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本章目标：读完本章，你将能够
- 说清楚为什么三个数就能表示一种颜色，读懂 CIE 色度图，比较 BT.709、DCI-P3、BT.2020 色域的大小；
- 由三原色和白点推导出 RGB → XYZ 矩阵，知道亮度公式里 0.2126、0.7152、0.0722 是怎么来的；
- 理解 gamma（传递函数）为什么必不可少，用 ΔL* 定量比较线性编码和 gamma 编码，了解 HDR 的 PQ 和 HLG；
- 熟练地在 R'G'B' 和 Y'CbCr 之间换算，知道视频里的黑为什么是 16、白为什么是 235；
- 理解 4:2:2、4:2:0 的含义和色度样本的位置，算出色度二次采样损失了多少；
- 认出范围用错、矩阵用错这两类最常见的颜色事故，读写 I420、NV12 等原始 YUV 文件。
前置知识：第 01 章的采样、量化和 PSNR；矩阵乘法与 3×3 线性方程组（会用 numpy 解即可）；对数和幂函数。
用手机拍一张照片，屏幕上看到的是红、绿、蓝三种小发光点组成的图像；把它存成 H.264 视频，存下来的却不是 R、G、B，而是一个"亮度"加两个"色差"，而且色差只有一半甚至四分之一的分辨率。播放时再换算回 RGB 显示出来。
为什么要绕这么大一个圈？简单地说，是为了迁就人眼：人眼对亮度的细节很敏感，对颜色的细节却很迟钝；人眼对亮度的感受是对数式的，而不是线性的。视频编码在真正开始"压缩"之前，就已经用这两点省下了一半的数据（4:4:4 的 24 bit/像素降到 4:2:0 的 12 bit/像素）。
这一章把颜色从物理讲到文件：光和眼睛、色度图和色域、gamma、Y'CbCr、色度二次采样，最后落到硬盘上的 YUV 文件。几乎每一个视频工程师都踩过颜色的坑：画面发灰、偏色、黑色发紫......读完本章，你会知道这些问题从哪里来。
一、颜色是什么：光、眼睛与三个数
1. 光谱与三种视锥细胞
可见光是波长约 380～780 nm 的电磁波。一束光的物理性质由它的光谱 S(λ) 完全描述：每个波长上有多少能量。理论上这是一个函数，有无穷多个自由度。
但人眼并不测量完整的光谱。视网膜上负责白天视觉的视锥细胞只有三种，分别对长、中、短波长最敏感（L、M、S 视锥）。每种视锥细胞只输出一个数：它对整个光谱的加权响应
L=∫S(λ)l(λ)dλ,M=∫S(λ)m(λ)dλ,S视锥=∫S(λ)s(λ)dλ
无穷维的光谱经过眼睛，被"投影"成了三个数。这就是三色原理（trichromacy）：人看到的颜色只由这三个数决定。
2. 同色异谱：为什么三个数就够
既然只剩三个数，那么两束光谱完全不同的光，只要这三个积分相等，看起来就是同一种颜色。这叫同色异谱（metamerism）。
同色异谱是所有彩色显示技术的基础。屏幕不可能复现自然界里任意的光谱，它只有红、绿、蓝三种发光点。但它不需要复现光谱，只要调节三种发光点的强度，让眼睛的三个响应和原来的光一样就行了。所以颜色本质上是一个三维量，RGB、XYZ、Y'CbCr 只是这个三维空间里的不同坐标系。
3. CIE XYZ 与配色函数
1931 年，国际照明委员会（CIE）根据大量配色实验，定义了一套标准的"虚拟眼睛"：CIE 1931 标准观察者 。它用三条配色函数 xˉ(λ)、 yˉ(λ)、 zˉ(λ) 代替真实的视锥响应：
X=∫S(λ)xˉ(λ)dλ,Y=∫S(λ)yˉ(λ)dλ,Z=∫S(λ)zˉ(λ)dλ
图 1：CIE 1931 标准观察者的三条配色函数。CIE 公布的是数值表格，这里用 Wyman 等人 2013 年提出的多段高斯近似公式计算（附录代码第 1 节）。下方色带是各波长单色光的大致颜色。
XYZ 不是真实的视锥响应，而是它们的一个线性组合。这个组合是特意挑选的，有两个好性质：
- 三条曲线处处非负，所以任何真实光的 X、Y、Z 都不会是负数；
- yˉ(λ) 恰好等于人眼的明视觉光谱光效率函数 ，所以 Y 就是物理意义上的亮度 （luminance）。 yˉ 在约 555 nm 的黄绿光处最高（近似公式给出 554 nm），说明人眼对黄绿光最敏感，对蓝光和深红光很不敏感。
记住 Y 这个字母，它会贯穿整章，最后变成 Y'CbCr 里的那个 Y'。
二、色度图与色域
1. 色度坐标
XYZ 三个数里混着两类信息：多亮，以及什么颜色。把亮度除掉，就只剩"什么颜色"，叫色度（chromaticity）：
x=X+Y+ZX,y=X+Y+ZY,z=1−x−y
只需要 (x, y) 两个数。反过来，已知色度 (x, y) 和亮度 Y，就能还原
X=yxY,Z=y1−x−yY
把每个波长的单色光算出 (x, y) 画在平面上，就得到一条马蹄形曲线，叫光谱轨迹 。比如近似公式算出 520 nm 的绿光在 (0.0813, 0.8197)，620 nm 的红光在 (0.6955, 0.3045)。连接两端的直线叫紫线，上面是红和蓝的混合色，光谱里没有单一波长对应它们。所有真实颜色都在马蹄形之内。
图 2：CIE 1931 xy 色度图和三种常见色域。光谱轨迹用近似公式计算，只画了 420～650 nm；更短或更长的波长色度坐标几乎不再变化，挤在马蹄形的两个端点上。图中的颜色只是示意，屏幕显示不出 BT.709 三角形以外的颜色。
2. 三原色与白点
一台显示器的三种发光点各有一个色度坐标，叫三原色 （primaries）。三种原色按不同强度混合，能得到的所有颜色就是以三个原色为顶点的三角形 ，叫这台设备的色域（gamut）。三角形以外的颜色，无论怎么调都显示不出来。
R = G = B = 1（三种原色全开）时混合出的颜色叫白点 。视频和电脑显示几乎都用 D65 ，色度 (0.3127, 0.3290)，大致相当于正午的日光。
| 标准 | 红 (x, y) | 绿 (x, y) | 蓝 (x, y) | 用途 |
|---|---|---|---|---|
| BT.709 / sRGB | (0.640, 0.330) | (0.300, 0.600) | (0.150, 0.060) | 高清电视、网络视频、绝大多数电脑屏幕 |
| DCI-P3 | (0.680, 0.320) | (0.265, 0.690) | (0.150, 0.060) | 数字电影；苹果等设备的 Display P3 用同样的原色配 D65 白点 |
| BT.2020 | (0.708, 0.292) | (0.170, 0.797) | (0.131, 0.046) | 超高清电视、HDR |
（数字电影院的 DCI-P3 原本用另一个偏绿的白点，这里和附录代码统一用 D65。）
3. 色域有多大
用三角形面积比较色域（附录代码第 3 节）：
| 色域 | xy 面积 | 相当于 BT.2020 的 | u'v' 面积 | 相当于 BT.2020 的 |
|---|---|---|---|---|
| BT.709 | 0.1120 | 52.9% | 0.0649 | 58.0% |
| DCI-P3 | 0.1520 | 71.7% | 0.0815 | 72.9% |
| BT.2020 | 0.2119 | 100% | 0.1118 | 100% |
xy 色度图有一个缺点：在绿色区域，坐标差很远的两种颜色看起来可能差不多；在蓝紫区域，坐标差一点点颜色就变了很多。CIE 1976 年给出了一个改进的 u′v′ 坐标，更接近"距离相等，看起来差别也相等"：
u′=−2x+12y+34x,v′=−2x+12y+39y
按 u′v′ 面积算，BT.709 约占 BT.2020 的 58%。高清电视用了二十多年的 BT.709，只能显示 BT.2020 色域的一半多一点。BT.2020 的三个原色都在光谱轨迹上，是纯的单色光，所以它的三角形几乎贴着马蹄形的边。
三、RGB 与 XYZ 的换算：亮度系数从哪里来
1. 推导
线性 RGB（R、G、B 与发光强度成正比）和 XYZ 之间是一个 3×3 线性变换：
XYZ =M RGB
M 完全由三原色的色度和白点决定，推导分两步。
第一步：方向。 只开红色（ R=1， G=B=0）时，输出的 XYZ 就是 M 的第一列。它的色度必须是红原色 (xr, yr)，所以第一列一定正比于亮度为 1 时的 XYZ：
pr=(yrxr, 1, yr1−xr−yr)⊤
绿、蓝两列同理。于是 M=SrprSgpgSbpb，只剩三个缩放系数 Sr、 Sg、 Sb 未知。
第二步：用白点定缩放。 三原色全开（ R=G=B=1）要得到亮度为 1 的白点 w：
Srpr+Sgpg+Sbpb=w⟹prpgpb SrSgSb =w
解这个 3×3 线性方程组就得到 M。代入 BT.709 的原色和 D65：
M709= 0.41240.21260.01930.35760.71520.11920.18050.07220.9505
2. 三套亮度系数
看 M 的第二行 ： Y=0.2126R+0.7152G+0.0722B。因为每个 p 的中间分量都是 1，第二行恰好就是 (Sr, Sg, Sb)，也就是三原色全开组成白光时，各自贡献的亮度。
这就是视频里亮度公式的来历。它们不是凭经验拍脑袋定的，而是由原色和白点算出来的。换一套原色，系数就跟着变（附录代码第 2 节）：
| 原色 + 白点 | KR | KG | KB | 用在 |
|---|---|---|---|---|
| NTSC 1953 + C 光源 | 0.2989 | 0.5866 | 0.1144 | BT.601（标清）、JPEG |
| BT.709 + D65 | 0.2126 | 0.7152 | 0.0722 | BT.709（高清） |
| BT.2020 + D65 | 0.2627 | 0.6780 | 0.0593 | BT.2020（超高清） |
第 01 章用的 0.299, 0.587, 0.114 来自 1953 年 NTSC 彩色电视的原色。有意思的是，后来的标清电视实际上早已换用了别的原色，但 BT.601 和 JPEG 一直沿用这组老系数。这是历史包袱，也是第八节"矩阵用错"问题的根源。
3. 色域之间的转换
有了两个色彩空间各自的 M，从 BT.709 转到 BT.2020 就是 M2020−1M709：
RGB 2020= 0.62740.06910.01640.32930.91950.08800.04330.01140.8956 RGB 709
这和 ITU-R BT.2087 标准里给出的矩阵四位小数完全一致，可以作为推导正确的验证。几个要点：
- 这个变换作用在线性光上，所以 gamma 编码的信号必须先解码成线性值，转换完再重新编码；
- BT.709 的纯红 (1,0,0) 在 BT.2020 里是 (0.6274, 0.0691, 0.0164)。小色域的颜色总能在大色域里找到；
- 反过来，BT.2020 的纯绿在 BT.709 里是 (−0.5876, 1.1329, −0.1006)，出现了负数和大于 1 的数。显示器发不出"负的红光"，这个颜色超出了 BT.709 色域。把它塞进小色域叫色域映射 （gamut mapping），最简单的办法是截断到 0, 1，但会造成颜色失真，更好的方法是第 27 章讲 HDR 蓝光时会遇到的色调映射。
四、传递函数：为什么要做 gamma
1. 人眼对亮度的感受是非线性的
把一盏灯的亮度从 1 加倍到 2，和从 100 加倍到 200，人感觉到的"变亮了多少"差不多。也就是说，人眼对亮度的相对变化 敏感，对绝对变化不敏感。CIE 用明度 （lightness） L∗ 来描述这种感受：
L∗={116Y1/3−16,903.3Y,Y>(6/29)3≈0.008856否则
其中 Y 是相对于白色的亮度（0～1）， L∗ 从 0（黑）到 100（白）。 L∗ 大致是亮度的立方根：亮度只有白色 18% 的灰， L∗ 已经接近 50，看起来是"中灰"。两种颜色的 L∗ 相差约 1 时，人眼大约刚好能分辨出来。
2. OETF 与 EOTF
既然人眼的感受是非线性的，存储亮度时就不应该线性地分配码值，而应该在暗部分得更细、亮部分得更粗。做法是在摄像机里先把线性光 L 经过一条压缩曲线变成编码值 V，叫光电转换函数 （Opto-Electronic Transfer Function，OETF）。BT.709 的 OETF 是
V={4.5L,1.099L0.45−0.099,L<0.018L≥0.018
显示端用电光转换函数 （EOTF）把 V 还原成发光强度。BT.1886 规定高清显示器的 EOTF 近似为 L=V2.4。电脑图像常用的 sRGB 曲线和它形状相近。
图 3：(a) 几条传递函数和明度 L∗/100，gamma 曲线和人眼的感受曲线形状很接近；(b) 8 位编码下相邻两级码值的明度差 ΔL。*
这条曲线俗称 gamma ，因为它近似一个幂函数 V=L1/γ。从历史上看，它是因为 CRT 显像管的电压和亮度之间天然就是约 2.5 次方的关系，摄像机必须预先做反向校正。但它被保留到今天，并不只是为了兼容老电视：碰巧，CRT 的非线性和人眼的感受差不多正好相反，gamma 编码恰好让码值在"人眼感受"上分布得比较均匀。
还要注意，摄像机的 OETF（约 0.5 次方）和显示器的 EOTF（2.4 次方）并不互逆，端到端的总效果约是 1.2 次方。这是有意为之的：在昏暗的客厅里看电视，适度提高对比度看起来更接近现场。
3. 8 位线性编码不够用
用 ΔL* 可以定量地看 gamma 的作用（附录代码第 4 节）。把 0～1 的亮度分成 256 级：
| 编码方式 | 第一级的 ΔL* | 最大 ΔL* | ΔL* > 1 的台阶数 | L∗<50 的暗部分到的码值 |
|---|---|---|---|---|
| 8 位线性 | 3.54 | 3.54 | 15 | 47 个 |
| 8 位 sRGB | 0.27 | 0.51 | 0 | 119 个 |
线性编码把大部分码值浪费在人眼分辨不出差别的亮部，暗部却只有 47 个码值，最暗的十几个台阶每一步都超过了"刚好能察觉"的差别。sRGB 编码把一半的码值分给了暗部，每一步都在 ΔL* = 0.51 以内。附录代码还算出：线性编码要用到 11 位，最大台阶才能和 8 位 sRGB 一样小。gamma 编码相当于免费多出了 3 位。
图 4：(a) 从黑到中灰的渐变，8 位线性编码在暗部出现明显的台阶，8 位 sRGB 编码看不出台阶；(b) HDR 的 PQ 曲线。
所以，视频编码器拿到的数据几乎都是 gamma 编码过的，编码器只是把它们当作一堆整数来压缩，并不关心它们代表多亮。只有在需要做物理意义上的计算时，比如色域转换、混合两种颜色、高质量缩放，才需要先解码成线性光。
4. 撇号的含义：luma 与 luminance
从这里开始，字母上的撇号很重要：
- R、 G、 B、 Y 表示线性 的量， Y 是真正的亮度（luminance）；
- R′、 G′、 B′ 表示经过 gamma 编码的值，用它们加权求和得到的
Y′=KRR′+KGG′+KBB′
叫 luma ，中文里也常叫"亮度"，但它并不等于真正亮度的 gamma 编码值。对灰色两者相等，对饱和的颜色会有偏差。这样做是工程上的妥协：直接用 R′G′B′ 算，电路简单，代价是一小部分亮度信息"漏"进了色度通道。BT.2020 定义了一种"恒定亮度"的变体来纠正它，但实际几乎没人用。本教程沿用行业习惯：说"亮度"时一般指 Y′。
5. HDR：PQ 与 HLG
传统的 BT.709 是为最高约 100 cd/m²（尼特）的显示器设计的。HDR（高动态范围）视频要表示从 0.001 到上万尼特的亮度，传递函数也必须换掉。BT.2100 标准规定了两种：
- PQ （Perceptual Quantizer，SMPTE ST 2084）：编码的是绝对亮度，最高 10000 cd/m²。曲线按人眼在不同亮度下的分辨能力设计，10 位就足够。附录代码算出，100 cd/m² 编码成 0.508，1000 cd/m² 编码成 0.752，也就是说 SDR 的全部亮度范围只用了 PQ 一半左右的码值；
- HLG （Hybrid Log-Gamma，BBC 和 NHK 提出）：编码的是相对亮度，暗部用平方根曲线（与传统 gamma 相近），亮部换成对数曲线，分界点处的编码值恰好是 0.5。它的好处是不认识 HDR 的老电视也能大致正常显示。
HDR10、杜比视界用 PQ，广播电视多用 HLG。后面讲 H.265 和 UHD 蓝光时还会遇到它们。
五、Y'CbCr：一个亮度加两个色差
1. 定义
有了 Y′，颜色信息就用两个色差 来表示： B′−Y′ 和 R′−Y′。灰色的 R′=G′=B′，两个色差都是 0。为了让它们的取值范围恰好是 −0.5, 0.5，再各除以一个常数：
PB=2(1−KB)B′−Y′,PR=2(1−KR)R′−Y′
为什么是这两个分母？以 PB 为例， B′−Y′=(1−KB)B′−KRR′−KGG′。 R′、 G′、 B′ 都在 0, 1 内，所以 B′−Y′ 最大是 1−KB（纯蓝），最小是 −(1−KB)（黄色， R′=G′=1， B′=0），除以 2(1−KB) 后正好落在 −0.5, 0.5 内。
PB、 PR 是模拟或浮点形式。量化成整数后叫 CB、 CR（下一节），通常写作 Cb、Cr。整个色彩空间叫 Y'CbCr。
2. 矩阵与逆矩阵
代入 BT.709 的系数，写成矩阵：
Y′PBPR = 0.2126−0.11460.50.7152−0.3854−0.45420.07220.5−0.0458 R′G′B′
每一行的和分别是 1、0、0：白色映射到 (1, 0, 0)，所有灰色的色差都是 0。逆变换形式很简单：
R′=Y′+1.5748PR,G′=Y′−0.1873PB−0.4681PR,B′=Y′+1.8556PB
其中 1.5748=2(1−KR)， 1.8556=2(1−KB)。BT.601 和 BT.2020 的矩阵只是换了 KR、 KB，附录代码第 5 节把三套矩阵都打印出来了。
3. 能量集中到亮度
图 5：上排是 R'、G'、B' 三个通道，下排是 Y'、Cb、Cr。R'G'B' 三张图几乎一样；Y' 包含了全部细节，两个色差通道大片是中性的灰，只在有颜色的地方有内容（色差通道的显示对比度放大了 2 倍）。
图 5 一眼就能看出 Y'CbCr 的好处：R'G'B' 三个通道高度相似，每一张都带着完整的轮廓和细节，存三份是很大的浪费；换成 Y'CbCr 后，细节几乎都集中到了 Y'。附录代码第 6 节定量地算了出来：
| 通道两两之间的相关系数 | 三个通道各占总方差的比例 | |
|---|---|---|
| R'G'B' | R'G' 0.84，R'B' 0.73，G'B' 0.96 | 36.1%，31.5%，32.5% |
| Y'CbCr | Y'Cb −0.08，Y'Cr −0.05，CbCr −0.77 | 88.6%，3.1%，8.3% |
图 6：(a) G' 和 B' 几乎落在一条直线上；(b) Y' 和 Cr 之间看不出线性关系；(c) 三个通道的方差占比，Y'CbCr 和主成分分析都把大约 89% 的能量集中到了第一个通道。
这和第 01 章的"相邻像素很像"是同一个道理，只是换成了"同一个像素的三个通道很像"。消除这种相关性叫去相关，是一切变换编码的出发点。
两个细节值得说一下：
- Cb 和 Cr 之间仍然相关（−0.77）。这张照片里大面积的橙色宇航服和肤色，Cb 都偏负、Cr 都偏正。Y'CbCr 是固定的矩阵，不会根据图像调整，所以不可能把每张图都去相关得很彻底。
- 主成分分析 （PCA）是"针对这张图最优"的去相关变换：它找到的第一个方向几乎是 R'、G'、B' 的平均 (0.33, 0.34, 0.33)，占总方差的 89.3%，只比 Y' 的 88.6% 多一点点。可见固定的 Y'CbCr 已经很接近最优，而且它的 Y' 对应人眼的亮度感受，这一点 PCA 做不到。第 07 章讲 DCT 时，还会遇到 PCA 的另一个名字：KLT（Karhunen--Loève 变换）。
图 6(b) 还提醒我们：相关系数接近 0 只说明没有线性关系，Y' 和 Cr 之间显然还有别的结构。H.266 的"跨分量线性模型"（CCLM）就利用了亮度和色度之间的局部关系来预测色度（第 25 章）。
4. "YUV"这个名字
在软件和日常交流里，Y'CbCr 几乎总是被叫作 YUV ，FFmpeg 的像素格式名也是 yuv420p。严格地说，YUV 是 PAL 模拟电视的色彩空间， U=0.492(B′−Y′)， V=0.877(R′−Y′)，缩放系数和 Y'CbCr 不同。但在数字视频的语境里，"YUV"基本就是 Y'CbCr 的同义词，本教程也会混用：说"YUV 文件"时，指的就是存着 Y'CbCr 整数的文件。
六、量化与范围：为什么黑是 16
Y′ 在 0, 1， PB、 PR 在 −0.5, 0.5，存储前要量化成整数。视频里最常用的是有限范围（limited range，也叫 TV range、studio range）：
Y=round(2N−8(219Y′+16)),C=round(2N−8(224P+128))
N 是位深。8 位时，黑是 16，白是 235，色差从 16 到 240，128 表示没有颜色；10 位时乘以 4，黑是 64，白是 940。
为什么不用满 0～255？主要有两个原因：
- 留出余量：视频在制作和传输过程中要经过各种滤波，锐利的边缘处会产生过冲和下冲（第 01 章波带片的例子里见过）。有限范围在黑以下和白以上留了余量，过冲的值不会立刻被截断；
- 保留特殊码值：在演播室使用的串行数字接口（SDI，BT.656 规定）里，8 位的 0 和 255 被保留下来，作为每一行开始和结束的定时标记，不能出现在图像数据里。
另一种是全范围 （full range，也叫 PC range）： Y=255Y′， C=255P+128。JPEG 图片用全范围，电脑屏幕截图和游戏录屏也常用全范围。
100% 彩条按 BT.709、8 位有限范围编码（附录代码第 5 节）：
| 颜色 | Y | Cb | Cr |
|---|---|---|---|
| 白 | 235 | 128 | 128 |
| 黄 | 219 | 16 | 138 |
| 青 | 188 | 154 | 16 |
| 绿 | 173 | 42 | 26 |
| 品红 | 78 | 214 | 230 |
| 红 | 63 | 102 | 240 |
| 蓝 | 32 | 240 | 118 |
| 黑 | 16 | 128 | 128 |
注意黄的 Cb 和青的 Cr 都到了下限 16，蓝的 Cb 和红的 Cr 都到了上限 240。这正是第五节的结论：色差的极值出现在纯蓝、黄、纯红、青这几种颜色上。
一个直接的后果是：Y'CbCr 的整数组合有 2563 种，但其中只有一部分对应合法的 RGB 颜色。比如 (Y,Cb,Cr)=(16,240,240) 又暗又蓝又红，换算回去 R、B 远大于 1、G 是负数。编码器在压缩时引入的误差也可能把颜色推出合法范围，所以解码后转 RGB 时必须截断到合法范围。
七、色度二次采样
1. 人眼对颜色细节不敏感
视觉研究早已发现，人眼对亮度变化的空间分辨能力，比对颜色变化的分辨能力高得多（Mullen，1985）：细密的黑白条纹能看清，同样细密的红绿条纹或蓝黄条纹，看起来就糊成一片了。
可以直接做实验（附录代码第 7 节）：把 Y'CbCr 的某些通道每 k×k 个像素平均一次，再插值回原尺寸，看看效果。
图 7：(b) 把两个色差通道做 8×8 的模糊，几乎看不出变化；(c) 只把亮度做同样的模糊，画面明显糊了。PSNR 是在整幅 R'G'B' 图像上算的。
| 模糊尺寸 | 只模糊色度：PSNR | 剩下的数据量 | 只模糊亮度：PSNR | 剩下的数据量 |
|---|---|---|---|---|
| 2×2 | 40.21 dB | 50.0% | 29.21 dB | 75.0% |
| 4×4 | 36.32 dB | 37.5% | 24.66 dB | 68.8% |
| 8×8 | 33.04 dB | 34.4% | 21.10 dB | 67.2% |
"剩下的数据量"是按样本数算的：只模糊色度时，Y' 全保留，两个色差各剩 1/k2，总量是 (1+2/k2)/3。同样丢掉一部分数据，模糊色度造成的误差小得多，而且看起来几乎没有区别。这就是色度二次采样（chroma subsampling）：降低色差通道的分辨率，亮度保持不变。
2. J:a:b 记法
二次采样的格式用三个数 J:a:b 表示，它描述一个宽 J 像素、高 2 行的区域：
- J：区域宽度，通常是 4；
- a：第一行里有几个色度样本；
- b：第二行里新增几个色度样本（0 表示第二行和第一行共用）。
图 8：四种常见的色度二次采样格式。每个格子是一个像素，都有自己的亮度样本。
| 格式 | 色度分辨率 | 8 位时平均每像素 | 常见用途 |
|---|---|---|---|
| 4:4:4 | 不降 | 24 bit | 专业制作、屏幕内容、需要精确颜色的场合 |
| 4:2:2 | 水平减半 | 16 bit | 广播电视演播室、专业摄像机、ProRes |
| 4:2:0 | 水平、垂直都减半 | 12 bit | 几乎所有发行用的视频：网络视频、蓝光、电视广播 |
| 4:1:1 | 水平降到 1/4 | 12 bit | 早期的 DV 磁带（NTSC） |
4:2:0 的"0"很容易误解，它不是"第二行没有色度"，而是"第二行和第一行共用同一组色度"。所以 4:2:0 的每个色度样本对应 2×2 个像素，一幅 W×H 的图像，Cb 和 Cr 平面都是 2W×2H。H.264 的 Main 和 High Profile 只支持 4:2:0（High 还允许只有亮度的黑白视频），4:2:2 和 4:4:4 要用专门的 High 4:2:2、High 4:4:4 Predictive Profile。4:2:0 也是本教程后面默认的格式。
3. 色度样本放在哪里
4:2:0 的一个色度样本代表 2×2 个亮度样本，但它的位置在哪里，不同标准的规定并不一样。
图 9：4:2:0 色度样本（橙色叉）相对于亮度样本（白圈）的三种位置。(b) 是 MPEG-2、H.264、H.265 的默认位置。
- 居中（图 9a）：JPEG 和 MPEG-1 的约定，色度在 4 个亮度样本正中间；
- 与左列对齐、上下居中 （图 9b）：MPEG-2 起的视频标准默认采用，H.264、H.265 里叫
chroma_sample_loc_type = 0； - 与左上角像素重合 （图 9c）：
chroma_sample_loc_type = 2。
H.264 和 H.265 可以在码流的 VUI 里标出 0～5 共 6 种位置（第 16 章）。位置搞错了，色度和亮度之间会错开不到半个像素，平时不易察觉，但在锐利的彩色边缘会出现色边。本章的代码为了简单，下采样用 2×2 平均、上采样用中心对齐的双线性插值，对应的是图 9(a) 的居中位置。
4. 下采样和上采样怎么做
4:2:0 的"损失"有多大，还取决于下采样和上采样用什么滤波器（附录代码第 8 节）：
| 下采样 | 上采样 | R'G'B' PSNR | Cb 平面 | Cr 平面 |
|---|---|---|---|---|
| 每 2×2 只取左上角一个 | 最近邻（复制） | 36.57 dB | 40.10 dB | 40.68 dB |
| 2×2 平均 | 最近邻（复制） | 39.16 dB | 43.02 dB | 43.50 dB |
| 2×2 平均 | 双线性插值 | 39.96 dB | 43.68 dB | 44.56 dB |
和第 01 章的结论一样：下采样前要先低通滤波（平均就是最简单的低通），直接抽取会产生混叠，PSNR 低了 2.6 dB；上采样用插值比简单复制好。实际的转换工具（FFmpeg 的 swscale、libplacebo 等）用更长的滤波器，效果更好一些。
作为参照，只做 8 位量化、不做二次采样（4:4:4）时 PSNR 是 52.60 dB。4:2:0 把 PSNR 拉低到 40 dB 左右，但正如图 7 所示，这些误差在正常观看时几乎看不出来。
5. 色彩渗漏
二次采样也有看得出来的时候：颜色变化剧烈的细节。
图 10：(a)(b)(c) 宇航服上的任务徽章，4:2:0 之后文字边缘的颜色略微向外扩散，误差集中在彩色边缘；(d)(e) 宽 1、2、4 像素的红蓝条纹，1 像素宽的条纹在 4:2:0 之后完全变成了紫色。
1 像素宽的红蓝条纹，每个 2×2 块里一半红、一半蓝，色度一平均就成了紫色，原来的颜色信息彻底丢失。2 像素宽的条纹恰好与 2×2 块对齐，下采样没有损失，但双线性插值把相邻块的颜色混了进来，条纹变得发紫。4 像素宽的条纹只在交界处出现一列过渡色。
这类问题在自然视频里不明显，但在屏幕内容里很常见：红色的小字、彩色的细线、电子表格的网格线。所以录屏、远程桌面、游戏直播等场合常常要求 4:4:4，H.265 为此专门推出了"屏幕内容编码"扩展（第 24 章）。
八、常见的颜色错误
Y'CbCr 的数字本身不带"说明书"。同一组 (Y,Cb,Cr)，用不同的范围、不同的矩阵解释，会得到不同的颜色。编码时用一套、播放时用另一套，就会出事故。
图 11：同一份数据用不同方式解码。(b) 画面发灰，黑不黑、白不白；(c) 对比度过高，暗部和亮部大片截断；(d) 整体偏色，乍看不明显。
范围用错（附录代码第 9 节）：
- 有限范围当成全范围（图 11b）：黑（16）被当成 16/255 显示，白（235）被当成 235/255 显示。原图里的纯黑像素解码后平均是 16.0，纯白只到 235。画面像蒙了一层灰，PSNR 跌到 27.10 dB。这是最常见的视频颜色问题，网上"导出的视频发灰"大多是它；
- 全范围当成有限范围（图 11c）：码值被拉伸，暗部低于 16 的、亮部高于 235 的全部截断。被截成 0 或 255 的样本从原图的 11.2% 增加到 23.3%，PSNR 28.08 dB。
矩阵用错 ：BT.709 编码，按 BT.601 解码（图 11d），PSNR 35.44 dB。误差没有范围错误那么大，但很隐蔽：红、绿通道平均偏暗约 3 级，蓝通道偏亮 0.7 级，肤色微微发生变化。看纯色更明显：BT.709 的纯红按 BT.601 解码成 (233, 0, 2)，纯绿成了 (20, 255, 9)。高清视频被按标清的矩阵播放，或者反过来，是颜色"有点不对但说不上哪里不对"的常见原因。
怎么避免？在码流和文件里如实标记颜色参数，并在每一个环节检查它们（第十一节）。颜色参数没有标记时，各个软件只能自己猜，而且猜法不一样：FFmpeg 的 swscale 默认按 BT.601 换算，哪怕是高清视频；不少播放器（比如 mpv）则按分辨率猜，高清按 BT.709、标清按 BT.601。一边按 BT.601 生成、一边按 BT.709 播放，就是图 11(d) 的偏色。
九、误差预算与 YUV 文件
1. 每一步损失多少
把整条转换链串起来，看每一步的损失（附录代码第 10 节）：
图 12：从相机输出的 R'G'B' 到编码器的输入，经过的每一步和对应的 PSNR。
| 步骤 | R'G'B' PSNR | 与原图完全相同的像素 |
|---|---|---|
| 浮点 Y'CbCr 往返 | 无损（最大误差 2.2×10−16） | 100% |
| 8 位全范围 4:4:4 | 53.59 dB | 33.6% |
| 8 位有限范围 4:4:4 | 52.60 dB | 26.0% |
| 10 位有限范围 4:4:4 | 无损 | 100% |
| 8 位有限范围 4:2:0 | 39.96 dB | |
| 10 位有限范围 4:2:0 | 40.18 dB |
几个结论：
- 矩阵本身是可逆的，不损失信息；损失来自量化 和二次采样；
- 8 位 Y'CbCr 存不下 8 位 R'G'B' 的全部信息，即使是 4:4:4，也只有约三成像素能原样还原。有限范围的码值更少，比全范围再低约 1 dB。10 位 4:4:4 则足以无损地还原 8 位 RGB；
- 在 4:2:0 面前，8 位和 10 位的差别几乎可以忽略（39.96 对 40.18 dB）：二次采样的损失比量化大得多。10 位视频的主要好处是减少色带和支持 HDR，而不是让 4:2:0 变得更准。
这些损失都发生在编码器开始工作之前。第 09 章讨论编码质量时，要记住参考图像本身已经是 4:2:0 了。
2. YUV 文件的布局
原始 YUV 文件和第 01 章的 RGB 文件一样，没有任何文件头，就是一串字节。同样是 4:2:0，字节的排列方式也有好几种：
图 13：一幅 4×2 的图像在 I420、NV12、YUY2 三种格式中的字节顺序。
- I420 （FFmpeg 叫
yuv420p）：平面格式。先存完整的 Y 平面，再存 U（Cb）平面，最后存 V（Cr）平面。软件编解码器（x264、libavcodec）最常用； - NV12 ：半平面格式。Y 平面之后，U、V 交错存在一个平面里。硬件编解码器、显卡、手机摄像头最常用；
- YUY2 （4:2:2）：打包格式。按 Y、U、Y、V 的顺序交错存放，每两个像素共用一对色度，摄像头的 USB 输出常用。
一帧 W×H 的 8 位 4:2:0 图像，大小是 W×H×1.5 字节。附录代码第 12 节把测试照片转成 I420，写出文件 astronaut_512x512_i420.yuv，大小是 393 216 字节，读回来逐字节核对无误。安装 FFmpeg 后（第 04 章），可以这样播放：
bash
ffplay -f rawvideo -pixel_format yuv420p -video_size 512x512 -color_range tv -colorspace bt709 astronaut_512x512_i420.yuv注意命令里专门告诉了播放器范围（tv 即有限范围）和矩阵（bt709），否则它只能去猜。
十、无损的颜色变换：YCoCg-R
Y'CbCr 的系数是无理数，8 位整数往返不可能无损（上一节已经看到）。有些场合需要严格无损：医学图像、屏幕内容、视频制作的中间文件。为此有一类只用整数加减和移位的颜色变换，最常用的是 YCoCg-R：
CoCg=R−B,=G−t,tY=B+⌊Co/2⌋,=t+⌊Cg/2⌋
逆变换把步骤倒过来：
t=Y−⌊Cg/2⌋,G=Cg+t,B=t−⌊Co/2⌋,R=B+Co
每一步只是给某个变量加上（或减去）另一个变量的函数，倒过来做就能精确还原，不管那个函数里有没有取整。这种结构叫提升（lifting），第 07 章讲整数变换时还会用到。代价是 Co、Cg 的取值范围比原来大一倍，需要 9 位。
附录代码第 11 节在测试照片上验证：逆变换的最大误差是 0，完全无损。三个通道的一阶熵之和从 RGB 的 22.12 bit/像素降到 19.42 bit/像素，说明它同样起到了去相关的作用。H.265 的屏幕内容编码扩展和 H.266 都有类似的"自适应颜色变换"工具。
十一、码流里怎么标记颜色
为了避免第八节的事故，视频码流和容器里都有专门的字段说明颜色参数。H.264、H.265、H.266、AV1 共用 ITU-T H.273 定义的一套编号：
| 字段 | 含义 | 常见取值 |
|---|---|---|
colour_primaries |
三原色和白点 | 1 = BT.709，5 = BT.601（625 行），6 = BT.601（525 行），9 = BT.2020 |
transfer_characteristics |
传递函数 | 1 = BT.709，13 = sRGB，14 = BT.2020（10 位），16 = PQ，18 = HLG |
matrix_coefficients |
Y'CbCr 矩阵 | 0 = 不转换（直接存 GBR），1 = BT.709，5、6 = BT.601，9 = BT.2020 |
video_full_range_flag |
范围 | 0 = 有限范围，1 = 全范围 |
在 H.264 里，这些字段放在 SPS 的 VUI 部分，第 16 章写码流解析器时会亲手把它们读出来。FFmpeg 对应的选项是 -color_primaries、-color_trc、-colorspace、-color_range。一个好习惯是：转码时显式写出这四个参数，不要依赖默认值。
十二、历史小插曲
| 年份 | 事件 |
|---|---|
| 1802 | 托马斯·杨（Thomas Young）提出人眼中有三种感光单元的假说，后由亥姆霍兹发展为三色理论 |
| 1861 | 麦克斯韦用红、绿、蓝三张滤色片拍摄并叠加投影，展示了世界上第一张彩色照片（一条格子花呢缎带） |
| 1931 | CIE 发布 1931 标准观察者和 XYZ 色彩空间 |
| 1953 | NTSC 彩色电视：亮度加两个色差，与黑白电视兼容，亮度系数 0.299 / 0.587 / 0.114 由此而来 |
| 1976 | CIE 发布 L*a*b* 和 u'v' 等更接近感知均匀的色彩空间 |
| 1982 | CCIR 601（今 BT.601）规定数字视频的 Y'CbCr、4:2:2 采样和 16～235 的有限范围 |
| 1990 | BT.709 首次发布，定义高清电视的原色和传递函数 |
| 1996 | 惠普和微软提出 sRGB，1999 年成为国际标准 IEC 61966-2-1 |
| 2012 | BT.2020 发布，定义超高清电视的宽色域 |
| 2014 | SMPTE ST 2084 定义 PQ 曲线 |
| 2016 | BT.2100 发布，统一 HDR 的 PQ 和 HLG 两种方案 |
彩色电视当年面临的约束和今天的视频编码惊人地相似：频带有限，必须压缩；还要和已有的黑白电视兼容，所以必须单独传一个亮度信号。"亮度 + 色差 + 降低色差带宽"这个 1950 年代的方案，七十年后依然是每一个视频编码器的第一步。
小结
- 颜色是三维的 ：人眼只有三种视锥细胞，光谱被投影成三个数。CIE XYZ 是标准的三维坐标，其中 Y 就是亮度。
- 色度图与色域 ： (x, y) 去掉了亮度，所有颜色落在马蹄形内。设备的三原色构成色域三角形；BT.709 只覆盖 BT.2020 的约一半。
- 亮度系数由原色和白点决定 ：RGB → XYZ 矩阵可以从原色色度和白点推导，第二行就是 KR、 KG、 KB。BT.709 是 0.2126 / 0.7152 / 0.0722，BT.601 的 0.299 / 0.587 / 0.114 来自 1953 年的 NTSC。
- gamma 是为了人眼：人眼对亮度的感受近似立方根。8 位 gamma 编码的每一级 ΔL* 都不超过 0.51，线性编码要 11 位才能做到。HDR 用 PQ 或 HLG 代替传统 gamma。
- Y'CbCr = 亮度 + 两个色差 ： PB=(B′−Y′)/(2(1−KB))， PR=(R′−Y′)/(2(1−KR))。它把约 89% 的能量集中到 Y'，与针对单张图像最优的 PCA 几乎一样好。
- 有限范围：8 位视频的黑是 16、白是 235，色差 16～240；JPEG 和屏幕录制常用全范围 0～255。
- 色度二次采样：人眼对颜色细节不敏感，4:2:0 把色度的分辨率减半，数据量从 24 降到 12 bit/像素，看起来几乎没有区别，但细小的彩色细节会渗色。
- 颜色参数必须标记：范围、矩阵、原色、传递函数四项，任何一项编码和解码不一致，都会造成发灰、过曝或偏色。
下一章开始讲压缩本身：四种冗余怎么分别消除，"预测 + 变换 + 量化 + 熵编码"的混合编码框架是怎么搭起来的，以及从 H.261 到 H.266 几十年来到底改进了什么。
练习题
- （编码） 按 BT.601、8 位有限范围，把纯红 (R′,G′,B′)=(1,0,0) 编码成 (Y,Cb,Cr)。再按 BT.2020、10 位有限范围编码同一个纯红。
- （推导） 证明 PB=(B′−Y′)/(2(1−KB)) 的取值范围恰好是 −0.5, 0.5，并指出取到两个端点的颜色。
- （码率） 1080p、60 帧/秒、10 位、4:2:2 的原始视频码率是多少？专业演播室常用的 3G-SDI 接口标称速率约 2.97 Gbit/s，装得下吗？
- （gamma） 第四节说线性编码要 11 位才能让最大 ΔL* 不超过 8 位 sRGB 的 0.51。如果只要求每一级 ΔL* 不超过 1（刚好能察觉），线性编码需要几位？（提示：线性编码最大的台阶是第一级。）
- （色域） 用第二节的表格，算出 DCI-P3 的色域面积是 BT.709 的多少倍（分别按 xy 和 u'v' 计算）。
- （编程） 仿照附录代码第 8 节的
subsample_420，写一个 4:2:2（只在水平方向把色度减半）的版本，下采样用平均、上采样用双线性插值，计算 R'G'B' PSNR，并与 4:4:4 和 4:2:0 比较。 - （YCoCg-R） 输入是 8 位 RGB 时， Co 和 Cg 的理论取值范围各是多少？为什么需要 9 位？
参考答案
- BT.601： Y=16+219×0.299=81.5→81， Cb=128+224×(−0.1687)=90.2→90， Cr=128+224×0.5=240，即 (81, 90, 240) 。BT.2020、10 位： Y=4×(16+219×0.2627)=294.1→294， Cb=4×(128−224×0.1396)=386.9→387， Cr=4×240=960，即 (294, 387, 960) 。两个结果都由附录代码的
rgb_to_ycbcr实际算出。对比正文表格里 BT.709 的纯红 (63, 102, 240)，同一个"纯红"在不同标准下的 Y 值差别很大，这正是矩阵用错时颜色会变的原因。 - B′−Y′=(1−KB)B′−KRR′−KGG′。 B′ 的系数为正， R′、 G′ 的系数为负，且 KR+KG=1−KB。取 B′=1、 R′=G′=0（纯蓝）得最大值 1−KB；取 B′=0、 R′=G′=1（黄）得最小值 −(1−KB)。除以 2(1−KB)，范围恰好是 −0.5, 0.5。同理， PR 在纯红处取 0.5，在青色处取 −0.5。
- 4:2:2 时每个像素平均 1 个亮度样本加 1 个色度样本（Cb、Cr 各占一半），10 位时 20 bit/像素。码率 =1920×1080×60×20=2488320000 bit/s，约 2.49 Gbit/s，小于 2.97 Gbit/s，装得下。实际上 3G-SDI 正是为 1080p60 4:2:2 10 位设计的，多出来的带宽用于行、场消隐期间的辅助数据（音频、时间码等）。
- 线性编码的码值正比于亮度，暗部 L∗=903.3Y，所以第一级台阶 ΔL∗=903.3/(2N−1)。要求它不超过 1，需要 2N−1≥903.3： N=9 时为 903.3/511=1.77，不够； N=10 时为 903.3/1023=0.88，满足。即使标准放宽到"刚好能察觉"，线性编码也要 10 位才赶得上 8 位 gamma 编码。
- xy： 0.1520/0.1120≈1.36 倍；u'v'： 0.0815/0.0649≈1.26 倍。在感知更均匀的 u'v' 坐标下，DCI-P3 比 BT.709 大约 26%。
- 参考实现：把每个色度平面
p改成np.round(p.reshape(512, 256, 2).mean(axis=2))（每行相邻两个样本平均），再用resize_linear(small, p.shape)插值回原尺寸。运行结果：4:2:2 的 R'G'B' PSNR 为 41.75 dB，介于 4:4:4 的 52.60 dB 和 4:2:0 的 39.96 dB 之间。只在一个方向减半，损失也大约只有 4:2:0 的一半。 - Co=R−B，取值从 0−255=−255 到 255−0=255，共 511 种可能。 t=B+⌊Co/2⌋ 介于 B 和 R 之间，所以在 0～255 内， Cg=G−t 同样是 −255～255。511 种取值需要 9 位才能存下。 Y=t+⌊Cg/2⌋ 介于 t 和 G 之间，仍在 0～255 内，8 位足够。附录代码在测试照片上实测的范围是 Co 从 −74 到 187、Cg 从 −112 到 64，都在理论范围内。
参考资料
- C. Poynton. Digital Video and HD: Algorithms and Interfaces. 2nd ed. Morgan Kaufmann, 2012.（gamma、luma、Y'CbCr、色度二次采样最权威、最细致的参考书，本章大量观点出自此书）
- E. Reinhard, E. A. Khan, A. O. Akyüz, G. M. Johnson. Color Imaging: Fundamentals and Applications. A K Peters, 2008.
- G. Wyszecki, W. S. Stiles. Color Science: Concepts and Methods, Quantitative Data and Formulae. 2nd ed. Wiley, 1982.（色度学的经典大部头，CIE 配色函数的完整表格）
- C. Wyman, P.-P. Sloan, P. Shirley. Simple Analytic Approximations to the CIE XYZ Color Matching Functions. Journal of Computer Graphics Techniques, 2(2): 1--11, 2013.
- K. T. Mullen. The Contrast Sensitivity of Human Colour Vision to Red-Green and Blue-Yellow Chromatic Gratings. The Journal of Physiology, 359: 381--400, 1985.
- H. S. Malvar, G. J. Sullivan. YCoCg-R: A Color Space with RGB Reversibility and Low Dynamic Range. Joint Video Team document JVT-I014, 2003.
- 标准文档：ITU-R BT.601、BT.709、BT.1886、BT.2020、BT.2087、BT.2100；SMPTE ST 2084；IEC 61966-2-1（sRGB）；ITU-T H.273（码流中的颜色参数编号）。
附录：完整代码
下面的代码复现了本章所有数值：配色函数与色度坐标、RGB → XYZ 矩阵与亮度系数、色域面积与色域转换矩阵、传递函数与 ΔL*、Y'CbCr 矩阵与彩条编码、去相关与主成分分析、色度与亮度模糊对比、色度二次采样、范围与矩阵用错、误差预算、YCoCg-R，以及 YUV 文件布局，最后画出只模糊色度与只模糊亮度的对比图。依赖 numpy、matplotlib 和 scikit-image，保存为 example.py 后运行 python example.py 即可。正文里的配图由同目录的 make_figures.py 生成。
python
"""视频编码自学教程 02：颜色与色彩空间 ------ 附录代码
1. 配色函数与色度坐标：用解析近似公式算出 CIE 1931 配色函数和光谱轨迹；
2. 由三原色和白点推导 RGB -> XYZ 矩阵，亮度系数 0.2126 / 0.7152 / 0.0722 从哪里来；
3. 色域面积：BT.709、DCI-P3、BT.2020；BT.709 -> BT.2020 的转换矩阵；
4. 传递函数（gamma）：线性编码与 sRGB 编码每一级的感知步长 ΔL*，以及 PQ、HLG；
5. Y'CbCr：BT.601 / 709 / 2020 的矩阵，8 位有限范围的整数值（彩条）；
6. 去相关：RGB 与 Y'CbCr 三个通道的相关系数、方差占比，主成分分析；
7. 人眼对色度细节不敏感：只模糊色度与只模糊亮度的对比；
8. 色度二次采样：4:4:4 / 4:2:2 / 4:2:0 的数据量，4:2:0 的几种上下采样组合；
9. 常见错误：范围（有限 / 全范围）用错，矩阵（601 / 709）用错；
10. 误差预算：整条转换链每一步损失多少；
11. 无损的颜色变换 YCoCg-R；
12. YUV 文件的内存布局：I420、NV12、YUY2，写出并读回一个 I420 文件。
运行：python example.py（需要 numpy、matplotlib、scikit-image）
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from skimage import data as skdata
plt.rcParams["font.sans-serif"] = ["Microsoft YaHei", "SimHei", "DejaVu Sans"]
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False
# ---------------- 1. 配色函数与色度坐标 ----------------
def _g(lam, mu, s1, s2):
"""左右宽度不同的高斯函数。"""
s = np.where(lam < mu, s1, s2)
return np.exp(-0.5 * ((lam - mu) / s) ** 2)
def cmf(lam):
"""CIE 1931 2° 标准观察者配色函数的解析近似（Wyman, Sloan, Shirley, 2013）。"""
x = (1.056 * _g(lam, 599.8, 37.9, 31.0) + 0.362 * _g(lam, 442.0, 16.0, 26.7)
- 0.065 * _g(lam, 501.1, 20.4, 26.2))
y = 0.821 * _g(lam, 568.8, 46.9, 40.5) + 0.286 * _g(lam, 530.9, 16.3, 31.1)
z = 1.217 * _g(lam, 437.0, 11.8, 36.0) + 0.681 * _g(lam, 459.0, 26.0, 13.8)
return np.stack([x, y, z], axis=-1)
print("=== 1. 配色函数与色度坐标 ===")
lam = np.arange(380, 781, 1.0)
xyz_bar = cmf(lam)
for name, col in zip("xyz", xyz_bar.T):
print(f"{name}bar 峰值在 {lam[np.argmax(col)]:.0f} nm，峰值 {col.max():.3f}")
for l0 in [450, 520, 580, 620]:
X, Y, Z = cmf(np.array([float(l0)]))[0]
print(f"{l0} nm 的单色光：色度坐标 x = {X / (X + Y + Z):.4f}，y = {Y / (X + Y + Z):.4f}")
# ---------------- 2. RGB -> XYZ 矩阵 ----------------
print("\n=== 2. 由三原色和白点推导 RGB -> XYZ 矩阵 ===")
PRIMARIES = { # (R, G, B) 三原色的 xy 色度坐标
"BT.709": [(0.640, 0.330), (0.300, 0.600), (0.150, 0.060)],
"DCI-P3": [(0.680, 0.320), (0.265, 0.690), (0.150, 0.060)],
"BT.2020": [(0.708, 0.292), (0.170, 0.797), (0.131, 0.046)],
"NTSC 1953": [(0.67, 0.33), (0.21, 0.71), (0.14, 0.08)],
}
D65 = (0.3127, 0.3290)
ILL_C = (0.3101, 0.3162) # NTSC 1953 用的 C 光源白点
def xy_to_xyz(x, y):
"""亮度 Y = 1 时，色度坐标 (x, y) 对应的 XYZ。"""
return np.array([x / y, 1.0, (1 - x - y) / y])
def rgb_to_xyz_matrix(prims, white):
P = np.column_stack([xy_to_xyz(*p) for p in prims]) # 每列是一个原色（Y = 1）
S = np.linalg.solve(P, xy_to_xyz(*white)) # 缩放，使 R = G = B = 1 时恰好是白点
return P * S
np.set_printoptions(precision=4, suppress=True)
M709 = rgb_to_xyz_matrix(PRIMARIES["BT.709"], D65)
print("BT.709 RGB -> XYZ 矩阵：")
print(M709)
for name, white in [("BT.709", D65), ("BT.2020", D65), ("NTSC 1953", ILL_C)]:
M = rgb_to_xyz_matrix(PRIMARIES[name], white)
print(f"{name:<10s} 第二行（亮度系数 Kr, Kg, Kb）= {M[1]}")
# ---------------- 3. 色域 ----------------
print("\n=== 3. 色域面积 ===")
def tri_area(pts):
(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) = pts
return abs((x2 - x1) * (y3 - y1) - (x3 - x1) * (y2 - y1)) / 2
def xy_to_uv(x, y):
"""CIE 1976 u'v' 色度坐标（比 xy 更接近感知均匀）。"""
d = -2 * x + 12 * y + 3
return 4 * x / d, 9 * y / d
for name in ["BT.709", "DCI-P3", "BT.2020"]:
a_xy = tri_area(PRIMARIES[name])
a_uv = tri_area([xy_to_uv(*p) for p in PRIMARIES[name]])
r_xy = a_xy / tri_area(PRIMARIES["BT.2020"])
r_uv = a_uv / tri_area([xy_to_uv(*p) for p in PRIMARIES["BT.2020"]])
print(f"{name:<8s} xy 面积 {a_xy:.4f}（BT.2020 的 {r_xy:.1%}），u'v' 面积 {a_uv:.4f}（{r_uv:.1%}）")
M2020 = rgb_to_xyz_matrix(PRIMARIES["BT.2020"], D65)
M_709_to_2020 = np.linalg.solve(M2020, M709)
print("BT.709 RGB -> BT.2020 RGB（线性光）：")
print(M_709_to_2020)
print("BT.709 的纯红 (1, 0, 0) 在 BT.2020 里是", M_709_to_2020 @ [1, 0, 0])
print("BT.2020 的纯绿 (0, 1, 0) 在 BT.709 里是", np.linalg.solve(M_709_to_2020, [0, 1, 0]),
"（有负值：超出 BT.709 色域）")
# ---------------- 4. 传递函数 ----------------
print("\n=== 4. 传递函数（gamma） ===")
def bt709_oetf(L):
L = np.asarray(L, dtype=float)
return np.where(L < 0.018, 4.5 * L, 1.099 * L ** 0.45 - 0.099)
def srgb_eotf(V):
"""sRGB 编码值 -> 线性光（0~1）。"""
V = np.asarray(V, dtype=float)
return np.where(V <= 0.04045, V / 12.92, ((V + 0.055) / 1.055) ** 2.4)
def lstar(Y):
"""CIE 1976 明度 L*（0~100），Y 为相对亮度（0~1）。"""
Y = np.asarray(Y, dtype=float)
return np.where(Y > (6 / 29) ** 3, 116 * np.cbrt(Y) - 16, Y * 903.2963)
def pq_inverse_eotf(nits):
"""SMPTE ST 2084（PQ）：绝对亮度（cd/m^2）-> 编码值 0~1。"""
m1, m2 = 2610 / 16384, 2523 / 4096 * 128
c1, c2, c3 = 3424 / 4096, 2413 / 4096 * 32, 2392 / 4096 * 32
Y = np.asarray(nits, dtype=float) / 10000
return ((c1 + c2 * Y ** m1) / (1 + c3 * Y ** m1)) ** m2
def hlg_oetf(E):
a = 0.17883277
b, c = 1 - 4 * a, 0.5 - a * np.log(4 * a)
E = np.asarray(E, dtype=float)
return np.where(E <= 1 / 12, np.sqrt(3 * E), a * np.log(np.maximum(12 * E - b, 1e-12)) + c)
print(f"18% 灰：明度 L* = {lstar(0.18):.1f}；BT.709 OETF 把它编码成 {bt709_oetf(0.18):.4f}，"
f"L = 0.5 编码成 {bt709_oetf(0.5):.4f}")
codes = np.arange(256)
dL_lin = np.diff(lstar(codes / 255)) # 线性编码：码值正比于亮度
dL_srgb = np.diff(lstar(srgb_eotf(codes / 255))) # sRGB 编码
print(f"8 位线性编码：第一级 ΔL* = {dL_lin[0]:.2f}，最大 ΔL* = {dL_lin.max():.2f}，"
f"ΔL* > 1 的台阶有 {np.sum(dL_lin > 1)} 个，"
f"L* < 50 的暗部只分到 {np.sum(lstar(codes / 255) < 50)} 个码值")
print(f"8 位 sRGB 编码：第一级 ΔL* = {dL_srgb[0]:.2f}，最大 ΔL* = {dL_srgb.max():.2f}，"
f"ΔL* > 1 的台阶有 {np.sum(dL_srgb > 1)} 个，"
f"L* < 50 的暗部分到 {np.sum(lstar(srgb_eotf(codes / 255)) < 50)} 个码值")
for n in range(8, 17):
c = np.arange(2 ** n)
if np.diff(lstar(c / (2 ** n - 1))).max() <= dL_srgb.max():
print(f"线性编码要 {n} 位，最大 ΔL* 才能不超过 8 位 sRGB 的 {dL_srgb.max():.2f}")
break
for nits in [0.1, 1, 100, 1000, 10000]:
print(f"PQ：{nits:>7g} cd/m^2 -> 编码值 {pq_inverse_eotf(nits):.4f}")
print(f"HLG：E = 1/12 -> {hlg_oetf(1 / 12):.4f}，E = 1 -> {hlg_oetf(1.0):.4f}")
# ---------------- 5. Y'CbCr ----------------
print("\n=== 5. Y'CbCr ===")
KRKB = {"BT.601": (0.299, 0.114), "BT.709": (0.2126, 0.0722), "BT.2020": (0.2627, 0.0593)}
def ycbcr_matrix(kr, kb):
"""R'G'B'（0~1）-> Y'（0~1）、Pb、Pr（-0.5~0.5）。"""
kg = 1 - kr - kb
return np.array([[kr, kg, kb],
[-kr / (2 * (1 - kb)), -kg / (2 * (1 - kb)), 0.5],
[0.5, -kg / (2 * (1 - kr)), -kb / (2 * (1 - kr))]])
for name, (kr, kb) in KRKB.items():
print(f"{name}：Kr = {kr}，Kb = {kb}，Kg = {1 - kr - kb:.4f}")
print(ycbcr_matrix(kr, kb))
A709 = ycbcr_matrix(*KRKB["BT.709"])
print("BT.709 逆矩阵（Y'PbPr -> R'G'B'）：")
print(np.linalg.inv(A709))
def rgb_to_ycbcr(rgb, std="BT.709", full=False, bits=8):
"""R'G'B'（0~1 浮点）-> 整数 Y'CbCr。"""
ypp = rgb @ ycbcr_matrix(*KRKB[std]).T
s = 2 ** (bits - 8)
if full:
scale, off = np.array([255, 255, 255]) * s, np.array([0, 128, 128]) * s
hi = 2 ** bits - 1
else:
scale, off = np.array([219, 224, 224]) * s, np.array([16, 128, 128]) * s
hi = 2 ** bits - 1
return np.clip(np.round(ypp * scale + off), 0, hi).astype(np.int32)
def ycbcr_to_rgb(ycc, std="BT.709", full=False, bits=8):
"""整数 Y'CbCr -> R'G'B'（0~1 浮点，未截断）。"""
s = 2 ** (bits - 8)
if full:
scale, off = np.array([255, 255, 255]) * s, np.array([0, 128, 128]) * s
else:
scale, off = np.array([219, 224, 224]) * s, np.array([16, 128, 128]) * s
ypp = (ycc - off) / scale
return ypp @ np.linalg.inv(ycbcr_matrix(*KRKB[std])).T
bars = {"白": (1, 1, 1), "黄": (1, 1, 0), "青": (0, 1, 1), "绿": (0, 1, 0),
"品红": (1, 0, 1), "红": (1, 0, 0), "蓝": (0, 0, 1), "黑": (0, 0, 0)}
print("100% 彩条的 8 位 BT.709 有限范围编码 (Y, Cb, Cr)：")
for name, rgb in bars.items():
print(f" {name:<3s}{tuple(int(v) for v in rgb_to_ycbcr(np.array(rgb, float)))}")
# ---------------- 6. 去相关 ----------------
print("\n=== 6. 去相关：RGB 与 Y'CbCr ===")
rgb8 = skdata.astronaut() # 512x512x3，uint8
rgb = rgb8.astype(float) / 255
ypp = rgb @ A709.T # Y'、Pb、Pr（浮点）
for name, arr, labels in [("R'G'B'", rgb, "RGB"), ("Y'CbCr", ypp, ["Y'", "Cb", "Cr"])]:
flat = arr.reshape(-1, 3)
C = np.corrcoef(flat.T)
var = flat.var(axis=0)
print(f"{name} 相关系数矩阵：")
print(C)
print(f" 方差占比：" + "，".join(f"{l} {v / var.sum():.1%}" for l, v in zip(labels, var)))
cov = np.cov(rgb.reshape(-1, 3).T)
w, V = np.linalg.eigh(cov)
w, V = w[::-1], V[:, ::-1]
pc1 = V[:, 0] * np.sign(V[:, 0].sum())
print(f"主成分分析：三个主成分的方差占比 {w[0] / w.sum():.1%}，{w[1] / w.sum():.1%}，{w[2] / w.sum():.1%}")
print(f" 第一主成分方向（归一化成和为 1）：{pc1 / pc1.sum()}，对比 BT.709 亮度系数 [0.2126 0.7152 0.0722]")
# ---------------- 7. 只模糊色度 vs 只模糊亮度 ----------------
print("\n=== 7. 只模糊色度 vs 只模糊亮度 ===")
def block_mean(img, k):
h, w = img.shape
return img.reshape(h // k, k, w // k, k).mean(axis=(1, 3))
def resize_linear(img, shape):
"""双线性缩放（像素中心对齐，边缘外推取边界值）。"""
h, w = img.shape
H, W = shape
yi = np.clip((np.arange(H) + 0.5) * h / H - 0.5, 0, h - 1)
xi = np.clip((np.arange(W) + 0.5) * w / W - 0.5, 0, w - 1)
y0, x0 = np.floor(yi).astype(int), np.floor(xi).astype(int)
y1, x1 = np.minimum(y0 + 1, h - 1), np.minimum(x0 + 1, w - 1)
fy, fx = (yi - y0)[:, None], (xi - x0)[None, :]
top = img[y0][:, x0] * (1 - fx) + img[y0][:, x1] * fx
bot = img[y1][:, x0] * (1 - fx) + img[y1][:, x1] * fx
return top * (1 - fy) + bot * fy
def blur(plane, k):
return resize_linear(block_mean(plane, k), plane.shape)
def to8(rgb_float):
return np.clip(np.round(rgb_float * 255), 0, 255)
def psnr(a, b, peak=255.0):
mse = np.mean((np.asarray(a, float) - np.asarray(b, float)) ** 2)
return 10 * np.log10(peak ** 2 / mse)
inv709 = np.linalg.inv(A709)
for k in [2, 4, 8]:
chroma_blur = ypp.copy()
chroma_blur[..., 1] = blur(ypp[..., 1], k)
chroma_blur[..., 2] = blur(ypp[..., 2], k)
luma_blur = ypp.copy()
luma_blur[..., 0] = blur(ypp[..., 0], k)
p_c = psnr(rgb8, to8(chroma_blur @ inv709.T))
p_l = psnr(rgb8, to8(luma_blur @ inv709.T))
print(f"{k}x{k} 模糊：只模糊色度 PSNR = {p_c:.2f} dB（数据量 {(1 + 2 / k ** 2) / 3:.1%}），"
f"只模糊亮度 PSNR = {p_l:.2f} dB（数据量 {(1 / k ** 2 + 2) / 3:.1%}）")
# ---------------- 8. 色度二次采样 ----------------
print("\n=== 8. 色度二次采样 ===")
for name, a, b in [("4:4:4", 4, 4), ("4:2:2", 2, 2), ("4:2:0", 2, 0), ("4:1:1", 1, 1)]:
chroma_per_4x2 = 2 * (a + b) # J = 4 的 4x2 区域里两路色度的样本数
bpp = (8 * 8 + 8 * chroma_per_4x2) / 8 # 8 个亮度样本 + 色度样本，平均到每个像素
print(f"{name}：每 4x2 个像素有 8 个 Y'、{chroma_per_4x2} 个色度样本，8 位时平均 {bpp:.0f} bit/像素")
ycc8 = rgb_to_ycbcr(rgb) # 8 位有限范围 4:4:4
ref = to8(ycbcr_to_rgb(ycc8)) # 只经过 8 位量化的参考
print(f"4:4:4（只做 8 位有限范围量化）RGB PSNR = {psnr(rgb8, ref):.2f} dB")
def subsample_420(ycc, down="mean", up="linear"):
out = ycc.astype(float).copy()
for c in (1, 2):
p = ycc[..., c].astype(float)
small = block_mean(p, 2) if down == "mean" else p[::2, ::2]
small = np.round(small) # 色度平面同样存成 8 位整数
if up == "linear":
out[..., c] = resize_linear(small, p.shape)
else:
out[..., c] = np.repeat(np.repeat(small, 2, axis=0), 2, axis=1)
return out
for down, up in [("drop", "nearest"), ("mean", "nearest"), ("mean", "linear")]:
rec = subsample_420(ycc8, down, up)
p_rgb = psnr(rgb8, to8(ycbcr_to_rgb(np.round(rec))))
p_cb = psnr(ycc8[..., 1], np.round(rec[..., 1]))
p_cr = psnr(ycc8[..., 2], np.round(rec[..., 2]))
print(f"4:2:0 下采样 {down:<5s} 上采样 {up:<8s}：RGB PSNR = {p_rgb:.2f} dB，"
f"Cb 平面 {p_cb:.2f} dB，Cr 平面 {p_cr:.2f} dB")
# ---------------- 9. 常见错误 ----------------
print("\n=== 9. 范围与矩阵用错 ===")
lim = rgb_to_ycbcr(rgb) # 正确：BT.709 有限范围
wrong_full = to8(ycbcr_to_rgb(lim, full=True)) # 有限范围被当成全范围解码
print(f"有限范围当成全范围解码：PSNR = {psnr(rgb8, wrong_full):.2f} dB，"
f"原图纯黑像素解码成 {wrong_full[rgb8.sum(axis=2) == 0].mean():.1f}（应为 0），"
f"纯白（255,255,255）解码成 {ycbcr_to_rgb(np.array([235, 128, 128]), full=True)[0] * 255:.1f}")
full = rgb_to_ycbcr(rgb, full=True)
wrong_lim = to8(ycbcr_to_rgb(full, full=False)) # 全范围被当成有限范围解码
clipped = np.mean((wrong_lim == 0) | (wrong_lim == 255))
print(f"全范围当成有限范围解码：PSNR = {psnr(rgb8, wrong_lim):.2f} dB，"
f"被截到 0 或 255 的样本占 {clipped:.1%}（原图 {np.mean((rgb8 == 0) | (rgb8 == 255)):.1%}）")
wrong_mat = to8(ycbcr_to_rgb(lim, std="BT.601")) # BT.709 编码，BT.601 解码
print(f"BT.709 编码、BT.601 解码：PSNR = {psnr(rgb8, wrong_mat):.2f} dB，"
f"各通道平均偏差 R {np.mean(wrong_mat[..., 0] - rgb8[..., 0]):+.2f}，"
f"G {np.mean(wrong_mat[..., 1] - rgb8[..., 1]):+.2f}，B {np.mean(wrong_mat[..., 2] - rgb8[..., 2]):+.2f}")
for name in ["红", "绿", "蓝"]:
c = rgb_to_ycbcr(np.array(bars[name], float))
print(f" 纯{name} {bars[name]} 按 BT.601 解码成 {tuple(int(v) for v in to8(ycbcr_to_rgb(c, std='BT.601')))}")
# ---------------- 10. 误差预算 ----------------
print("\n=== 10. 误差预算 ===")
roundtrip = (rgb @ A709.T) @ inv709.T
print(f"浮点 Y'CbCr 往返：最大误差 {np.abs(roundtrip - rgb).max():.1e}")
for label, kw in [("8 位全范围 4:4:4", dict(full=True)), ("8 位有限范围 4:4:4", dict()),
("10 位有限范围 4:4:4", dict(bits=10))]:
rec = to8(ycbcr_to_rgb(rgb_to_ycbcr(rgb, **kw), **kw))
same = np.mean(np.all(rec == rgb8, axis=2))
p = "无穷大" if same == 1 else f"{psnr(rgb8, rec):.2f} dB"
print(f"{label:<16s} RGB PSNR = {p}，与原图完全相同的像素占 {same:.1%}")
for label, bits in [("8 位有限范围 4:2:0", 8), ("10 位有限范围 4:2:0", 10)]:
ycc = rgb_to_ycbcr(rgb, bits=bits)
rec = to8(ycbcr_to_rgb(np.round(subsample_420(ycc)), bits=bits))
print(f"{label:<16s} RGB PSNR = {psnr(rgb8, rec):.2f} dB")
# ---------------- 11. YCoCg-R ----------------
print("\n=== 11. 无损颜色变换 YCoCg-R ===")
R, G, B = (rgb8[..., i].astype(np.int32) for i in range(3))
Co = R - B
t = B + (Co >> 1)
Cg = G - t
Y = t + (Cg >> 1)
t2 = Y - (Cg >> 1)
G2 = Cg + t2
B2 = t2 - (Co >> 1)
R2 = B2 + Co
print(f"逆变换后最大误差：{max(np.abs(R2 - R).max(), np.abs(G2 - G).max(), np.abs(B2 - B).max())}"
f"（完全无损）")
print(f"取值范围：Y {Y.min()}~{Y.max()}，Co {Co.min()}~{Co.max()}，Cg {Cg.min()}~{Cg.max()}"
"（Co、Cg 需要 9 位）")
def entropy(v):
_, counts = np.unique(v, return_counts=True)
p = counts / counts.sum()
return -np.sum(p * np.log2(p))
h_rgb = sum(entropy(c) for c in (R, G, B))
h_ycocg = sum(entropy(c) for c in (Y, Co, Cg))
print(f"三个通道的一阶熵之和：RGB {h_rgb:.2f} bit/像素，YCoCg-R {h_ycocg:.2f} bit/像素")
# ---------------- 12. YUV 文件布局 ----------------
print("\n=== 12. YUV 文件的内存布局 ===")
w, h = 4, 2
Yl = np.array([f"Y{i}" for i in range(w * h)]).reshape(h, w)
Ul = np.array([f"U{i}" for i in range(w // 2 * h // 2)]).reshape(h // 2, w // 2)
Vl = np.array([f"V{i}" for i in range(w // 2 * h // 2)]).reshape(h // 2, w // 2)
i420 = list(Yl.ravel()) + list(Ul.ravel()) + list(Vl.ravel())
nv12 = list(Yl.ravel()) + [s for uv in zip(Ul.ravel(), Vl.ravel()) for s in uv]
U2 = np.array([f"U{i}" for i in range(w // 2 * h)]).reshape(h, w // 2) # 4:2:2：每行都有色度
V2 = np.array([f"V{i}" for i in range(w // 2 * h)]).reshape(h, w // 2)
yuy2 = [s for r in range(h) for c in range(w // 2)
for s in (Yl[r, 2 * c], U2[r, c], Yl[r, 2 * c + 1], V2[r, c])]
print("4x2 的图像：")
print(" I420（YUV420p）：", " ".join(i420))
print(" NV12 ：", " ".join(nv12))
print(" YUY2（4:2:2） ：", " ".join(yuy2))
ycc = rgb_to_ycbcr(rgb)
Yp = ycc[..., 0].astype(np.uint8)
Up = np.round(block_mean(ycc[..., 1].astype(float), 2)).astype(np.uint8)
Vp = np.round(block_mean(ycc[..., 2].astype(float), 2)).astype(np.uint8)
fname = "astronaut_512x512_i420.yuv"
with open(fname, "wb") as f:
for plane in (Yp, Up, Vp):
f.write(plane.tobytes())
raw = np.fromfile(fname, dtype=np.uint8)
W, H = 512, 512
Yr = raw[:W * H].reshape(H, W)
Ur = raw[W * H: W * H * 5 // 4].reshape(H // 2, W // 2)
Vr = raw[W * H * 5 // 4:].reshape(H // 2, W // 2)
print(f"写出 {fname}：{raw.size:,} 字节 = 512×512×1.5；读回后三个平面完全一致："
f"{np.array_equal(Yr, Yp) and np.array_equal(Ur, Up) and np.array_equal(Vr, Vp)}")
print("播放命令：ffplay -f rawvideo -pixel_format yuv420p -video_size 512x512 "
f"-color_range tv -colorspace bt709 {fname}")
# ---------------- 画图：只模糊色度 vs 只模糊亮度 ----------------
k = 8
cb = ypp.copy()
cb[..., 1], cb[..., 2] = blur(ypp[..., 1], k), blur(ypp[..., 2], k)
lb = ypp.copy()
lb[..., 0] = blur(ypp[..., 0], k)
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(12, 4.4))
for ax, img, title in [(axes[0], rgb8, "原图"),
(axes[1], to8(cb @ inv709.T) / 255, "只模糊色度（8x8）"),
(axes[2], to8(lb @ inv709.T) / 255, "只模糊亮度（8x8）")]:
ax.imshow(img)
ax.set_title(title)
ax.axis("off")
fig.tight_layout()
plt.show()运行后的关键输出（节选）：
text
=== 2. 由三原色和白点推导 RGB -> XYZ 矩阵 ===
BT.709 第二行（亮度系数 Kr, Kg, Kb）= [0.2126 0.7152 0.0722]
BT.2020 第二行（亮度系数 Kr, Kg, Kb）= [0.2627 0.678 0.0593]
NTSC 1953 第二行（亮度系数 Kr, Kg, Kb）= [0.2989 0.5866 0.1144]
=== 3. 色域面积 ===
BT.709 xy 面积 0.1120（BT.2020 的 52.9%），u'v' 面积 0.0649（58.0%）
DCI-P3 xy 面积 0.1520（BT.2020 的 71.7%），u'v' 面积 0.0815（72.9%）
BT.2020 的纯绿 (0, 1, 0) 在 BT.709 里是 [-0.5876 1.1329 -0.1006] （有负值：超出 BT.709 色域）
=== 4. 传递函数（gamma） ===
18% 灰：明度 L* = 49.5；BT.709 OETF 把它编码成 0.4090，L = 0.5 编码成 0.7055
8 位线性编码：第一级 ΔL* = 3.54，最大 ΔL* = 3.54，ΔL* > 1 的台阶有 15 个，L* < 50 的暗部只分到 47 个码值
8 位 sRGB 编码：第一级 ΔL* = 0.27，最大 ΔL* = 0.51，ΔL* > 1 的台阶有 0 个，L* < 50 的暗部分到 119 个码值
线性编码要 11 位，最大 ΔL* 才能不超过 8 位 sRGB 的 0.51
PQ： 100 cd/m^2 -> 编码值 0.5081
PQ： 1000 cd/m^2 -> 编码值 0.7518
=== 6. 去相关：RGB 与 Y'CbCr ===
方差占比：R 36.1%，G 31.5%，B 32.5%
方差占比：Y' 88.6%，Cb 3.1%，Cr 8.3%
主成分分析：三个主成分的方差占比 89.3%，10.0%，0.7%
=== 7. 只模糊色度 vs 只模糊亮度 ===
8x8 模糊：只模糊色度 PSNR = 33.04 dB（数据量 34.4%），只模糊亮度 PSNR = 21.10 dB（数据量 67.2%）
=== 8. 色度二次采样 ===
4:4:4（只做 8 位有限范围量化）RGB PSNR = 52.60 dB
4:2:0 下采样 mean 上采样 linear ：RGB PSNR = 39.96 dB，Cb 平面 43.68 dB，Cr 平面 44.56 dB
=== 9. 范围与矩阵用错 ===
有限范围当成全范围解码：PSNR = 27.10 dB，原图纯黑像素解码成 16.0（应为 0），纯白（255,255,255）解码成 235.0
全范围当成有限范围解码：PSNR = 28.08 dB，被截到 0 或 255 的样本占 23.3%（原图 11.2%）
BT.709 编码、BT.601 解码：PSNR = 35.44 dB，各通道平均偏差 R -3.17，G -3.10，B +0.72
=== 10. 误差预算 ===
8 位有限范围 4:4:4 RGB PSNR = 52.60 dB，与原图完全相同的像素占 26.0%
10 位有限范围 4:4:4 RGB PSNR = 无穷大，与原图完全相同的像素占 100.0%
8 位有限范围 4:2:0 RGB PSNR = 39.96 dB
10 位有限范围 4:2:0 RGB PSNR = 40.18 dB
=== 11. 无损颜色变换 YCoCg-R ===
逆变换后最大误差：0（完全无损）
三个通道的一阶熵之和：RGB 22.12 bit/像素，YCoCg-R 19.42 bit/像素
=== 12. YUV 文件的内存布局 ===
写出 astronaut_512x512_i420.yuv：393,216 字节 = 512×512×1.5；读回后三个平面完全一致：True