣ 称为模 ， θ 称为辐角 。反过来， a=∣z∣cosθ， b=∣z∣sinθ。工程上常把复数写成 ∣z∣∠θ，例如 3+4j=5∠53.13°。
注意 atan2 ：辐角不能简单地用 arctan(b/a) 计算，因为它分不清 (a, b) 和 (−a, −b)。例如 −1−j 在第三象限，辐角应为 −135°，而 arctan−1−1=45°。附录代码同时算了这两种方法，
atan2给出了正确的 −135°。NumPy 的np.angle内部用的就是 atan2。
图 3：左：复数的直角坐标与极坐标。右：复数乘法，模相乘、角相加；乘以 j 就是逆时针旋转 90°。
极坐标的好处在乘法上特别明显。附录代码算出 z1=5∠53.13°， z2=2.2361∠−63.43°，而
z1z2=11−2j=11.1803∠−10.30°
正好是 5×2.2361=11.1803， 53.13°+(−63.43°)=−10.30°。**复数相乘，模相乘，辐角相加。**为什么会这样，欧拉公式会给出答案。
一个特例： j=1∠90°，所以乘以 j 就是把向量逆时针旋转 90° ，长度不变。 jz1=j(3+4j)=−4+3j，见图 3 右。第 03 章会看到，电感上电压超前电流 90°，正是因为它的阻抗里有一个 j。
三、欧拉公式
1. 公式与证明
ejθ=cosθ+jsinθ
这就是欧拉公式。它把指数函数和三角函数联系在一起，是整个信号处理和射频工程最常用的公式。
证明用泰勒级数。我们知道
ex=n=0∑∞n!xn=1+x+2!x2+3!x3+4!x4+⋯
cosθ=1−2!θ2+4!θ4−⋯,sinθ=θ−3!θ3+5!θ5−⋯
把 x=jθ 代入 ex，利用 j2=−1、 j3=−j、 j4=1，周期为 4：
ejθ=1+jθ−2!θ2−j3!θ3+4!θ4+j5!θ5−⋯
把实部和虚部分开，实部恰好是 cosθ 的级数，虚部恰好是 sinθ 的级数。证毕。
附录代码对 θ=π/3 逐项累加这个级数：
| 累加项数 | 部分和 | 与 cos3π+jsin3π 的误差 |
|---|---|---|
| 2 | 1.000000+j1.047198 | 5.3×10−1 |
| 3 | 0.451689+j1.047198 | 1.9×10−1 |
| 4 | 0.451689+j0.855801 | 4.9×10−2 |
| 6 | 0.501796+j0.866295 | 1.8×10−3 |
| 9 | 0.500000+j0.866021 | 4.2×10−6 |
| 12 | 0.500000+j0.866025 | 3.6×10−9 |
12 项之后误差已经只有 10−9 量级，收敛到 0.5+j0.866025。取 θ=π，得到著名的 ejπ+1=0，代码算出的结果是 1.2×10−16j，同样只是舍入误差。
有了欧拉公式，极坐标就可以写成指数形式：
z=∣z∣∠θ=∣z∣ejθ
复数乘法"模相乘、角相加"也就一目了然： ∣z1∣ejθ1⋅∣z2∣ejθ2=∣z1∣∣z2∣ej(θ1+θ2)，指数相乘就是指数相加。
2. 旋转的相量
令 θ=ωt， ejωt 就是复平面单位圆上一个以角速度 ω 逆时针旋转 的点，每秒转 f 圈。它在实轴上的投影是 cosωt，在虚轴上的投影是 sinωt：
图 4：旋转的相量 ejωt。右上：投影到虚轴，得到正弦；左下：投影到实轴，得到余弦（时间轴向下）。
这给了我们看待正弦信号的新视角：一个正弦信号，就是一个旋转相量在实轴上的投影。
把欧拉公式和它的共轭 e−jθ=cosθ−jsinθ 相加、相减，得到
cosθ=2ejθ+e−jθ,sinθ=2jejθ−e−jθ
一个实数余弦等于两个反向旋转 的相量之和：一个逆时针转（频率 +f），一个顺时针转（频率 −f），虚部正好抵消。这就是频谱图上会出现"负频率"的原因，第 04 章讲傅里叶变换、第 19 章讲 IQ 信号时还会回来。
四、相量
1. 定义
对于一个频率已知的正弦信号，利用欧拉公式可以写成
Acos(ωt+φ)=Re{Aejφejωt}
括号里分成了两部分： ejωt 是旋转，所有同频率的信号都一样； Aejφ 是一个不随时间变化的复数 ，记录了这个信号独有的振幅和相位。后者就叫相量（phasor），通常用大写字母表示：
V=Aejφ=A∠φ
在一个只有单一频率的系统里（比如第 03 章的交流电路，或者只看载波的天线问题）， ejωt 是公共因子，可以先扔掉，只对相量运算，最后再乘回去取实部。
2. 同频正弦相加 = 相量相加
因为取实部和加法可以交换顺序，
A1cos(ωt+φ1)+A2cos(ωt+φ2)=Re{(V1+V2)ejωt}
**同频正弦相加，只需把相量相加。**回到第一节第 5 小节的问题：
V1=10∠30°=8.660+j5.000,V2=5∠−60°=2.500−j4.330
V1+V2=11.160+j0.670=11.18∠3.43°
所以
10cos(ωt+30°)+5cos(ωt−60°)=11.18cos(ωt+3.43°)
图 5：左：相量图，两个相量首尾相接，像力的合成一样。右：时域核对，逐点相加的结果（绿）和相量算出的正弦（虚线）完全重合。
附录代码在一个周期内取了 360 万个点逐点相加，找到最大值 11.1803，出现在 ωt=356.57° 处，即相位 3.43°，和相量计算完全一致。注意合成振幅 11.18 小于 10+5=15，因为两个分量的相位相差 90°，不是同时达到最大。
3. 应用：多径衰落
接收天线常常同时收到两路信号：一路直射过来，另一路经地面、楼房或山体反射过来。反射路径比直射路径长 Δd，所以反射波晚到，相位滞后
Δφ=2πλΔd
设反射波的振幅是直射波的 a 倍（ 0<a<1），以直射波为参考，合成信号的相量是
R=1+ae−jΔφ
它的模的平方为
∣R∣2=(1+acosΔφ)2+(asinΔφ)2=1+a2+2acosΔφ
- 路程差是波长的整数倍时， cosΔφ=1，两路同相 叠加， ∣R∣=1+a；
- 路程差是半波长的奇数倍时， cosΔφ=−1，两路反相 抵消， ∣R∣=1−a。
图 6：直射波加反射波的合成强度随路程差的变化。路程差每变化一个波长，信号就经历一次起伏；反射越强，谷底越深。
当 a=0.8 时，附录代码算出最强为 1.8 倍（+5.11 dB），最弱只有 0.2 倍（−13.98 dB），起伏达 19.1 dB。如果反射波和直射波一样强（ a=1），谷底就是 0，信号完全消失。
这就是多径衰落 。在 2 米波段（145 MHz， λ=2.068 m），如果直射波从身后来、反射波从前方的楼房反射回来，两者相向传播，你每移动 λ/2=1.034 m，路程差就变化一个波长，经历一次衰落。开车以 60 km/h（16.67 m/s）行驶时，每秒要穿过 16.1 个"零点"，听起来就是信号一阵一阵地"哒哒"抖动，英文叫 picket fencing（栅栏效应）。
这给手台用户一个很实用的建议：信号差的时候，往旁边挪半米试试，也许就从谷底移到了峰顶。第 10 章会进一步讨论多径和衰落的统计规律。
4. 求导变成乘以 jω
相量的另一个重要性质：
dtdRe{Vejωt}=Re{jωVejωt}
对正弦信号求导，在相量上就是乘以 jω ：振幅乘以 ω，相位超前 90°。这让微分方程变成了代数方程。
把它用到电感和电容上（第 03 章详细推导）：
- 电感： v=Ldtdi，相量形式 V=jωLI，所以电感的阻抗 是 ZL=jωL；
- 电容： i=Cdtdv，相量形式 I=jωCV，所以电容的阻抗是 ZC=jωC1=−ωCj。
在 7.1 MHz，附录代码算出 1 μH 电感的阻抗是 +j44.61 Ω，100 pF 电容的阻抗是 −j224.16 Ω。有了复数阻抗，交流电路就可以像直流电路一样用欧姆定律计算，只是所有量都换成了复数。
五、分贝
1. 为什么要用分贝
图 7：无线电里常见的功率电平，放在同一把"分贝尺"上。上方是对应的线性功率。
无线电里的功率跨度极大：一台 1500 W 的功率放大器输出 +61.8 dBm，而 1 Hz 带宽内的热噪声只有 −174 dBm，两者相差 236 dB，即 1023 倍以上。用瓦特写出来，一个是 1500，一个是 4×10−21，根本没法放在同一张表里比较。
分贝的第二个好处更重要：信号经过一连串放大器、电缆、天线和传播路径，每一级都是乘 上一个增益或损耗；取对数之后，乘法变成加法：
lg(G1G2G3)=lgG1+lgG2+lgG3
这就是为什么无线电工程师总是用 dB 来做"链路预算"。
2. 定义
两个功率之比的分贝数定义为
GdB=10lgP1P2
其中 lg 是以 10 为底的对数。比值大于 1 时 dB 为正（增益），小于 1 时为负（损耗），等于 1 时为 0 dB。
如果比较的是电压 （或电流、场强），由于功率与电压的平方成正比（ P=V2/R），在相同阻抗下：
GdB=10lgV12/RV22/R=20lgV1V2
所以电压翻倍是 +6 dB，功率翻倍是 +3 dB ，两者说的是同一件事。注意前提是阻抗相同；比较 50 Ω 和 75 Ω 系统上的电压时，不能直接用 20lg。
3. 速算
记住两个数就够了：3 dB ≈ ×2，10 dB = ×10。其他的都能拼出来，例如 13 dB = 10 dB + 3 dB ≈ ×20，7 dB = 10 dB − 3 dB ≈ ×5，−3 dB ≈ ×½。附录代码列出了 1～10 dB 的精确倍数，以及好记的近似值：
| dB | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 精确倍数 | 1.2589 | 1.5849 | 1.9953 | 2.5119 | 3.1623 | 3.9811 | 5.0119 | 6.3096 | 7.9433 | 10 |
| 速算 | 1.25 | 1.6 | 2 | 2.5 | 3.2 | 4 | 5 | 6.3 | 8 | 10 |
4. 绝对电平：dBm、dBW、dBμV
分贝本来只表示比值 。如果固定一个参考值，它就能表示绝对大小：
| 单位 | 参考值 | 常见用途 |
|---|---|---|
| dBm | 1 mW | 射频功率，最常用 |
| dBW | 1 W | 大功率发射机、卫星 EIRP |
| dBμV | 1 μV | 接收机输入电压、EMC 测量 |
| dBμV/m | 1 μV/m | 电场强度 |
PdBm=10lg1 mWP，所以 dBW = dBm − 30。附录代码列出了几个常见功率：
| 功率 | 1 mW | 1 W | 5 W | 25 W | 100 W | 1500 W |
|---|---|---|---|---|---|---|
| dBm | 0.00 | 30.00 | 36.99 | 43.98 | 50.00 | 61.76 |
在 50 Ω 系统里，0 dBm 对应的电压是 10−3×50 =0.2236 V =106.99 dBμV，所以
dBμV≈dBm+107(50 Ω)
例如手台灵敏度 −121 dBm 相当于 −14 dBμV，也就是 0.2 μV。
5. dBc、dBFS、dBi 和 dBd
还有几个以"相对于什么"命名的分贝单位：
- dBc ：相对于载波（carrier）功率。例如"谐波抑制 −43 dBc"表示谐波比载波弱 43 dB；
- dBFS ：相对于满量程（full scale），用于 ADC 和软件无线电，0 dBFS 是 ADC 能表示的最大值；
- dBi ：天线增益，相对于各向同性（isotropic）天线；
- dBd ：天线增益，相对于半波偶极子（dipole）。
dBi 和 dBd 之间差一个固定值：半波偶极子本身相对各向同性天线的增益。半波偶极子的方向图是
U(θ)∝sinθcos(2πcosθ)2
它的方向性系数等于最大辐射强度与平均辐射强度之比：
D=∮UdΩ4πUmax=∫0πsinθcos2(2πcosθ)dθ2
附录代码用数值积分算出 D=1.6409，即 10lg1.6409=2.15 dBi。所以
dBi=dBd+2.15
看天线广告时要留意：同一副天线，标 dBi 的数字比标 dBd 的大 2.15。只写"dB"不写参考的增益数字，最好打个问号。第 09 章会推导这个方向图。
6. S 表
业余电台面板上的S 表 （信号强度表）用 S1～S9 表示收到的信号强度，S9 以上用"S9 + 多少 dB"表示。IARU 第一区的技术建议规定：每个 S 单位相差 6 dB（电压的 2 倍），在 50 Ω 输入端：
- HF（30 MHz 以下）：S9 = −73 dBm，即 50 μV；
- VHF 及以上：S9 = −93 dBm，即 5 μV。
附录代码由此推出各级读数：
| S 读数 | HF 电平 | HF 电压 | VHF 电平 | VHF 电压 |
|---|---|---|---|---|
| S1 | −121 dBm | 0.199 μV | −141 dBm | 0.020 μV |
| S3 | −109 dBm | 0.793 μV | −129 dBm | 0.079 μV |
| S5 | −97 dBm | 3.159 μV | −117 dBm | 0.316 μV |
| S7 | −85 dBm | 12.574 μV | −105 dBm | 1.257 μV |
| S9 | −73 dBm | 50.059 μV | −93 dBm | 5.006 μV |
HF 的 S9 + 20 dB 就是 −53 dBm。通联时对方报告"你的信号 S7"，你就知道它大约在 −85 dBm。不过要注意，许多电台的 S 表并没有严格按这个标准校准，读数只能作参考。
7. 分贝不能直接相加
一个常见的错误是把两个用 dBm 表示的功率直接相加。正确的做法是先换回瓦特，相加，再换回 dBm：
| 功率 A | 功率 B | A + B |
|---|---|---|
| 0 dBm | 0 dBm | 3.01 dBm |
| −100 dBm | −110 dBm | −99.59 dBm |
| −100 dBm | −120 dBm | −99.96 dBm |
两个相等的功率相加，总功率加 3 dB；一个比另一个弱 20 dB 时，它的贡献几乎可以忽略。这在计算噪声时很有用：290 K 下的热噪声功率谱密度是 kT=−173.98 dBm/Hz，在 12.5 kHz 的 FM 信道带宽内是 −173.98+10lg12500=−133.01 dBm。第 14 章讨论灵敏度时会用到这个数字。
（"dB 加 dB"在另一种意义下是对的：增益和损耗可以直接加减，因为它们表示的是乘法关系。一个 20 dB 的放大器后面接一段 3 dB 损耗的电缆，总增益就是 17 dB。）
8. 链路预算
把第 01 章的平方反比公式推广到收发天线都有增益的情况：
Pr=PtGtGr(4πdλ)2
这就是 Friis 传输公式 ，第 10 章会详细推导。其中 (λ4πd)2 称为自由空间路径损耗（FSPL）。取分贝：
PrdBm=PtdBm+GtdBi+GrdBi−FSPLdB
FSPL=20lgλ4πd=20lgdkm+20lgfMHz+32.45
常数 32.45 是把 d 用 km、 f 用 MHz 表示时 20lgc4π×103×106 的值。用它重算第 01 章的例子（5 W、145 MHz、10 km、各向同性天线），得到 −58.69 dBm，和当时的结果一致。
下面是一条更完整的 2 米波段链路：一台 25 W 的车载电台，经过馈线和天线，与 30 km 外的另一个电台通联。天线增益和馈线损耗是假设的典型值，并假设视距无遮挡：
| 项目 | 增益 / 损耗 | 电平 |
|---|---|---|
| 发射功率 25 W | +43.98 dB | 43.98 dBm |
| 发射端馈线损耗（假设） | −1.50 dB | 42.48 dBm |
| 发射天线增益（假设） | +6.00 dB | 48.48 dBm |
| 自由空间路径损耗（30 km） | −105.22 dB | −56.74 dBm |
| 接收天线增益（假设） | +3.00 dB | −53.74 dBm |
| 接收端馈线损耗（假设） | −1.00 dB | −54.74 dBm |
图 8：链路预算的"瀑布图"。每一级增益或损耗都只是在 dB 上加减。
接收功率 −54.74 dBm，比灵敏度高 66.3 dB。这 66 dB 的余量用来抵消现实中的各种额外损耗：山体和建筑物的遮挡、多径衰落、天线没对准、雨雪......第 10 章会逐一讨论。用 dB 做链路预算的好处在于：想改一个条件（比如换一副增益更高的天线），只需在表里改一行加减。
六、对数坐标
第 01 章的电磁波谱、天线尺寸、平方反比图都用了对数坐标 ：坐标轴上等距离的刻度代表等倍数而不是等差。1、10、100、1000 之间的距离相等。读对数坐标时记住两点：
- 每一大格（一个十倍程）代表乘以 10。两个大刻度之间的小刻度依次是 2、3、...、9 倍，越往右越挤；
- 在双对数坐标上，幂函数 y=xn 是一条直线，斜率等于 n。所以第 01 章图 7 里，接收功率（dBm）对距离（对数坐标）的曲线是一条直线：距离每增加 10 倍，功率下降 20 dB。
纵轴用 dB 表示时，它本身就已经是对数了，所以纵轴不需要再取对数坐标。
七、Python 上手：NumPy 与 Matplotlib
本教程的所有计算和配图都用 Python 完成。只需要两个库：
- NumPy：数组运算，原生支持复数；
- Matplotlib：画图。
安装好 Python 3 之后，在命令行运行：
bash
python -m pip install numpy matplotlib附录 C 会详细介绍环境配置。下面这段代码把本章的几个计算串起来：
python
import numpy as np
z1, z2 = 3 + 4j, 1 - 2j
print(z1 * z2, z1 / z2) # 复数的乘除
print(abs(z1), np.angle(z1, deg=True)) # 模和辐角（度）
V = 10 * np.exp(1j * np.radians(30)) + 5 * np.exp(1j * np.radians(-60))
print(abs(V), np.angle(V, deg=True)) # 相量相加
P = np.array([0.001, 1, 5, 100]) # 功率，单位 W
print(10 * np.log10(P / 1e-3)) # 一次性换算成 dBm输出：
text
(11-2j) (-1+2j)
5.0 53.13010235415598
11.180339887498949 3.434948822922008
[ 0. 30. 36.98970004 50. ]几个要点：
- 复数是 Python 的内置类型 ：
3 + 4j直接就是复数，abs()求模；NumPy 的np.angle(z, deg=True)求辐角，np.exp(1j * theta)就是欧拉公式； - 向量化：NumPy 的函数作用在整个数组上，例如最后一行一次算出了四个功率的 dBm，不需要写循环。后面处理成千上万个采样点时，这既简洁又快；
- 画图 ：Matplotlib 的基本用法是
plt.plot(x, y)画曲线、plt.xlabel()加坐标轴标题、plt.show()显示。附录代码最后画出了图 4 的简化版。每一章的配图脚本make_figures.py都放在文章旁边，可以对照着学习更多画法。
小结
- 正弦信号 Acos(ωt+φ) 由振幅、频率、相位三个参数确定。相位差等于时间差： Δt=360°φT。正弦电压的有效值 Vrms=Vp/2 ，电阻上的平均功率 P=Vrms2/R=Vpp2/8R。
- 积化和差 ： cosacosb=21cos(a−b)+21cos(a+b)。两个频率相乘产生和频与差频，这是混频器和超外差接收机的原理；非线性运算会产生新频率，线性运算不会。
- 复数 a+jb=∣z∣∠θ，辐角用 atan2 计算。加减按分量，乘除按极坐标：模相乘除、角相加减。乘以 j 等于旋转 90°。
- 欧拉公式 ejθ=cosθ+jsinθ，可由泰勒级数证明。 ejωt 是复平面上旋转的相量，正弦信号是它的投影； cosθ 等于两个反向旋转相量之和，由此引出负频率。
- 相量 V=Aejφ 记录正弦信号的振幅和相位。同频正弦相加就是相量相加，求导就是乘以 jω，由此得到电感、电容的阻抗 jωL、 1/(jωC)。
- 多径衰落 ：直射波与反射波的合成 ∣1+ae−j2πΔd/λ∣ 在 1−a 与 1+a 之间起伏，路程差每变化一个波长起伏一次。
- 分贝 ：功率比 10lg，电压比 20lg（同阻抗）。3 dB ≈ ×2，10 dB = ×10。dBm 以 1 mW 为参考，50 Ω 下 dBμV ≈ dBm + 107；dBi = dBd + 2.15；S9 在 HF 为 −73 dBm、VHF 为 −93 dBm，每个 S 单位 6 dB。增益和损耗可以直接加减，两个功率相加则必须先换回瓦特。
- 链路预算 ： Pr=Pt+Gt+Gr−FSPL， FSPL=20lgdkm+20lgfMHz+32.45。
下一章，我们用这些工具分析电路：电阻、电容、电感、复数阻抗，以及无线电里最重要的电路之一------LC 谐振回路。
练习题
- （有效值） 用示波器测得 50 Ω 假负载两端的电压峰峰值为 63.2 V。发射机的输出功率是多少？
- （混频与镜像） 一台接收机的中频是 9.0 MHz。要接收 7.100 MHz 的信号，本振调到 16.100 MHz。(a) 混频后得到哪两个频率？(b) 另外还有一个输入频率，和这个本振混频后也会落在 9.0 MHz 上，它是多少？
- （复数运算） 计算 (2+j)(1−3j) 和 1−3j2+j，结果分别写成直角坐标和极坐标形式。
- （相量） (a) 三个振幅都是 1、相位分别为 0°、120°、240° 的同频正弦相加，结果是什么？(b) 把 3cosωt+4sinωt 写成 Acos(ωt+φ) 的形式。
- （dB 速算） 不用计算器，估算 23 dB、17 dB、−7 dB、36 dB 各对应多少倍功率，再用计算器核对。
- （绝对电平） (a) 0.5 W 是多少 dBm？(b) 50 Ω 系统中的 −107 dBm 约等于多少 dBμV、多少 μV？(c) HF 波段对方报告你的信号从 S5 升到了 S9，信号功率增加了多少 dB、多少倍？
- （馈线损耗） 一段 30 m 长的同轴电缆，假设它在 145 MHz 的损耗为 6 dB/100 m。电台输出 50 W，到达天线的功率是多少？
- （多径） 如果反射波振幅只有直射波的一半（ a=0.5），合成信号的最强和最弱分别是多少 dB？
- （编程：链路预算） 修改附录代码第 9 部分，把距离从 30 km 改为 60 km，接收功率和余量各是多少？距离每增加一倍，路径损耗增加多少 dB？
- （噪声相加） 两个互不相关的噪声源功率相等，叠加后总噪声比单个噪声源高多少 dB？如果两路信号完全同相 （比如练习 8 中直射波和反射波同相、 a=1），叠加后功率又高多少 dB？两者为什么不同？
参考答案
- Vp=31.6 V， Vrms=31.6/2 =22.34 V， P=22.342/50= 9.99 W ，约 10 W。或者直接用 P=Vpp2/8R=63.22/400=9.99 W。
- (a) 差频 16.1−7.1= 9.0 MHz ，和频 16.1+7.1= 23.2 MHz 。中频滤波器选出 9.0 MHz。(b) 输入为 16.1+9.0= 25.1 MHz 时，差频 ∣25.1−16.1∣=9.0 MHz，同样落进中频。25.1 MHz 称为 7.1 MHz 的镜像频率，它和有用信号关于本振对称。如果不在混频器前面把它滤掉，25.1 MHz 上的电台就会混进来。第 15 章专门讨论这个问题。
- (2+j)(1−3j)=2−6j+j−3j2= 5−5j =7.071∠−45°； 1−3j2+j=10(2+j)(1+3j)=10−1+7j= −0.1+0.7j =0.7071∠98.13°。用极坐标核对： 5 ∠26.57°×10 ∠−71.57°=50 ∠−45°；相除则是 0.5 ∠98.13°。
- (a) 三个相量 1∠0°、 1∠120°、 1∠240° 首尾相接构成一个闭合的等边三角形，和为 0 （代码算出的模是 3×10−16）。这就是三相交流电在平衡负载下中性线电流为零的原因。(b) sinωt=cos(ωt−90°)，相量为 −j，所以总相量为 3−4j=5∠−53.13°，即 5cos(ωt−53.13°)。
- 23 dB = 20 + 3 ≈ 100 × 2 = 200 （精确值 199.5）；17 dB = 20 − 3 ≈ 100 ÷ 2 = 50 （50.1）；−7 dB = −10 + 3 ≈ 0.1 × 2 = 0.2 （0.1995）；36 dB = 30 + 6 ≈ 1000 × 4 = 4000（3981）。
- (a) 10lg(500)= 26.99 dBm 。(b) −107+107= 0 dBμV ，即约 1 μV （精确地说是 −0.01 dBμV）。(c) S5 到 S9 是 4 个 S 单位，24 dB ，功率增加 102.4≈ 251 倍（电压增加 16 倍）。
- 损耗 30×6/100=1.8 dB，到达天线的功率 50×10−0.18= 33.0 W，有约 17 W 变成了电缆里的热量。接收时，天线收到的信号同样要损失 1.8 dB。所以在 VHF/UHF，低损耗电缆和尽量短的馈线很重要。
- 最强 20lg1.5= +3.52 dB ，最弱 20lg0.5= −6.02 dB ，起伏 9.5 dB，比 a=0.8 时的 19.1 dB 小得多（图 6 中的橙色虚线）。
- 60 km 时 FSPL = 111.24 dB，接收功率 −60.76 dBm ，余量 60.2 dB 。距离加倍，FSPL 增加 20lg2= 6.02 dB（自由空间里的"6 dB 每倍程"规律）。
- 不相关的噪声按功率 相加： 10lg2= +3.01 dB 。同相的两路信号按电压 （相量）相加：振幅加倍，功率变为 4 倍，+6.02 dB （就是 a=1 时多径的峰值， 20lg2）。区别在于相关性：同相信号的电压时时刻刻都在互相加强；不相关的噪声有时加强、有时抵消，平均下来只有功率可加。天线阵列和分集接收正是利用了这一差别：把多路信号同相相加，信号增加 6 dB，而噪声只增加 3 dB。
参考资料
- W. H. Hayt, J. E. Kemmerly, J. D. Phillips, S. M. Durbin. Engineering Circuit Analysis. 9th ed. McGraw-Hill, 2018. 第 10 章（正弦稳态分析与相量）。
- R. G. Lyons. Understanding Digital Signal Processing. 3rd ed. Prentice Hall, 2010. 附录 A（复数）、第 8 章（正交信号）。
- P. J. Nahin. An Imaginary Tale: The Story of √−1. Princeton University Press, 1998.
- ARRL. The ARRL Handbook for Radio Communications. 最新版. "Electrical Fundamentals" 与 "Radio Fundamentals" 章节。
- IARU Region 1. Technical Recommendation R.1: S-meter calibration. 1981.
- T. S. Rappaport. Wireless Communications: Principles and Practice. 2nd ed. Prentice Hall, 2002. 第 4 章（自由空间传播与链路预算）、第 5 章（多径衰落）。
附录：完整代码
下面的代码复现了本章所有数值：正弦信号的峰值与有效值、相位差折合的时间差、积化和差的数值验证、复数运算、欧拉公式的泰勒级数逼近、相量相加及其时域核对、多径衰落、电感和电容的阻抗、分贝速算表、dBm 与 dBμV、S 表、功率相加、热噪声、半波偶极子的 dBi，以及链路预算，最后画出旋转相量与它的投影。只依赖 numpy 和 matplotlib，保存为 example.py 后运行 python example.py 即可。
python
"""无线电自学教程 02：数学工具箱 ------ 附录代码
1. 正弦信号：峰值、峰峰值、有效值；相位差折合成时间差；
2. 积化和差：两个余弦相乘得到和频与差频（混频器的数学原理）；
3. 复数运算：加减乘除、模与辐角、极坐标；
4. 欧拉公式：用泰勒级数逼近 e^{jθ}，验证 e^{jπ} + 1 = 0；
5. 相量：两个同频正弦相加，用相量求和并用时域采样核对；
6. 多径：直射波与反射波的相量和，衰落的深度与快慢；
7. 阻抗预览：电感 jωL、电容 1/(jωC)；
8. 分贝：速算口诀、dBm 与 dBμV、S 表、功率相加、半波偶极子的 dBi；
9. 链路预算：自由空间路径损耗与一条 2 米波段链路的预算表；
最后画出旋转相量与它在实轴上的投影。
运行：python example.py
"""
import cmath
import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams["font.sans-serif"] = ["Microsoft YaHei", "SimHei", "DejaVu Sans"]
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False
C = 299_792_458.0 # 光速 [m/s]
def db(x):
"""功率比 → dB。"""
return 10 * np.log10(x)
def dbm(p_watt):
return 10 * np.log10(p_watt / 1e-3)
def watt(p_dbm):
return 1e-3 * 10 ** (p_dbm / 10)
def polar_str(z):
return f"{abs(z):.4f}∠{np.degrees(np.angle(z)):.2f}°"
def rect_str(z):
sign = "+" if z.imag >= 0 else "-"
return f"{z.real:.3f} {sign} j{abs(z.imag):.3f}"
# ---------------- 1. 正弦信号 ----------------
print("=== 1. 正弦信号：100 W 发射机接 50 Ω 假负载 ===")
P, R = 100.0, 50.0
v_rms = math.sqrt(P * R)
v_p = v_rms * math.sqrt(2)
print(f"有效值 V_rms = sqrt(P·R) = {v_rms:.2f} V，峰值 V_p = {v_p:.2f} V，峰峰值 V_pp = {2 * v_p:.2f} V")
t = np.linspace(0, 1, 100_000, endpoint=False) # 一个周期（归一化）
v = v_p * np.cos(2 * np.pi * t)
print(f"数值积分：一个周期内 v^2 的平均值开方 = {np.sqrt(np.mean(v**2)):.4f} V")
f, phi = 7.1e6, 60.0
print(f"7.1 MHz 时，60 度相位差相当于 {phi / 360 / f * 1e9:.2f} ns 的时间差")
# ---------------- 2. 积化和差 ----------------
print("\n=== 2. 积化和差：cos a · cos b = [cos(a-b) + cos(a+b)] / 2 ===")
f1, f2 = 14.2e6, 5.2e6
t = np.linspace(0, 2e-6, 200_001)
lhs = np.cos(2 * np.pi * f1 * t) * np.cos(2 * np.pi * f2 * t)
rhs = 0.5 * (np.cos(2 * np.pi * (f1 - f2) * t) + np.cos(2 * np.pi * (f1 + f2) * t))
print(f"两边最大误差 {np.max(np.abs(lhs - rhs)):.1e}")
print(f"{f1 / 1e6} MHz × {f2 / 1e6} MHz → 差频 {(f1 - f2) / 1e6:.1f} MHz，和频 {(f1 + f2) / 1e6:.1f} MHz")
# ---------------- 3. 复数运算 ----------------
print("\n=== 3. 复数运算 ===")
z1, z2 = 3 + 4j, 1 - 2j
print(f"z1 = {z1}，z2 = {z2}")
print(f"z1 + z2 = {z1 + z2}，z1 - z2 = {z1 - z2}")
print(f"z1 · z2 = {z1 * z2}，z1 / z2 = {z1 / z2}")
print(f"|z1| = {abs(z1)}，arg z1 = {np.degrees(np.angle(z1)):.2f}°，共轭 = {z1.conjugate()}")
print(f"极坐标：z1 = {polar_str(z1)}，z2 = {polar_str(z2)}，z1·z2 = {polar_str(z1 * z2)}")
print(f" 模相乘 {abs(z1) * abs(z2):.4f}，角相加 "
f"{np.degrees(np.angle(z1) + np.angle(z2)):.2f}°")
print(f"arg(-1 - 1j)：atan(b/a) 给出 {np.degrees(np.arctan(-1 / -1)):.0f}°，"
f"atan2 给出 {np.degrees(np.arctan2(-1, -1)):.0f}°（正确）")
# ---------------- 4. 欧拉公式 ----------------
print("\n=== 4. 欧拉公式：e^{jθ} = cos θ + j sin θ ===")
theta = np.pi / 3
target = complex(np.cos(theta), np.sin(theta))
partial = 0
for n in range(12):
partial += (1j * theta) ** n / math.factorial(n)
if n in (1, 2, 3, 5, 8, 11):
print(f"泰勒级数前 {n + 1:2d} 项：{partial.real:.6f} + j{partial.imag:.6f}，"
f"误差 {abs(partial - target):.1e}")
print(f"cos(π/3) + j sin(π/3) = {target.real:.6f} + j{target.imag:.6f}")
print(f"e^(jπ) + 1 = {cmath.exp(1j * np.pi) + 1:.1e}")
# ---------------- 5. 相量相加 ----------------
print("\n=== 5. 相量：10 cos(ωt + 30°) + 5 cos(ωt - 60°) ===")
p1 = 10 * cmath.exp(1j * np.radians(30))
p2 = 5 * cmath.exp(1j * np.radians(-60))
ps = p1 + p2
print(f"V1 = {rect_str(p1)}，V2 = {rect_str(p2)}")
print(f"V1 + V2 = {rect_str(ps)} = {polar_str(ps)}")
wt = np.linspace(0, 2 * np.pi, 3_600_001)
s = 10 * np.cos(wt + np.radians(30)) + 5 * np.cos(wt - np.radians(60))
k = np.argmax(s)
print(f"时域采样核对：最大值 {s[k]:.4f}，出现在 ωt = {np.degrees(wt[k]):.2f}°，"
f"即相位 {-np.degrees(wt[k]) % 360:.2f}°")
# ---------------- 6. 多径 ----------------
print("\n=== 6. 多径：直射波 1 + 反射波 0.8·e^{-jΔφ} ===")
a_ref = 0.8
print(f"同相叠加：{1 + a_ref:.1f} 倍（{20 * np.log10(1 + a_ref):+.2f} dB），"
f"反相抵消：{1 - a_ref:.1f} 倍（{20 * np.log10(1 - a_ref):+.2f} dB），"
f"起伏 {20 * np.log10((1 + a_ref) / (1 - a_ref)):.1f} dB")
lam = C / 145e6
speed = 60 / 3.6
print(f"145 MHz：λ = {lam:.3f} m。直射波与反射波相向而来时，零点间隔 λ/2 = {lam / 2:.3f} m")
print(f"车速 60 km/h（{speed:.2f} m/s）时，每秒穿过 {speed / (lam / 2):.1f} 个零点")
# ---------------- 7. 阻抗预览 ----------------
print("\n=== 7. 阻抗：Z_L = jωL，Z_C = 1/(jωC) ===")
f = 7.1e6
w = 2 * np.pi * f
L, Cap = 1e-6, 100e-12
zl, zc = 1j * w * L, 1 / (1j * w * Cap)
print(f"f = 7.1 MHz：1 μH 电感 Z = {zl.real:.0f} + j{zl.imag:.2f} Ω，"
f"100 pF 电容 Z = {zc.real:.0f} - j{-zc.imag:.2f} Ω")
# ---------------- 8. 分贝 ----------------
print("\n=== 8. 分贝 ===")
print("dB 数 精确倍数 口诀")
trick = {1: "1.25", 2: "1.6", 3: "2", 4: "2.5", 5: "3.2", 6: "4", 7: "5", 8: "6.3",
9: "8", 10: "10"}
for n in range(1, 11):
print(f"{n:4d} {10 ** (n / 10):9.4f} {trick[n]}")
print("功率与 dBm：")
for p in (1e-3, 1.0, 5.0, 25.0, 100.0, 1500.0):
print(f" {p:>8g} W = {dbm(p):7.2f} dBm")
v0 = math.sqrt(1e-3 * 50)
print(f"50 Ω 上 0 dBm 的电压 = {v0:.4f} V = {20 * np.log10(v0 / 1e-6):.2f} dBμV")
print("S 表（IARU 第一区建议：每个 S 单位 6 dB，50 Ω）：")
for s_unit in (1, 3, 5, 7, 9):
hf = -73 - 6 * (9 - s_unit)
vhf = hf - 20
print(f" S{s_unit}：HF {hf:5d} dBm（{math.sqrt(watt(hf) * 50) * 1e6:7.3f} μV），"
f"VHF {vhf:5d} dBm（{math.sqrt(watt(vhf) * 50) * 1e6:7.3f} μV）")
print(f" S9+20 dB（HF）= {-73 + 20} dBm")
print("功率相加（不相关信号）：")
for a, b in ((0, 0), (-100, -110), (-100, -120)):
print(f" {a} dBm + {b} dBm = {dbm(watt(a) + watt(b)):.2f} dBm")
kT = 1.380649e-23 * 290
print(f"290 K 热噪声：{dbm(kT):.2f} dBm/Hz；12.5 kHz 带宽内 {dbm(kT * 12.5e3):.2f} dBm")
th = np.linspace(1e-6, np.pi - 1e-6, 200_001)
pattern = (np.cos(np.pi / 2 * np.cos(th)) / np.sin(th)) ** 2 # 半波偶极子的功率方向图
D = 2 / np.trapezoid(pattern * np.sin(th), th) # D = 4π U_max / ∮U dΩ
print(f"半波偶极子方向性系数 D = {D:.4f} = {db(D):.2f} dBi，所以 0 dBd = {db(D):.2f} dBi")
# ---------------- 9. 链路预算 ----------------
print("\n=== 9. 链路预算：145 MHz，30 km，视距无遮挡 ===")
const = 20 * np.log10(4 * np.pi * 1e3 * 1e6 / C)
print(f"FSPL = 20lg(d/km) + 20lg(f/MHz) + {const:.2f} dB")
d, f = 30e3, 145e6
fspl = 20 * np.log10(4 * np.pi * d / (C / f))
budget = [("发射功率 25 W", dbm(25.0)), ("发射端馈线损耗（假设）", -1.5),
("发射天线增益（假设）", 6.0), ("自由空间路径损耗", -fspl),
("接收天线增益（假设）", 3.0), ("接收端馈线损耗（假设）", -1.0)]
level = 0.0
for name, val in budget:
level += val
print(f" {val:+8.2f} dB → {level:8.2f} dBm {name}")
print(f"接收功率 {level:.2f} dBm，比灵敏度 -121 dBm 高 {level + 121:.1f} dB")
print(f"核对：只用 FSPL 算第 01 章的 5 W、10 km：{dbm(5.0) - 20 * np.log10(4 * np.pi * 1e4 / (C / 145e6)):.2f} dBm")
# ---------------- 画图：旋转相量与它的投影 ----------------
wt = np.linspace(0, 4 * np.pi, 400)
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4), gridspec_kw=dict(width_ratios=[1, 2]))
ax1.plot(np.cos(wt), np.sin(wt), color="#b0afa9")
ang = np.radians(50)
ax1.annotate("", xy=(np.cos(ang), np.sin(ang)), xytext=(0, 0),
arrowprops=dict(arrowstyle="-|>", color="#2a78d6", lw=2))
ax1.plot([np.cos(ang)] * 2, [0, np.sin(ang)], "--", color="#eb6834")
ax1.set_aspect("equal")
ax1.set_title(r"$e^{j\omega t}$ 在复平面上旋转")
ax2.plot(wt, np.cos(wt), color="#eb6834", label=r"实部 $\cos\omega t$")
ax2.plot(wt, np.sin(wt), color="#2a78d6", label=r"虚部 $\sin\omega t$")
ax2.set_xlabel(r"$\omega t$ (rad)")
ax2.legend()
for ax in (ax1, ax2):
ax.grid(True, color="#e6e5e1")
fig.tight_layout()
plt.show()运行后的完整输出：
text
=== 1. 正弦信号：100 W 发射机接 50 Ω 假负载 ===
有效值 V_rms = sqrt(P·R) = 70.71 V，峰值 V_p = 100.00 V，峰峰值 V_pp = 200.00 V
数值积分：一个周期内 v^2 的平均值开方 = 70.7107 V
7.1 MHz 时，60 度相位差相当于 23.47 ns 的时间差
=== 2. 积化和差：cos a · cos b = [cos(a-b) + cos(a+b)] / 2 ===
两边最大误差 2.8e-14
14.2 MHz × 5.2 MHz → 差频 9.0 MHz，和频 19.4 MHz
=== 3. 复数运算 ===
z1 = (3+4j)，z2 = (1-2j)
z1 + z2 = (4+2j)，z1 - z2 = (2+6j)
z1 · z2 = (11-2j)，z1 / z2 = (-1+2j)
|z1| = 5.0，arg z1 = 53.13°，共轭 = (3-4j)
极坐标：z1 = 5.0000∠53.13°，z2 = 2.2361∠-63.43°，z1·z2 = 11.1803∠-10.30°
模相乘 11.1803，角相加 -10.30°
arg(-1 - 1j)：atan(b/a) 给出 45°，atan2 给出 -135°（正确）
=== 4. 欧拉公式：e^{jθ} = cos θ + j sin θ ===
泰勒级数前 2 项：1.000000 + j1.047198，误差 5.3e-01
泰勒级数前 3 项：0.451689 + j1.047198，误差 1.9e-01
泰勒级数前 4 项：0.451689 + j0.855801，误差 4.9e-02
泰勒级数前 6 项：0.501796 + j0.866295，误差 1.8e-03
泰勒级数前 9 项：0.500000 + j0.866021，误差 4.2e-06
泰勒级数前 12 项：0.500000 + j0.866025，误差 3.6e-09
cos(π/3) + j sin(π/3) = 0.500000 + j0.866025
e^(jπ) + 1 = 0.0e+00+1.2e-16j
=== 5. 相量：10 cos(ωt + 30°) + 5 cos(ωt - 60°) ===
V1 = 8.660 + j5.000，V2 = 2.500 - j4.330
V1 + V2 = 11.160 + j0.670 = 11.1803∠3.43°
时域采样核对：最大值 11.1803，出现在 ωt = 356.57°，即相位 3.43°
=== 6. 多径：直射波 1 + 反射波 0.8·e^{-jΔφ} ===
同相叠加：1.8 倍（+5.11 dB），反相抵消：0.2 倍（-13.98 dB），起伏 19.1 dB
145 MHz：λ = 2.068 m。直射波与反射波相向而来时，零点间隔 λ/2 = 1.034 m
车速 60 km/h（16.67 m/s）时，每秒穿过 16.1 个零点
=== 7. 阻抗：Z_L = jωL，Z_C = 1/(jωC) ===
f = 7.1 MHz：1 μH 电感 Z = 0 + j44.61 Ω，100 pF 电容 Z = 0 - j224.16 Ω
=== 8. 分贝 ===
dB 数 精确倍数 口诀
1 1.2589 1.25
2 1.5849 1.6
3 1.9953 2
4 2.5119 2.5
5 3.1623 3.2
6 3.9811 4
7 5.0119 5
8 6.3096 6.3
9 7.9433 8
10 10.0000 10
功率与 dBm：
0.001 W = 0.00 dBm
1 W = 30.00 dBm
5 W = 36.99 dBm
25 W = 43.98 dBm
100 W = 50.00 dBm
1500 W = 61.76 dBm
50 Ω 上 0 dBm 的电压 = 0.2236 V = 106.99 dBμV
S 表（IARU 第一区建议：每个 S 单位 6 dB，50 Ω）：
S1：HF -121 dBm（ 0.199 μV），VHF -141 dBm（ 0.020 μV）
S3：HF -109 dBm（ 0.793 μV），VHF -129 dBm（ 0.079 μV）
S5：HF -97 dBm（ 3.159 μV），VHF -117 dBm（ 0.316 μV）
S7：HF -85 dBm（ 12.574 μV），VHF -105 dBm（ 1.257 μV）
S9：HF -73 dBm（ 50.059 μV），VHF -93 dBm（ 5.006 μV）
S9+20 dB（HF）= -53 dBm
功率相加（不相关信号）：
0 dBm + 0 dBm = 3.01 dBm
-100 dBm + -110 dBm = -99.59 dBm
-100 dBm + -120 dBm = -99.96 dBm
290 K 热噪声：-173.98 dBm/Hz；12.5 kHz 带宽内 -133.01 dBm
半波偶极子方向性系数 D = 1.6409 = 2.15 dBi，所以 0 dBd = 2.15 dBi
=== 9. 链路预算：145 MHz，30 km，视距无遮挡 ===
FSPL = 20lg(d/km) + 20lg(f/MHz) + 32.45 dB
+43.98 dB → 43.98 dBm 发射功率 25 W
-1.50 dB → 42.48 dBm 发射端馈线损耗（假设）
+6.00 dB → 48.48 dBm 发射天线增益（假设）
-105.22 dB → -56.74 dBm 自由空间路径损耗
+3.00 dB → -53.74 dBm 接收天线增益（假设）
-1.00 dB → -54.74 dBm 接收端馈线损耗（假设）
接收功率 -54.74 dBm，比灵敏度 -121 dBm 高 66.3 dB
核对：只用 FSPL 算第 01 章的 5 W、10 km：-58.69 dBm