无线电自学教程 03：电路基础——从欧姆定律到 LC 谐振

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本章目标：读完本章，你将能够

• 熟练运用欧姆定律、基尔霍夫定律计算电压、电流和功率，并推导最大功率传输定理；
• 说明电容和电感的工作原理，算出 RC、RL 电路的时间常数，用 Wheeler 公式估算空心线圈的电感；
• 用复阻抗分析交流电路，区分有功功率和视在功率，设计一个 RC 低通滤波器；
• 推导串联与并联谐振的谐振频率、品质因数 Q 和带宽，理解谐振回路的"电压放大"；
• 从能量角度理解 Q，用数值方法求解 RLC 电路的自由振荡；
• 为一台中波矿石收音机设计调谐回路：选定可变电容，算出线圈要绕多少匝。

前置知识：第 02 章的复数、相量和分贝。第二、三、七节用到一阶和二阶常微分方程，只需会验证一个函数是否满足方程。

收音机上那个"调台"的旋钮，转动的是什么？

在老式收音机里，它转动的是一个可变电容 。电容和一个线圈组成谐振回路：在成千上万个同时到达天线的电台信号中，只有频率等于回路谐振频率的那一个能"通过"，其他的都被挡在外面。转动旋钮改变电容，就改变了谐振频率，也就换了电台。

这就是本章的主线。我们从最基本的电阻电路讲起，逐步引入电容和电感，用第 02 章的复数工具分析它们在交流电路中的行为，最终来到无线电里最重要的电路之一：LC 谐振回路。最后，我们用学到的知识为第 05 章要做的矿石收音机设计调谐回路。

一、电压、电流与电阻

1. 基本物理量

物理量	符号	单位	含义
电荷	$qq$ q	库仑（C）	一个电子带 $-1.602\times 10-19-1.602\backslash times10^\{-19\}$ −1.602×10−19 C
电流	$i=dq/dti\; =\; dq/dt$ i=dq/dt	安培（A）	单位时间流过某截面的电荷
电压	$vv$ v	伏特（V）	两点之间的电势差，单位电荷从一点移到另一点所做的功
功率	$p=vip\; =\; vi$ p=vi	瓦特（W）	单位时间消耗或输出的能量

2. 欧姆定律

对于电阻，电压和电流成正比：
$$v=iRv\; =\; iR$$ v=iR

比例系数 $RR$ R 就是电阻，单位欧姆（Ω）。电阻消耗的功率是
$$p=vi=i2R=v2Rp\; =\; vi\; =\; i^2\; R\; =\; \backslash frac\{v^2\}\{R\}$$ p=vi=i2R=Rv2

这些功率全部变成热。一台 100 W 的短波电台，用 13.8 V 直流电源供电时，发射状态下电流约 20 A。电源线只要有 0.04 Ω 的电阻，就会产生 0.8 V 的压降，白白发热 16 W（练习 1）。所以电台的电源线都很粗。

3. 基尔霍夫定律

电路分析的两条基本定律：

• 基尔霍夫电流定律（KCL）：流入任一节点的电流之和等于流出的电流之和，因为电荷不会在节点上堆积；
• 基尔霍夫电压定律（KVL）：沿任一闭合回路，各段电压的代数和为零，因为电势是单值的。

由它们可以推出：串联电阻 $R=R1+R2\; R\; =\; R\_1\; +\; R\_2$ R=R1+R2；并联电阻 $1R\; =\; 1R1\; +\; 1R2\; \backslash dfrac\{1\}\{R\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{R\_1\}\; +\; \backslash dfrac\{1\}\{R\_2\}$ R1=R11+R21；串联电阻的分压 公式 $v2=v\hspace{0.17em}\; R2\; R1+R2\; v\_2\; =\; v\backslash ,\backslash dfrac\{R\_2\}\{R\_1\; +\; R\_2\}$ v2=vR1+R2R2。这些在第四节换成复阻抗之后，仍然完全成立。

4. 最大功率传输定理

任何实际的信号源都有内阻。把信号源看成一个电压为 $Vs\; V\_s$ Vs 的理想电压源串联一个内阻 $Rs\; R\_s$ Rs，接上负载 $RL\; R\_L$ RL：

图 1：左：有内阻的信号源接负载。右：负载功率和效率随负载电阻的变化。负载等于内阻时功率最大。

回路电流 $I=\; Vs\; Rs+RL\; I\; =\; \backslash dfrac\{V\_s\}\{R\_s\; +\; R\_L\}$ I=Rs+RLVs，负载功率
$$PL=I2RL=\; Vs2\hspace{0.17em}RL\; (Rs+RL)2\; P\_L\; =\; I^2\; R\_L\; =\; \backslash frac\{V\_s^2\backslash ,R\_L\}\{(R\_s\; +\; R\_L)^2\}$$ PL=I2RL=(Rs+RL)2Vs2RL

$RL\; R\_L$ RL 太小，电流大但负载上的电压小； $RL\; R\_L$ RL 太大，电压大但电流小。中间某处功率最大。对 $RL\; R\_L$ RL 求导：
$$dPL\; dRL\; =Vs2\hspace{0.17em}\; (Rs+RL)2-2RL(Rs+RL)\; (Rs+RL)4\; =Vs2\hspace{0.17em}\; Rs-RL\; (Rs+RL)3\; \backslash frac\{dP\_L\}\{dR\_L\}\; =\; V\_s^2\backslash ,\backslash frac\{(R\_s\; +\; R\_L)^2\; -\; 2R\_L(R\_s\; +\; R\_L)\}\{(R\_s\; +\; R\_L)^4\}\; =\; V\_s^2\backslash ,\backslash frac\{R\_s\; -\; R\_L\}\{(R\_s\; +\; R\_L)^3\}$$ dRLdPL=Vs2(Rs+RL)4(Rs+RL)2−2RL(Rs+RL)=Vs2(Rs+RL)3Rs−RL

令它等于零，得到
$$RL=Rs⟹\; PL,max\; =\; Vs2\; 4Rs\; \backslash boxed\{\backslash \; R\_L\; =\; R\_s\backslash quad\backslash Longrightarrow\backslash quad\; P\_\{L,\backslash max\}\; =\; \backslash frac\{V\_s^2\}\{4R\_s\}\backslash \; \}$$ RL=Rs⟹PL,max=4RsVs2

负载电阻等于信号源内阻时，负载得到的功率最大 ，这叫阻抗匹配 。附录代码以 $Vs=100\; V\_s\; =\; 100$ Vs=100 V、 $Rs=50\; R\_s\; =\; 50$ Rs=50 Ω 为例：

$RL\; R\_L$ RL	12.5 Ω	25 Ω	50 Ω	100 Ω	200 Ω
负载功率	32.00 W	44.44 W	50.00 W	44.44 W	32.00 W
效率	20.0 %	33.3 %	50.0 %	66.7 %	80.0 %

注意两点：

1. 匹配时效率只有 50%，一半功率消耗在内阻上。所以电力系统从来不追求匹配（那里要的是效率）。射频系统追求匹配，是因为信号往往很微弱，每一点功率都很宝贵：天线收到的信号要尽可能多地送进接收机。
2. 实际的发射机输出级并不真是"一个内阻 50 Ω 的电压源"。它被设计成接 50 Ω 负载时输出额定功率、失真最小，所以负载偏离 50 Ω 时，功率会下降，严重时还会损坏功放管。这就是业余电台要求天线系统"驻波比低"的原因，第 08 章讲传输线时详细讨论。

如果信号源内阻是复数 $Zs=Rs+jXs\; Z\_s\; =\; R\_s\; +\; jX\_s$ Zs=Rs+jXs，最大功率传输的条件变成 $ZL=Zs\ast =Rs-jXs\; Z\_L\; =\; Z\_s^*\; =\; R\_s\; -\; jX\_s$ ZL=Zs∗=Rs−jXs，称为共轭匹配：负载的电抗要正好抵消信号源的电抗（练习 10 是一个例子）。

二、电容

1. 定义与平行板电容

两块彼此绝缘的导体，加上电压 $vv$ v 后分别带上 $+q+q$ +q 和 $-q-q$ −q 的电荷。电荷与电压成正比，比例系数就是电容：
$$C=qv\; C\; =\; \backslash frac\{q\}\{v\}$$ C=vq

单位法拉（F）。1 F 非常大，射频电路里常用的是 pF（ $10-1210^\{-12\}$ 10−12 F）和 nF（ $10-910^\{-9\}$ 10−9 F）。对于面积为 $AA$ A、间距为 $dd$ d、中间填充介电常数 $\epsilon =\epsilon r\epsilon 0\; \backslash varepsilon\; =\; \backslash varepsilon\_r\backslash varepsilon\_0$ ε=εrε0 的平行板电容器：
$$C=\; \epsilon Ad\; C\; =\; \backslash frac\{\backslash varepsilon\; A\}\{d\}$$ C=dεA

附录代码算出：面积 10 cm²、间距 1 mm 的空气电容只有 8.854 pF。要得到更大的电容，就要增大面积、减小间距或者使用介电常数高的材料。

电容并联时电容相加，串联时倒数相加（与电阻正好相反）：100 pF 和 220 pF 并联是 320 pF，串联是 68.75 pF。

2. 电压与电流的关系

对 $q=Cvq\; =\; Cv$ q=Cv 求导：
$$i=C\hspace{0.17em}\; dvdt\; i\; =\; C\backslash ,\backslash frac\{dv\}\{dt\}$$ i=Cdtdv

电容的电流取决于电压的变化率。直流电压不变，所以电容隔断直流；电压不能突变（否则电流无穷大）。电容储存的能量是
$$W=12Cv2\; W\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}Cv^2$$ W=21Cv2

3. RC 电路的充放电

电压源 $VV$ V 通过电阻 $RR$ R 给初始不带电的电容充电。由 KVL， $V=iR+vC=RC\hspace{0.17em}\; dvC\; dt\; +vCV\; =\; iR\; +\; v\_C\; =\; RC\backslash ,\backslash dfrac\{dv\_C\}\{dt\}\; +\; v\_C$ V=iR+vC=RCdtdvC+vC，这个一阶微分方程的解是
$$vC(t)=V(1-e-t/\tau ),\tau =RC\; v\_C(t)\; =\; V\backslash left(1\; -\; e^\{-t/\backslash tau\}\backslash right),\backslash qquad\; \backslash tau\; =\; RC$$ vC(t)=V(1−e−t/τ),τ=RC

$\tau \backslash tau$ τ 称为时间常数 。代回方程即可验证： $RC\cdot V\tau e-t/\tau +V-Ve-t/\tau =V\; RC\backslash cdot\backslash frac\{V\}\{\backslash tau\}e^\{-t/\backslash tau\}\; +\; V\; -\; Ve^\{-t/\backslash tau\}\; =\; V$ RC⋅τVe−t/τ+V−Ve−t/τ=V。放电时则是 $vC=Ve-t/\tau \; v\_C\; =\; Ve^\{-t/\backslash tau\}$ vC=Ve−t/τ。

图 2：RC 电路的充电与放电。每过一个时间常数，离终值的差距就缩小到原来的 1/e。

附录代码算出（ $R=10R\; =\; 10$ R=10 kΩ， $C=100C\; =\; 100$ C=100 nF， $\tau =1.0\backslash tau\; =\; 1.0$ τ=1.0 ms）：

时间	τ	2τ	3τ	5τ
充电程度	63.2 %	86.5 %	95.0 %	99.3 %

工程上通常认为经过 5τ 就充满了。无线电里时间常数无处不在：电源的滤波、自动增益控制（AGC）的响应速度、CW 电键波形的上升沿（第 28 章会看到，上升沿太陡会产生"键击"干扰）。

4. 容抗

对正弦信号，第 02 章已经由相量推出电容的阻抗
$$ZC=\; 1j\omega C\; =-jXC,XC=\; 1\omega C\; Z\_C\; =\; \backslash frac\{1\}\{j\backslash omega\; C\}\; =\; -jX\_C,\backslash qquad\; X\_C\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash omega\; C\}$$ ZC=jωC1=−jXC,XC=ωC1

$XC\; X\_C$ XC 称为容抗 。频率越高，容抗越小：电容"隔直流、通交流"，而且对高频的阻碍比对低频小得多。因子 $-j-j$ −j 意味着电容的电流比电压超前 90°。射频电路里的耦合电容 （让信号通过、挡住直流偏置）和旁路电容（把电源线上的高频干扰短路到地）都是这个原理。

三、电感

1. 定义

电流流过线圈会产生磁场，磁通量与电流成正比。电流变化时，变化的磁通在线圈里感应出电压（法拉第电磁感应定律），方向总是阻碍电流的变化（楞次定律）：
$$v=L\hspace{0.17em}\; didt\; v\; =\; L\backslash ,\backslash frac\{di\}\{dt\}$$ v=Ldtdi

比例系数 $LL$ L 就是电感 ，单位亨利（H），射频电路里常用 μH 和 nH。电感储存的能量是 $W=12Li2\; W\; =\; \backslash frac12\; Li^2$ W=21Li2。和电容对偶：电感的电流不能突变 。突然断开一个有电流的电感， $di/dtdi/dt$ di/dt 极大，会产生很高的电压，这就是继电器线圈两端要并联续流二极管的原因。

2. 空心线圈的电感：Wheeler 公式

业余无线电爱好者经常要自己绕线圈。单层密绕空心线圈的电感可以用 Wheeler 在 1928 年给出的经验公式估算：
$$L\hspace{0.17em}$$μH= r2N29r+10 l L\,\\mu\\mathrm{H} = \frac{r^2 N^2}{9r + 10\,l} LμH=9r+10lr2N2

其中 $NN$ N 是匝数， $rr$ r 是线圈半径、 $ll$ l 是绕线长度，单位都是英寸 （1 in = 25.4 mm）。当 $l>0.8rl\; >\; 0.8r$ l>0.8r 时，误差约为 1%。

附录代码算出：直径 20 mm、长 20 mm、15 匝的线圈， $L=3.055L\; =\; 3.055$ L=3.055 μH。同一骨架上绕 30 匝、长度也加倍到 40 mm，电感是 7.231 μH，只增加到 2.4 倍，而不是 $N2N^2$ N2 意味的 4 倍，因为线圈变长后分母也变大了。只有在长度不变、把线绕得更密时，电感才接近与 $N2N^2$ N2 成正比。

3. RL 电路与感抗

电感与电阻串联接通电压源时，电流按 $i=VR(1-e-t/\tau )\; i\; =\; \backslash frac\{V\}\{R\}\backslash left(1\; -\; e^\{-t/\backslash tau\}\backslash right)$ i=RV(1−e−t/τ) 上升，时间常数 $\tau =L/R\backslash tau\; =\; L/R$ τ=L/R，规律和 RC 充电完全一样（图 2）。例如 100 μH 与 10 Ω， $\tau =10.0\backslash tau\; =\; 10.0$ τ=10.0 μs。

对正弦信号，电感的阻抗
$$ZL=j\omega L=jXL,XL=\omega L\; Z\_L\; =\; j\backslash omega\; L\; =\; jX\_L,\backslash qquad\; X\_L\; =\; \backslash omega\; L$$ ZL=jωL=jXL,XL=ωL

$XL\; X\_L$ XL 称为感抗 ，频率越高越大：电感"通直流、阻交流"。因子 $jj$ j 意味着电感的电流比电压滞后 90°。射频扼流圈（RFC）就是一个电感，让直流供电通过，同时挡住高频信号。

图 3：左：1 μH 的感抗与 100 pF 的容抗随频率的变化（双对数坐标）。右：电感和电容上电压与电流的相位关系。

附录代码列出了几个频率下的电抗：

频率	1 MHz	7.1 MHz	30 MHz	145 MHz
$XL\; X\_L$ XL（1 μH）	6.28 Ω	44.61 Ω	188.50 Ω	911.06 Ω
$XC\; X\_C$ XC（100 pF）	1591.55 Ω	224.16 Ω	53.05 Ω	10.98 Ω

两条直线在 15.915 MHz 处相交，此时感抗和容抗都是 100 Ω。这个交点就是第五节的谐振频率。

四、复阻抗与交流电路

1. 阻抗

把电阻、电容、电感统一用复数阻抗描述：
$$Z=R+jXZ\; =\; R\; +\; jX$$ Z=R+jX

实部 $RR$ R 是电阻，虚部 $XX$ X 是电抗： $X>0X\; >\; 0$ X>0 为感性 ， X<0 为容性 。相量形式的欧姆定律 $V=ZI\backslash mathbf\{V\}\; =\; Z\backslash mathbf\{I\}$ V=ZI，以及串并联公式、分压公式，全都和直流电路一样，只是换成了复数运算。阻抗的倒数称为导纳 $Y=1/Z=G+jBY\; =\; 1/Z\; =\; G\; +\; jB$ Y=1/Z=G+jB，分析并联电路时用导纳更方便。

2. 两个例子

50 Ω 电阻串联 1 μH 电感，在 7.1 MHz：
$$Z=50+j\omega L=50+j44.61\; \Omega =67.01\angle 41.74°\; \Omega Z\; =\; 50\; +\; j\backslash omega\; L\; =\; 50\; +\; j44.61\backslash \; \backslash Omega\; =\; 67.01\backslash angle\; 41.74°\backslash \; \backslash Omega$$ Z=50+jωL=50+j44.61 Ω=67.01∠41.74° Ω

50 Ω 电阻并联 100 pF 电容，在 7.1 MHz：
$$Z=\; 50\cdot (-j224.16)50-j224.16\; =47.63-j10.62\; \Omega =48.8\angle -12.57°\; \Omega \; Z\; =\; \backslash frac\{50\backslash cdot(-j224.16)\}\{50\; -\; j224.16\}\; =\; 47.63\; -\; j10.62\backslash \; \backslash Omega\; =\; 48.8\backslash angle\; -12.57°\backslash \; \backslash Omega$$ Z=50−j224.1650⋅(−j224.16)=47.63−j10.62 Ω=48.8∠−12.57° Ω

图 4：阻抗平面。横轴是电阻，纵轴是电抗；上半平面是感性，下半平面是容性。

阻抗平面是理解匹配网络和史密斯圆图（第 08 章）的基础。比如天线分析仪测出某副天线的阻抗是 $50+j44.6150\; +\; j44.61$ 50+j44.61 Ω，你就知道它"偏感性"：串一个合适的电容抵消 $j44.61j44.61$ j44.61，就能变成纯 50 Ω（练习 10）。

3. 交流功率

给上面的串联电路加 10 V（有效值）电压，电流 $I=V/Z=0.1492\angle -41.74°\backslash mathbf\{I\}\; =\; \backslash mathbf\{V\}/Z\; =\; 0.1492\backslash angle\; -41.74°$ I=V/Z=0.1492∠−41.74° A，滞后电压 41.74°。附录代码算出：

• 有功功率 $P=\mid I\mid 2R=1.114P\; =\; |I|^2\; R\; =\; 1.114$ P=∣I∣2R=1.114 W：只有电阻消耗能量；
• 视在功率 $S=\mid V\mid \mid I\mid =1.492S\; =\; |V||I|\; =\; 1.492$ S=∣V∣∣I∣=1.492 VA；
• 功率因数 $cos\phi =P/S=0.746\backslash cos\backslash varphi\; =\; P/S\; =\; 0.746$ cosφ=P/S=0.746。

电感和电容不消耗能量。它们在半个周期里吸收能量，下半个周期又如数还回去，这部分来回流动的功率称为无功功率。所以理想的电感和电容不会发热。实际元件总有一点损耗，下面会用品质因数 Q 来衡量。

4. 第一个滤波器：RC 低通

图 5：RC 低通滤波器及其伯德图。截止频率处衰减 3 dB、相移 −45°；高于截止频率后，每十倍频程衰减 20 dB。

把电阻和电容串联，从电容两端取输出。由分压公式：
$$H(j\omega )=\; Vout\; Vin\; =\; 1/(j\omega C)R+1/(j\omega C)\; =\; 11+j\omega RC\; H(j\backslash omega)\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{V\}$${out}}{\mathbf{V}{in}} = \frac{1/(j\omega C)}{R + 1/(j\omega C)} = \frac{1}{1 + j\omega RC} H(jω)=VinVout=R+1/(jωC)1/(jωC)=1+jωRC1

$\mid H\mid =1/\; 1+(\omega RC)2\; |H|\; =\; 1/\backslash sqrt\{1\; +\; (\backslash omega\; RC)^2\}$ ∣H∣=1/1+(ωRC)2 。低频时 $\mid H\mid \approx 1|H|\; \backslash approx\; 1$ ∣H∣≈1，信号直接通过；高频时电容近似短路，信号被衰减。 $\omega RC=1\backslash omega\; RC\; =\; 1$ ωRC=1 时 $\mid H\mid =1/2|H|\; =\; 1/\backslash sqrt2$ ∣H∣=1/2 ，即 −3.01 dB，相位 −45°，对应的频率称为截止频率：
$$fc=\; 12\pi RC\; f\_c\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\; RC\}$$ fc=2πRC1

附录代码取 $R=1R\; =\; 1$ R=1 kΩ、 $C=47C\; =\; 47$ C=47 nF， $fc=3386.3\; f\_c\; =\; 3386.3$ fc=3386.3 Hz：

频率	338.6 Hz（ $fc/10\; f\_c/10$ fc/10）	3000 Hz	3386.3 Hz（ $fc\; f\_c$ fc）	33863 Hz（ $10fc\; 10f\_c$ 10fc）
$\mid H\mid \backslash lvert\; H\backslash rvert$ ∣H∣	−0.04 dB	−2.52 dB	−3.01 dB	−20.04 dB
相位	−5.71°	−41.54°	−45.00°	−84.29°

这样一个滤波器可以放在接收机的音频输出端，滤掉 3 kHz 以上的"咝咝"噪声。但你也看到了它的局限：衰减太平缓，3 kHz 时已经衰减了 2.5 dB，到 10 倍频率才衰减 20 dB。要得到陡峭的滤波器，需要电感和电容组合的高阶滤波器（第 16 章），或者数字滤波器（第 20 章）。

五、串联谐振

1. 谐振频率

电阻、电感、电容串联，总阻抗
$$Z=R+j\; (\omega L-\; 1\omega C\; )\; Z\; =\; R\; +\; j\backslash left(\backslash omega\; L\; -\; \backslash frac\{1\}\{\backslash omega\; C\}\backslash right)$$ Z=R+j(ωL−ωC1)

感抗随频率上升，容抗随频率下降（图 3），总有一个频率两者正好相等、互相抵消，电抗为零：
$$\omega 0L=\; 1\; \omega 0C\; ⟹\; f0=\; 1\; 2\pi \; LC\; \backslash omega\_0\; L\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash omega\_0\; C\}\backslash quad\backslash Longrightarrow\backslash quad\; \backslash boxed\{\backslash \; f\_0\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\backslash sqrt\{LC\}\}\backslash \; \}$$ ω0L=ω0C1⟹ f0=2πLC 1

这就是谐振频率 。谐振时阻抗最小，等于纯电阻 $RR$ R，电流最大，并且与电压同相。低于谐振频率时容抗占优，电路呈容性；高于谐振频率时感抗占优，电路呈感性。

以 40 米波段为例：取 $L=2.2L\; =\; 2.2$ L=2.2 μH，要谐振在 7.1 MHz，需要
$$C=\; 1\; \omega 02L\; =228.40\; pF\; C\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash omega\_0^2\; L\}\; =\; 228.40\backslash \; \backslash mathrm\{pF\}$$ C=ω02L1=228.40 pF

2. 品质因数与带宽

谐振曲线有多"尖"，用品质因数 $QQ$ Q 衡量：
$$Q=\; \omega 0L\; R\; =\; 1\; \omega 0CR\; =1R\; LC\; Q\; =\; \backslash frac\{\backslash omega\_0\; L\}\{R\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash omega\_0\; C\; R\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{R\}\backslash sqrt\{\backslash frac\{L\}\{C\}\}$$ Q=Rω0L=ω0CR1=R1CL

$L/C\; \backslash sqrt\{L/C\}$ L/C 是谐振时感抗（也是容抗）的大小，称为回路的特性阻抗 。 $R=5R\; =\; 5$ R=5 Ω 时，附录代码算出 $L/C\; =98.14\; \backslash sqrt\{L/C\}\; =\; 98.14$ L/C =98.14 Ω， $Q=19.63Q\; =\; 19.63$ Q=19.63。

图 6：串联 RLC 的谐振曲线（上）和电流相位（下）。R 越小，Q 越高，曲线越尖。

带宽 定义为电流降到最大值的 $1/2\; 1/\backslash sqrt2$ 1/2 （功率降到一半，即 −3 dB）的两个频率之差。这发生在 $\mid Z\mid =2R\; |Z|\; =\; \backslash sqrt2\; R$ ∣Z∣=2 R，也就是电抗的大小等于电阻时：
$$\omega L-\; 1\omega C\; =\pm R⟹\omega 2L\mp R\omega -1C=0\; \backslash omega\; L\; -\; \backslash frac\{1\}\{\backslash omega\; C\}\; =\; \backslash pm\; R\backslash quad\backslash Longrightarrow\backslash quad\; \backslash omega^2\; L\; \backslash mp\; R\backslash omega\; -\; \backslash frac\{1\}\{C\}\; =\; 0$$ ωL−ωC1=±R⟹ω2L∓Rω−C1=0

取正根：
$$\omega 1,2\; =\; \mp R+\; R2+4L/C\; 2L\; \backslash omega\_\{1,2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mp\; R\; +\; \backslash sqrt\{R^2\; +\; 4L/C\}\}\{2L\}$$ ω1,2=2L∓R+R2+4L/C

两者相减，根号项抵消：
$$\omega 2-\omega 1=RL⟹\; B=f2-f1=\; R2\pi L\; =\; f0Q\; \backslash omega\_2\; -\; \backslash omega\_1\; =\; \backslash frac\{R\}\{L\}\backslash quad\backslash Longrightarrow\backslash quad\; \backslash boxed\{\backslash \; B\; =\; f\_2\; -\; f\_1\; =\; \backslash frac\{R\}\{2\backslash pi\; L\}\; =\; \backslash frac\{f\_0\}\{Q\}\backslash \; \}$$ ω2−ω1=LR⟹ B=f2−f1=2πLR=Qf0

对串联 RLC 电路，这个结果是精确 的。两根相乘还可得 $\omega 1\omega 2=1/(LC)=\omega 02\; \backslash omega\_1\backslash omega\_2\; =\; 1/(LC)\; =\; \backslash omega\_0^2$ ω1ω2=1/(LC)=ω02，即谐振频率是两个半功率频率的几何平均。附录代码在 6～8.2 MHz 之间取了 200 万个点数值搜索，得到半功率点 6.9214 MHz 和 7.2832 MHz，带宽 361.7 kHz，与 $f0/Q=361.7\; f\_0/Q\; =\; 361.7$ f0/Q=361.7 kHz 完全一致。

$QQ$ Q 越高，选择性越好：Q = 19.6 时带宽 362 kHz，几乎占满整个 40 米波段；Q = 98 时带宽只有约 72 kHz。

3. 电压放大

谐振时电流 $I=Vs/R\; I\; =\; V\_s/R$ I=Vs/R，电感两端的电压
$$\mid VL\mid =I\cdot \omega 0L=\; VsR\; \hspace{0.17em}\omega 0L=Q\hspace{0.17em}Vs\; |V\_L|\; =\; I\backslash cdot\backslash omega\_0\; L\; =\; \backslash frac\{V\_s\}\{R\}\backslash ,\backslash omega\_0\; L\; =\; Q\backslash ,V\_s$$ ∣VL∣=I⋅ω0L=RVsω0L=QVs

电容两端也是 $QVs\; QV\_s$ QVs，只是相位相反，两者互相抵消，所以总电压仍然是 $Vs\; V\_s$ Vs。附录代码算出：信号源只有 1 V 时，电感和电容上的电压各有 19.63 V。

这既是好事也是隐患。好处是谐振回路天然有"电压增益"，接收机前端的调谐回路能把天线上的微弱信号放大 Q 倍；隐患是高 Q 回路里的元件要承受很高的电压。业余爱好者常用的磁环天线（第 11 章）Q 值可达数百，接 100 W 发射时，调谐电容两端会有几千伏的高压（练习 6），必须用耐压足够的真空电容或者大间距的空气电容，调节时绝对不能用手碰。

六、并联谐振

1. 理想情况

电感和电容并联，总导纳
$$Y=j\omega C+\; 1j\omega L\; =j\; (\omega C-\; 1\omega L\; )\; Y\; =\; j\backslash omega\; C\; +\; \backslash frac\{1\}\{j\backslash omega\; L\}\; =\; j\backslash left(\backslash omega\; C\; -\; \backslash frac\{1\}\{\backslash omega\; L\}\backslash right)$$ Y=jωC+jωL1=j(ωC−ωL1)

在同一个 $\omega 0=1/\; LC\; \backslash omega\_0\; =\; 1/\backslash sqrt\{LC\}$ ω0=1/LC 处 $Y=0Y\; =\; 0$ Y=0，阻抗为无穷大。这与串联谐振正好相反：串联谐振时阻抗最小，并联谐振时阻抗最大。

2. 带损耗的并联回路

实际的电感线圈总有电阻 $rr$ r（导线电阻，以及高频下的趋肤效应）。电感支路 $r+j\omega Lr\; +\; j\backslash omega\; L$ r+jωL 与电容并联：
$$Z=\; (r+j\omega L)\cdot \; 1j\omega C\; r+j\omega L+\; 1j\omega C\; =\; r+j\omega L1-\omega 2LC+j\omega Cr\; Z\; =\; \backslash frac\{(r\; +\; j\backslash omega\; L)\backslash cdot\backslash dfrac\{1\}\{j\backslash omega\; C\}\}\{r\; +\; j\backslash omega\; L\; +\; \backslash dfrac\{1\}\{j\backslash omega\; C\}\}\; =\; \backslash frac\{r\; +\; j\backslash omega\; L\}\{1\; -\; \backslash omega^2\; LC\; +\; j\backslash omega\; Cr\}$$ Z=r+jωL+jωC1(r+jωL)⋅jωC1=1−ω2LC+jωCrr+jωL

在 $\omega 0=1/\; LC\; \backslash omega\_0\; =\; 1/\backslash sqrt\{LC\}$ ω0=1/LC 处，分母的实部 $1-\omega 02LC=0\; 1\; -\; \backslash omega\_0^2\; LC\; =\; 0$ 1−ω02LC=0，若 $Q\gg 1Q\; \backslash gg\; 1$ Q≫1，分子中的 $rr$ r 也可忽略：
$$Z(\omega 0)\approx \; j\omega 0L\; j\omega 0Cr\; =\; LCr\; =Q2r\; Z(\backslash omega\_0)\; \backslash approx\; \backslash frac\{j\backslash omega\_0\; L\}\{j\backslash omega\_0\; Cr\}\; =\; \backslash frac\{L\}\{Cr\}\; =\; Q^2\; r$$ Z(ω0)≈jω0Crjω0L=CrL=Q2r

这个阻抗称为并联回路的谐振阻抗 （动态电阻）。仍取 $L=2.2L\; =\; 2.2$ L=2.2 μH、 $C=228.40C\; =\; 228.40$ C=228.40 pF、 $r=5r\; =\; 5$ r=5 Ω，附录代码算出：公式给出 1926.4 Ω，数值计算的最大值是 1928.9 Ω，相差不到 0.2%。一个只有 5 Ω 损耗的线圈，和电容并联后在谐振频率上呈现出将近 2 kΩ 的阻抗。代码还显示，正好在 $1/(2\pi \; LC\; )1/(2\backslash pi\backslash sqrt\{LC\})$ 1/(2πLC ) 处，阻抗有 −2.92° 的相位，并不是纯电阻：有损耗时，并联回路"阻抗最大""纯电阻"" $1/\; LC\; 1/\backslash sqrt\{LC\}$ 1/LC "三个条件不再严格重合。Q 越高，三者越接近。

图 7：带损耗的并联 LC 回路的阻抗。谐振时阻抗最大，约为 L/(Cr)；Q 越高，峰越尖。

3. 串联谐振与并联谐振对比

	串联谐振	并联谐振
谐振时阻抗	最小，等于 $RR$ R	最大，约 $Q2rQ^2\; r$ Q2r
被放大的量	元件上的电压（ $QQ$ Q 倍）	回路里循环的电流（ $QQ$ Q 倍）
偏离谐振时	阻抗迅速增大	阻抗迅速减小
典型用途	串在信号通路里，只让谐振频率通过；陷波器接地	跨接在信号与地之间，只在谐振频率呈高阻；振荡器的"槽路"、中频变压器、调谐回路

并联谐振回路也叫槽路 （tank circuit），因为能量在电感的磁场和电容的电场之间来回倾倒，像水在槽里晃荡。业余天线里的陷波器（trap）就是一个并联 LC：把它串在偶极子的振子上，谐振频率上阻抗很高，相当于把天线"切断"，于是一副天线可以在两个波段上工作。

七、品质因数的能量意义：自由振荡

1. Q 的能量定义

Q 更本质的定义是
$$Q=2\pi \times 回路储存的能量每个周期损耗的能量Q\; =\; 2\backslash pi\backslash times\backslash frac\{\backslash text\{回路储存的能量\}\}\{\backslash text\{每个周期损耗的能量\}\}$$ Q=2π×每个周期损耗的能量回路储存的能量

验证它与 $\omega 0L/R\; \backslash omega\_0\; L/R$ ω0L/R 一致：串联谐振时电流峰值为 $Ip\; I\_p$ Ip，储能在电感和电容之间转移，总量等于电流最大时电感的储能 $12LIp2\; \backslash frac12\; L\; I\_p^2$ 21LIp2；每个周期电阻消耗 $Irms2\; R\hspace{0.17em}T=12Ip2R\cdot \; 2\pi \omega 0\; I\_\{\backslash mathrm\{rms\}\}^2\; R\backslash ,T\; =\; \backslash frac12\; I\_p^2\; R\backslash cdot\backslash frac\{2\backslash pi\}\{\backslash omega\_0\}$ Irms2RT=21Ip2R⋅ω02π。两者之比乘以 $2\pi 2\backslash pi$ 2π，正好是 $\omega 0L/R\; \backslash omega\_0\; L/R$ ω0L/R。

Q 高，意味着每个周期只损失储能的一小部分，回路能"自己振荡"很久。

2. 自由振荡

把电容先充到 1 V，然后断开电源，让 RLC 回路自己振荡。由 KVL：
$$L\; d2qdt2\; +R\; dqdt\; +qC=0\; L\backslash frac\{d^2q\}\{dt^2\}\; +\; R\backslash frac\{dq\}\{dt\}\; +\; \backslash frac\{q\}\{C\}\; =\; 0$$ Ldt2d2q+Rdtdq+Cq=0

当 $Q>12\; Q\; >\; \backslash frac12$ Q>21 时，它的解是衰减振荡：
$$vC(t)=e-\alpha t\; (cos\omega dt+\; \alpha \omega d\; sin\omega dt)\; ,\alpha =\; R2L\; =\; \omega 02Q\; ,\omega d=\omega 0\; 1-\; 14Q2\; v\_C(t)\; =\; e^\{-\backslash alpha\; t\}\backslash left(\backslash cos\backslash omega\_d\; t\; +\; \backslash frac\{\backslash alpha\}\{\backslash omega\_d\}\backslash sin\backslash omega\_d\; t\backslash right),\backslash qquad\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\{R\}\{2L\}\; =\; \backslash frac\{\backslash omega\_0\}\{2Q\},\backslash quad\; \backslash omega\_d\; =\; \backslash omega\_0\backslash sqrt\{1\; -\; \backslash frac\{1\}\{4Q^2\}\}$$ vC(t)=e−αt(cosωdt+ωdαsinωdt),α=2LR=2Qω0,ωd=ω01−4Q21

包络按 $e\; -\omega 0t/2Q\; e^\{-\backslash omega\_0\; t/2Q\}$ e−ω0t/2Q 衰减，每过一个周期，振幅乘以 $e-\pi /Qe^\{-\backslash pi/Q\}$ e−π/Q。所以振荡大约 Q 个周期之后，振幅衰减到 $e-\pi \approx 4.3\%e^\{-\backslash pi\}\; \backslash approx\; 4.3\backslash \%$ e−π≈4.3%。这给了 Q 一个直观的含义：一个高 Q 的回路像一口好钟，敲一下能响很久。

图 8：RLC 回路的自由振荡（7.1 MHz，Q = 19.63）。

3. 数值实验

附录代码不用上面的解析解，而是用四阶龙格-库塔（RK4）方法直接对微分方程数值积分，每个周期 400 步，然后从波形里"测量"Q：相邻两个正峰值之比取对数，称为对数衰减率 $\delta \backslash delta$ δ，由 $\delta \approx \pi /Q\backslash delta\; \backslash approx\; \backslash pi/Q$ δ≈π/Q 反推 Q。结果：

量	数值
对数衰减率 δ	0.16010
由衰减测得的 Q = π/δ	19.62
公式 $\omega 0L/R\; \backslash omega\_0\; L/R$ ω0L/R	19.63
5 个周期后的峰值（按 $e-n\pi /Qe^\{-n\backslash pi/Q\}$ e−nπ/Q 预测）	0.4491 V（0.4492 V）
10 个周期后的峰值	0.2017 V（0.2018 V）
20 个周期后的峰值	0.0407 V（0.0407 V）

数值解和理论在四位有效数字上吻合。这种"写出微分方程、数值积分、再从结果中测量参数"的方法，在后面的章节（比如第 07 章用 FDTD 求解麦克斯韦方程）还会反复使用。

4. 常见元件的 Q

元件	Q 的量级
HF 波段的空心线圈、磁环线圈	100～300
优质陶瓷电容、空气可变电容	1000 以上
石英晶体	$10410^4$ 104～ $10610^6$ 106
微波谐振腔	$10310^3$ 103～ $10410^4$ 104

LC 回路的 Q 通常由线圈决定。石英晶体的 Q 比 LC 回路高好几个数量级，所以用它做振荡器，频率极其稳定；用它做滤波器，带宽可以窄到几百赫兹，这正是接收 CW 和 SSB 信号所需要的。

八、实战：设计中波矿石机的调谐回路

第 05 章我们要动手做一台矿石收音机。它的核心就是一个并联 LC 调谐回路。现在来设计它。

要求：覆盖中波广播 530～1600 kHz。

第一步：电容范围。 选一个常见的电感值 $L=240L\; =\; 240$ L=240 μH。由 $C=1/(\omega 02L)C\; =\; 1/(\backslash omega\_0^2\; L)$ C=1/(ω02L)，附录代码算出需要的电容从 41.2 pF（1600 kHz）到 375.7 pF（530 kHz）。两者之比 9.11，正好是 $(1600/530)2(1600/530)^2$ (1600/530)2：因为 $f0\propto 1/C\; f\_0\; \backslash propto\; 1/\backslash sqrt\{C\}$ f0∝1/C ，频率覆盖比等于电容变化比的平方根。

第二步：选可变电容。 收音机常用的单联可变电容最大约 365 pF。它的最小电容加上线圈、接线的分布电容，总共在 15～25 pF 之间。附录代码算出，配 240 μH 的线圈，调谐范围是 538～2055 kHz（最小 25 pF 时）或 538～2653 kHz（最小 15 pF 时）。高端富余很多；低端的 538 kHz 稍高于 530 kHz，再加上约 10 pF 的分布电容就够了（练习 8）。

图 9：240 μH 线圈配可变电容的谐振频率。频率覆盖比等于电容变化比的平方根。

第三步：绕线圈。 在直径 50 mm 的骨架（比如一段 PVC 管）上，用 0.3 mm 的漆包线密绕，每匝约占 0.35 mm 长度。线圈长度 $l=0.35Nl\; =\; 0.35N$ l=0.35N mm 也随匝数变化，把 Wheeler 公式整理成关于 $NN$ N 的一元二次方程：
$$r2N2-10\hspace{0.17em}L\hspace{0.17em}p\hspace{0.17em}N-9\hspace{0.17em}L\hspace{0.17em}r=0r^2\; N^2\; -\; 10\backslash ,L\backslash ,p\backslash ,N\; -\; 9\backslash ,L\backslash ,r\; =\; 0$$ r2N2−10LpN−9Lr=0

其中 $pp$ p 是每匝长度，所有长度以英寸为单位， $LL$ L 以 μH 为单位。附录代码解出 $N=66.9N\; =\; 66.9$ N=66.9 匝，绕线长度 23.4 mm，代回 Wheeler 公式核算得 $L=240.0L\; =\; 240.0$ L=240.0 μH。实际制作时绕 67 匝即可。漆包线的实际粗细、绕制的松紧都会让电感有几个百分点的偏差，好在可变电容的调节范围有富余，足以覆盖这点误差。

这样，一个能收听整个中波广播段的调谐回路就设计好了。第 05 章我们会给它加上天线、地线、检波二极管和耳机，组成一台不需要电池的收音机。

小结

1. 欧姆定律 $v=iRv\; =\; iR$ v=iR，功率 $p=i2R=v2/Rp\; =\; i^2R\; =\; v^2/R$ p=i2R=v2/R。基尔霍夫电流、电压定律是电路分析的基础。
2. 最大功率传输 ：负载电阻等于信号源内阻时，负载功率最大，为 $Vs2/4Rs\; V\_s^2/4R\_s$ Vs2/4Rs，此时效率 50%。复数情况下要求共轭匹配 $ZL=Zs\ast \; Z\_L\; =\; Z\_s^*$ ZL=Zs∗。
3. 电容 $i=C\hspace{0.17em}dv/dti\; =\; C\backslash ,dv/dt$ i=Cdv/dt，电压不能突变，隔直通交，容抗 $XC=1/\omega C\; X\_C\; =\; 1/\backslash omega\; C$ XC=1/ωC，电流超前电压 90°。平行板电容 $C=\epsilon A/dC\; =\; \backslash varepsilon\; A/d$ C=εA/d。
4. 电感 $v=L\hspace{0.17em}di/dtv\; =\; L\backslash ,di/dt$ v=Ldi/dt，电流不能突变，通直阻交，感抗 $XL=\omega L\; X\_L\; =\; \backslash omega\; L$ XL=ωL，电流滞后电压 90°。单层空心线圈可用 Wheeler 公式 $L=r2N2/(9r+10l)L\; =\; r^2N^2/(9r\; +\; 10l)$ L=r2N2/(9r+10l)（英寸，μH）估算。
5. 时间常数 ：RC 电路 $\tau =RC\backslash tau\; =\; RC$ τ=RC，RL 电路 $\tau =L/R\backslash tau\; =\; L/R$ τ=L/R；经过 τ 达到终值的 63.2%，经过 5τ 达到 99.3%。
6. 复阻抗 $Z=R+jXZ\; =\; R\; +\; jX$ Z=R+jX 让交流电路可以像直流电路一样计算。只有电阻消耗有功功率；RC 低通的截止频率 $fc=1/(2\pi RC)\; f\_c\; =\; 1/(2\backslash pi\; RC)$ fc=1/(2πRC)，之后每十倍频程衰减 20 dB。
7. 谐振 ： $f0=1/(2\pi \; LC\; )\; f\_0\; =\; 1/(2\backslash pi\backslash sqrt\{LC\})$ f0=1/(2πLC )。串联谐振阻抗最小（= R），元件电压放大 Q 倍；并联谐振阻抗最大（≈ L/Cr = Q²r）。带宽 $B=f0/Q\; B\; =\; f\_0/Q$ B=f0/Q。
8. 品质因数 $Q=\omega 0L/R=2\pi \times \; Q\; =\; \backslash omega\_0L/R\; =\; 2\backslash pi\backslash times$ Q=ω0L/R=2π×储能/每周期损耗。自由振荡约 Q 个周期后振幅衰减到 $e-\pi e^\{-\backslash pi\}$ e−π。
9. 频率覆盖比等于调谐电容变化比的平方根；240 μH 的线圈配 365 pF 可变电容即可覆盖中波广播段。

下一章，我们换一个角度看信号：从"随时间变化的波形"转到"由哪些频率组成"，这就是傅里叶分析和频谱。

练习题

1. （电源线） 一台短波电台输出 100 W 时，从 13.8 V 电源取用 20 A 电流。(a) 电台的整机效率是多少？(b) 电源线正负两根各 2 m，每米电阻 0.01 Ω，电源线上的压降和发热各是多少？
2. （失配损失） 50 Ω 的信号源接 75 Ω 的负载（比如误用了电视用的 75 Ω 电缆），负载得到的功率是最大可得功率的百分之几？损失多少 dB？
3. （感抗） 一个 10 μH 的电感，在什么频率下感抗等于 50 Ω？
4. （串联谐振） 用 1.5 μH 的电感做一个谐振在 14.2 MHz 的串联谐振回路，需要多大的电容？回路的特性阻抗是多少？
5. （选择性） 一个并联调谐回路谐振在 3.6 MHz，Q = 150。(a) 它的带宽是多少？(b) 相邻 10 kHz 处的另一个电台信号会被衰减多少 dB？仅靠这样一个回路能把两个电台分开吗？
6. （电压放大） 一个 Q = 200 的串联谐振回路，用 10 V（有效值）的信号激励。谐振时电容两端的电压有效值和峰值各是多少？
7. （编程） 把附录代码第 9 部分的电阻从 5 Ω 改成 1 Ω，并把振荡周期数增加到 120。测得的 Q 是多少？振荡 98 个周期后，峰值还剩多少？
8. （调谐范围） 在第八节的设计中，如果可变电容的最大值 365 pF 再加上约 10 pF 的分布电容，调谐范围的低端是多少？
9. （设计 RC 低通） 用一个 47 nF 的电容做截止频率 3000 Hz 的 RC 低通滤波器，电阻应取多大？
10. （共轭匹配预览） 第四节的 $50+j44.6150\; +\; j44.61$ 50+j44.61 Ω（7.1 MHz）要变成纯电阻 50 Ω，应串联一个多大的电容？

参考答案

1. (a) 输入功率 $13.8\times 20=27613.8\; \backslash times\; 20\; =\; 276$ 13.8×20=276 W，效率 $100/276=100/276\; =$ 100/276= 36.2% ，其余约 176 W 变成了热，所以电台要有散热器和风扇。(b) 往返总长 4 m，电阻 0.04 Ω，压降 $20\times 0.04=20\; \backslash times\; 0.04\; =$ 20×0.04= 0.8 V ，发热 $202\times 0.04=20^2\; \backslash times\; 0.04\; =$ 202×0.04= 16 W。电台实际只得到 13.0 V，可能已经低于它的额定工作电压。
2. 负载功率与最大可得功率之比为 $4RsRL\; (Rs+RL)2\; =\; 4\times 50\times 751252\; =\; \backslash dfrac\{4R\_sR\_L\}\{(R\_s\; +\; R\_L)^2\}\; =\; \backslash dfrac\{4\backslash times50\backslash times75\}\{125^2\}\; =$ (Rs+RL)24RsRL=12524×50×75= 96% ，即损失 0.18 dB。轻微的失配损失并不大，严重失配（比如图 1 的两端）才真正有影响。
3. $f=\; XL2\pi L\; =\; 502\pi \times 10-5\; =\; f\; =\; \backslash dfrac\{X\_L\}\{2\backslash pi\; L\}\; =\; \backslash dfrac\{50\}\{2\backslash pi\backslash times10^\{-5\}\}\; =$ f=2πLXL=2π×10−550= 795.8 kHz。
4. $C=\; 1(2\pi \times 14.2\times 106)2\times 1.5\times 10-6\; =\; C\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{(2\backslash pi\backslash times14.2\backslash times10^6)^2\backslash times1.5\backslash times10^\{-6\}\}\; =$ C=(2π×14.2×106)2×1.5×10−61= 83.75 pF ，特性阻抗 $L/C\; =\; \backslash sqrt\{L/C\}\; =$ L/C = 133.8 Ω。
5. (a) $B=3.6\; MHz/150=\; B\; =\; 3.6\backslash \; \backslash mathrm\{MHz\}/150\; =$ B=3.6 MHz/150= 24 kHz 。(b) 对高 Q 回路，偏离谐振 $\Delta f\backslash Delta\; f$ Δf 处的相对响应约为 $1/\; 1+(2Q\Delta f/f0)2\; 1/\backslash sqrt\{1\; +\; (2Q\backslash Delta\; f/f\_0)^2\}$ 1/1+(2QΔf/f0)2 。 $2\times 150\times 10/3600=0.8332\backslash times150\backslash times10/3600\; =\; 0.833$ 2×150×10/3600=0.833，衰减 $10lg(1+0.8332)=10\backslash lg(1\; +\; 0.833^2)\; =$ 10lg(1+0.8332)= 2.29 dB（按并联回路的完整公式计算是 2.29 dB）。只衰减了 2 dB 多，远远不够把两个电台分开。这就是为什么简单的调谐回路选择性很差，而超外差接收机要把信号变到固定的中频，再用晶体或陶瓷滤波器滤波（第 15 章）。
6. $VC=QVs=\; V\_C\; =\; QV\_s\; =$ VC=QVs= 2000 V （有效值），峰值 $20002=\; 2000\backslash sqrt2\; =$ 20002 = 2828 V。
7. 测得 $Q=Q\; =$ Q= 98.14 （公式值 $\omega 0L/R=98.14\; \backslash omega\_0L/R\; =\; 98.14$ ω0L/R=98.14）。振荡 98 个周期后峰值剩 0.0434 V ，约为 $e-\pi =0.0432e^\{-\backslash pi\}\; =\; 0.0432$ e−π=0.0432。
8. $Cmax=375\; C\_\{\backslash max\}\; =\; 375$ Cmax=375 pF 时， $f=\; 1\; 2\pi \; 240\times 10-6\times 375\times 10-12\; =\; f\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{2\backslash pi\backslash sqrt\{240\backslash times10^\{-6\}\backslash times375\backslash times10^\{-12\}\}\}\; =$ f=2π240×10−6×375×10−12 1= 530.5 kHz，刚好覆盖中波段的低端。
9. $R=\; 1\; 2\pi fcC\; =\; 12\pi \times 3000\times 47\times 10-9\; =\; R\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{2\backslash pi\; f\_c\; C\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{2\backslash pi\backslash times3000\backslash times47\backslash times10^\{-9\}\}\; =$ R=2πfcC1=2π×3000×47×10−91= 1129 Ω，取标准值 1.1 kΩ（截止频率约 3.08 kHz）或 1.2 kΩ（约 2.82 kHz）。
10. 需要 $XC=44.61\; X\_C\; =\; 44.61$ XC=44.61 Ω， $C=\; 12\pi \times 7.1\times 106\times 44.61\; =\; C\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{2\backslash pi\backslash times7.1\backslash times10^6\backslash times44.61\}\; =$ C=2π×7.1×106×44.611= 502.5 pF 。串联后 $Z=50+j44.61-j44.61=50Z\; =\; 50\; +\; j44.61\; -\; j44.61\; =\; 50$ Z=50+j44.61−j44.61=50 Ω。注意这只在 7.1 MHz 成立，频率一变，感抗和容抗就不再相等。第 08 章会系统地讨论阻抗匹配。

参考资料

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6. ARRL. The ARRL Handbook for Radio Communications. 最新版. "Electrical Fundamentals" 章节。

附录：完整代码

下面的代码复现了本章所有数值：最大功率传输、平行板电容与 RC 时间常数、Wheeler 公式、电抗、复阻抗与交流功率、RC 低通、串联谐振的 Q 与带宽（含数值核对）、并联谐振阻抗、用 RK4 求解自由振荡并测量 Q，以及中波矿石机调谐回路的设计，最后画出串联 RLC 的谐振曲线。只依赖 numpy 和 matplotlib，保存为 example.py 后运行 python example.py 即可。

"""无线电自学教程 03：电路基础 ------ 附录代码

1. 欧姆定律与最大功率传输：50 Ω 信号源接不同负载；
2. 电容：平行板电容、RC 充电的时间常数；
3. 电感：单层空心线圈的 Wheeler 公式、RL 时间常数；
4. 电抗：1 μH 与 100 pF 在 7.1 MHz 的电抗，以及两者相等的频率；
5. 复阻抗：50 Ω 串 1 μH，50 Ω 并 100 pF，交流功率与功率因数；
6. RC 低通滤波器：截止频率、-3 dB 与 -45°；
7. 串联谐振：谐振频率、Q、带宽（数值核对）、电压放大；
8. 并联谐振：谐振阻抗 L/(Cr) 的数值核对；
9. 自由振荡：数值求解 RLC 电路的衰减振荡，用对数衰减率测 Q；
10. 中波矿石机的调谐回路：可变电容的范围与线圈匝数。
最后画出串联 RLC 的谐振曲线。
运行：python example.py
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams["font.sans-serif"] = ["Microsoft YaHei", "SimHei", "DejaVu Sans"]
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False

EPS0 = 8.8541878128e-12        # 真空介电常数 [F/m]
INCH = 25.4e-3                 # 1 英寸 [m]


def polar_str(z, unit=""):
    return f"{abs(z):.4g}{unit}∠{np.degrees(np.angle(z)):.2f}°"


def rect_str(z, unit=""):
    sign = "+" if z.imag >= 0 else "-"
    return f"{z.real:.4g} {sign} j{abs(z.imag):.4g}{unit}"


def wheeler_uh(d, length, n):
    """单层空心线圈电感 [μH]。d：线圈直径 [m]，length：绕线长度 [m]，n：匝数。"""
    r, l = d / 2 / INCH, length / INCH
    return r**2 * n**2 / (9 * r + 10 * l)


def resonant_c(f, L):
    return 1 / ((2 * np.pi * f) ** 2 * L)


# ---------------- 1. 欧姆定律与最大功率传输 ----------------
print("=== 1. 最大功率传输：开路电压 100 V（有效值）、内阻 50 Ω ===")
VS, RS = 100.0, 50.0
for rl in (12.5, 25.0, 50.0, 100.0, 200.0):
    i = VS / (RS + rl)
    p_load = i**2 * rl
    eff = rl / (RS + rl)
    print(f"R_L = {rl:6.1f} Ω：电流 {i:.3f} A，负载功率 {p_load:6.2f} W，效率 {eff * 100:5.1f} %")
print(f"理论最大值 V^2/(4R_s) = {VS**2 / (4 * RS):.2f} W")

# ---------------- 2. 电容 ----------------
print("\n=== 2. 电容 ===")
A, d = 10e-4, 1e-3
print(f"平行板：面积 10 cm^2、间距 1 mm、空气：C = εA/d = {EPS0 * A / d * 1e12:.3f} pF")
R, Cc = 10e3, 100e-9
tau = R * Cc
print(f"RC 充电：R = 10 kΩ，C = 100 nF，τ = RC = {tau * 1e3:.1f} ms")
for k in (1, 2, 3, 5):
    print(f"  t = {k}τ：电容电压达到电源电压的 {(1 - np.exp(-k)) * 100:.1f} %")
c1, c2 = 100e-12, 220e-12
print(f"100 pF 与 220 pF：并联 {(c1 + c2) * 1e12:.1f} pF，串联 {c1 * c2 / (c1 + c2) * 1e12:.2f} pF")

# ---------------- 3. 电感 ----------------
print("\n=== 3. 电感 ===")
L_coil = wheeler_uh(20e-3, 20e-3, 15)
print(f"Wheeler 公式：直径 20 mm、长 20 mm、15 匝的空心线圈 L = {L_coil:.3f} μH")
print(f"同一线圈绕 30 匝（长度也加倍）：L = {wheeler_uh(20e-3, 40e-3, 30):.3f} μH")
print(f"RL 电路：L = 100 μH，R = 10 Ω，τ = L/R = {100e-6 / 10 * 1e6:.1f} μs")

# ---------------- 4. 电抗 ----------------
print("\n=== 4. 电抗 X_L = ωL，X_C = 1/(ωC) ===")
L1, C1 = 1e-6, 100e-12
for f in (1e6, 7.1e6, 30e6, 145e6):
    w = 2 * np.pi * f
    print(f"f = {f / 1e6:6.1f} MHz：X_L(1 μH) = {w * L1:8.2f} Ω，X_C(100 pF) = {1 / (w * C1):8.2f} Ω")
print(f"两者相等的频率 f = 1/(2π sqrt(LC)) = {1 / (2 * np.pi * np.sqrt(L1 * C1)) / 1e6:.3f} MHz")

# ---------------- 5. 复阻抗与交流功率 ----------------
print("\n=== 5. 复阻抗（f = 7.1 MHz） ===")
w = 2 * np.pi * 7.1e6
z_series = 50 + 1j * w * L1
print(f"50 Ω 串 1 μH：Z = {rect_str(z_series, ' Ω')} = {polar_str(z_series, ' Ω')}")
V = 10.0
I = V / z_series
print(f"  接 10 V（有效值）：I = {polar_str(I, ' A')}")
print(f"  有功功率 P = |I|^2 R = {abs(I) ** 2 * 50:.3f} W，"
      f"视在功率 S = |V||I| = {V * abs(I):.3f} VA，功率因数 cos φ = {np.cos(np.angle(z_series)):.3f}")
zc = 1 / (1j * w * C1)
z_par = 50 * zc / (50 + zc)
print(f"50 Ω 并 100 pF：Z = {rect_str(z_par, ' Ω')} = {polar_str(z_par, ' Ω')}")

# ---------------- 6. RC 低通 ----------------
print("\n=== 6. RC 低通：R = 1 kΩ，C = 47 nF ===")
R6, C6 = 1e3, 47e-9
fc = 1 / (2 * np.pi * R6 * C6)
print(f"截止频率 f_c = 1/(2πRC) = {fc:.1f} Hz")
for f in (fc / 10, fc, 3e3, 10 * fc):
    H = 1 / (1 + 1j * 2 * np.pi * f * R6 * C6)
    print(f"  f = {f:8.1f} Hz：|H| = {20 * np.log10(abs(H)):7.2f} dB，相位 {np.degrees(np.angle(H)):7.2f}°")

# ---------------- 7. 串联谐振 ----------------
print("\n=== 7. 串联 RLC：L = 2.2 μH，谐振于 7.1 MHz，R = 5 Ω ===")
L7, R7, F0 = 2.2e-6, 5.0, 7.1e6
C7 = resonant_c(F0, L7)
w0 = 2 * np.pi * F0
Q7 = w0 * L7 / R7
print(f"C = 1/(ω0^2 L) = {C7 * 1e12:.2f} pF")
print(f"Q = ω0 L / R = {Q7:.2f}，也等于 sqrt(L/C)/R = {np.sqrt(L7 / C7) / R7:.2f}")
print(f"特性阻抗 sqrt(L/C) = {np.sqrt(L7 / C7):.2f} Ω，带宽 f0/Q = {F0 / Q7 / 1e3:.1f} kHz")
f = np.linspace(6e6, 8.2e6, 2_000_001)
Z = R7 + 1j * (2 * np.pi * f * L7 - 1 / (2 * np.pi * f * C7))
Imag = 1 / np.abs(Z)
band = f[Imag >= Imag.max() / np.sqrt(2)]
print(f"数值核对：电流最大处 {f[np.argmax(Imag)] / 1e6:.4f} MHz，"
      f"半功率点 {band[0] / 1e6:.4f} ~ {band[-1] / 1e6:.4f} MHz，带宽 {(band[-1] - band[0]) / 1e3:.1f} kHz")
print(f"信号源 1 V（有效值）：谐振时电流 {1 / R7:.2f} A，电感和电容上的电压各 {Q7:.2f} V")

# ---------------- 8. 并联谐振 ----------------
print("\n=== 8. 并联谐振：同样的 L、C，电感的损耗电阻 r = 5 Ω ===")
r8 = 5.0
zp = lambda f: (r8 + 1j * 2 * np.pi * f * L7) / (1 - (2 * np.pi * f) ** 2 * L7 * C7 + 1j * 2 * np.pi * f * C7 * r8)
Zp = zp(f)
k = np.argmax(np.abs(Zp))
print(f"公式 L/(C r) = {L7 / (C7 * r8):.1f} Ω，Q^2 r = {Q7**2 * r8:.1f} Ω")
print(f"数值：|Z| 最大 {abs(Zp[k]):.1f} Ω，出现在 {f[k] / 1e6:.4f} MHz；"
      f"在 1/(2π sqrt(LC)) 处 |Z| = {abs(zp(F0)):.1f} Ω，相位 {np.degrees(np.angle(zp(F0))):.2f}°")

# ---------------- 9. 自由振荡与 Q ----------------
print("\n=== 9. 自由振荡：电容先充到 1 V，然后让 RLC 回路自己振荡 ===")


def ring_down(L, C, R, cycles=40, steps_per_cycle=400):
    """RK4 求解 L di/dt + R i + q/C = 0，返回时间和电容电压。"""
    T0 = 2 * np.pi * np.sqrt(L * C)
    dt = T0 / steps_per_cycle
    n = int(cycles * steps_per_cycle)
    q, i = C * 1.0, 0.0
    vc = np.empty(n)

    def deriv(q, i):
        return i, -(R * i + q / C) / L

    for m in range(n):
        vc[m] = q / C
        k1 = deriv(q, i)
        k2 = deriv(q + dt / 2 * k1[0], i + dt / 2 * k1[1])
        k3 = deriv(q + dt / 2 * k2[0], i + dt / 2 * k2[1])
        k4 = deriv(q + dt * k3[0], i + dt * k3[1])
        q += dt / 6 * (k1[0] + 2 * k2[0] + 2 * k3[0] + k4[0])
        i += dt / 6 * (k1[1] + 2 * k2[1] + 2 * k3[1] + k4[1])
    return np.arange(n) * dt, vc


t9, vc9 = ring_down(L7, C7, R7)
peaks = [0] + [m for m in range(1, len(vc9) - 1)
               if vc9[m] > vc9[m - 1] and vc9[m] >= vc9[m + 1] and vc9[m] > 0]
pk = vc9[peaks]                                   # pk[n]：第 n 个周期结束时的峰值
delta = np.mean(np.log(pk[:-1] / pk[1:]))
print(f"相邻正峰值之比的对数（对数衰减率）δ = {delta:.5f}")
print(f"由衰减测得 Q = π/δ = {np.pi / delta:.2f}，公式 ω0L/R = {Q7:.2f}")
for n in (5, 10, 20):
    print(f"振荡 {n:2d} 个周期后，峰值剩 {pk[n]:.4f} V（按 e^(-nπ/Q) 应为 {np.exp(-n * np.pi / Q7):.4f}）")

# ---------------- 10. 中波矿石机的调谐回路 ----------------
print("\n=== 10. 中波调谐：L = 240 μH，覆盖 530 ~ 1600 kHz ===")
L10 = 240e-6
c_lo, c_hi = resonant_c(1600e3, L10), resonant_c(530e3, L10)
print(f"需要的电容：{c_lo * 1e12:.1f} pF（1600 kHz）~ {c_hi * 1e12:.1f} pF（530 kHz），"
      f"比值 {c_hi / c_lo:.2f} = (1600/530)^2 = {(1600 / 530) ** 2:.2f}")
d10, pitch = 50e-3, 0.35e-3                 # 线圈骨架直径、每匝占的长度（0.3 mm 漆包线密绕）
r_in, p_in, L_uh = d10 / 2 / INCH, pitch / INCH, L10 * 1e6
N = (10 * L_uh * p_in + np.sqrt((10 * L_uh * p_in) ** 2 + 36 * L_uh * r_in**3)) / (2 * r_in**2)
print(f"在直径 50 mm 的骨架上密绕：需要 {N:.1f} 匝，绕线长度 {N * pitch * 1e3:.1f} mm，"
      f"核算 L = {wheeler_uh(d10, N * pitch, N):.1f} μH")
for cmin in (15e-12, 25e-12):
    print(f"可变电容 {cmin * 1e12:.0f} ~ 365 pF 配 240 μH：调谐范围 "
          f"{1 / (2 * np.pi * np.sqrt(L10 * 365e-12)) / 1e3:.0f} ~ {1 / (2 * np.pi * np.sqrt(L10 * cmin)) / 1e3:.0f} kHz")

# ---------------- 画图：串联谐振曲线 ----------------
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4.5))
fx = np.linspace(6e6, 8.2e6, 2000)
for R_ in (20.0, 5.0, 1.0):
    Zx = R_ + 1j * (2 * np.pi * fx * L7 - 1 / (2 * np.pi * fx * C7))
    ax.plot(fx / 1e6, 20 * np.log10(R_ / np.abs(Zx)), label=f"R = {R_:g} Ω，Q = {w0 * L7 / R_:.0f}")
ax.set_xlabel("频率 / MHz")
ax.set_ylabel("电流（相对谐振时）/ dB")
ax.set_title("串联 RLC 谐振曲线：Q 越高，曲线越尖")
ax.set_ylim(-40, 2)
ax.grid(True, color="#e6e5e1")
ax.legend()
fig.tight_layout()
plt.show()

运行后的完整输出：

=== 1. 最大功率传输：开路电压 100 V（有效值）、内阻 50 Ω ===
R_L =   12.5 Ω：电流 1.600 A，负载功率  32.00 W，效率  20.0 %
R_L =   25.0 Ω：电流 1.333 A，负载功率  44.44 W，效率  33.3 %
R_L =   50.0 Ω：电流 1.000 A，负载功率  50.00 W，效率  50.0 %
R_L =  100.0 Ω：电流 0.667 A，负载功率  44.44 W，效率  66.7 %
R_L =  200.0 Ω：电流 0.400 A，负载功率  32.00 W，效率  80.0 %
理论最大值 V^2/(4R_s) = 50.00 W

=== 2. 电容 ===
平行板：面积 10 cm^2、间距 1 mm、空气：C = εA/d = 8.854 pF
RC 充电：R = 10 kΩ，C = 100 nF，τ = RC = 1.0 ms
  t = 1τ：电容电压达到电源电压的 63.2 %
  t = 2τ：电容电压达到电源电压的 86.5 %
  t = 3τ：电容电压达到电源电压的 95.0 %
  t = 5τ：电容电压达到电源电压的 99.3 %
100 pF 与 220 pF：并联 320.0 pF，串联 68.75 pF

=== 3. 电感 ===
Wheeler 公式：直径 20 mm、长 20 mm、15 匝的空心线圈 L = 3.055 μH
同一线圈绕 30 匝（长度也加倍）：L = 7.231 μH
RL 电路：L = 100 μH，R = 10 Ω，τ = L/R = 10.0 μs

=== 4. 电抗 X_L = ωL，X_C = 1/(ωC) ===
f =    1.0 MHz：X_L(1 μH) =     6.28 Ω，X_C(100 pF) =  1591.55 Ω
f =    7.1 MHz：X_L(1 μH) =    44.61 Ω，X_C(100 pF) =   224.16 Ω
f =   30.0 MHz：X_L(1 μH) =   188.50 Ω，X_C(100 pF) =    53.05 Ω
f =  145.0 MHz：X_L(1 μH) =   911.06 Ω，X_C(100 pF) =    10.98 Ω
两者相等的频率 f = 1/(2π sqrt(LC)) = 15.915 MHz

=== 5. 复阻抗（f = 7.1 MHz） ===
50 Ω 串 1 μH：Z = 50 + j44.61 Ω = 67.01 Ω∠41.74°
  接 10 V（有效值）：I = 0.1492 A∠-41.74°
  有功功率 P = |I|^2 R = 1.114 W，视在功率 S = |V||I| = 1.492 VA，功率因数 cos φ = 0.746
50 Ω 并 100 pF：Z = 47.63 - j10.62 Ω = 48.8 Ω∠-12.57°

=== 6. RC 低通：R = 1 kΩ，C = 47 nF ===
截止频率 f_c = 1/(2πRC) = 3386.3 Hz
  f =    338.6 Hz：|H| =   -0.04 dB，相位   -5.71°
  f =   3386.3 Hz：|H| =   -3.01 dB，相位  -45.00°
  f =   3000.0 Hz：|H| =   -2.52 dB，相位  -41.54°
  f =  33862.8 Hz：|H| =  -20.04 dB，相位  -84.29°

=== 7. 串联 RLC：L = 2.2 μH，谐振于 7.1 MHz，R = 5 Ω ===
C = 1/(ω0^2 L) = 228.40 pF
Q = ω0 L / R = 19.63，也等于 sqrt(L/C)/R = 19.63
特性阻抗 sqrt(L/C) = 98.14 Ω，带宽 f0/Q = 361.7 kHz
数值核对：电流最大处 7.1000 MHz，半功率点 6.9214 ~ 7.2832 MHz，带宽 361.7 kHz
信号源 1 V（有效值）：谐振时电流 0.20 A，电感和电容上的电压各 19.63 V

=== 8. 并联谐振：同样的 L、C，电感的损耗电阻 r = 5 Ω ===
公式 L/(C r) = 1926.4 Ω，Q^2 r = 1926.4 Ω
数值：|Z| 最大 1928.9 Ω，出现在 7.1000 MHz；在 1/(2π sqrt(LC)) 处 |Z| = 1928.9 Ω，相位 -2.92°

=== 9. 自由振荡：电容先充到 1 V，然后让 RLC 回路自己振荡 ===
相邻正峰值之比的对数（对数衰减率）δ = 0.16010
由衰减测得 Q = π/δ = 19.62，公式 ω0L/R = 19.63
振荡  5 个周期后，峰值剩 0.4491 V（按 e^(-nπ/Q) 应为 0.4492）
振荡 10 个周期后，峰值剩 0.2017 V（按 e^(-nπ/Q) 应为 0.2018）
振荡 20 个周期后，峰值剩 0.0407 V（按 e^(-nπ/Q) 应为 0.0407）

=== 10. 中波调谐：L = 240 μH，覆盖 530 ~ 1600 kHz ===
需要的电容：41.2 pF（1600 kHz）~ 375.7 pF（530 kHz），比值 9.11 = (1600/530)^2 = 9.11
在直径 50 mm 的骨架上密绕：需要 66.9 匝，绕线长度 23.4 mm，核算 L = 240.0 μH
可变电容 15 ~ 365 pF 配 240 μH：调谐范围 538 ~ 2653 kHz
可变电容 25 ~ 365 pF 配 240 μH：调谐范围 538 ~ 2055 kHz