无线电自学教程 05：第一台收音机——从矿石机到 SDR

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本章目标：读完本章，你将能够

• 说出一台接收机必须完成的几件事：选择、解调、还原；
• 推导二极管包络检波器时间常数的上下限，解释"对角切割失真"和纹波；
• 理解真实二极管的平方律检波，说清楚矿石机为什么要用锗二极管；
• 动手做一台不用电池的矿石收音机，并估算它从电波里能得到多大的电压；
• 理解软件无线电（SDR）的基本结构，装好 RTL-SDR 并收听 FM 广播；
• 用 Python 实现 FM 广播的鉴相解调和去加重，解码一条真实格式的 ADS-B 飞机报文。

前置知识：第 01 章的 AM 与平方反比、第 03 章的 RC 电路和调谐回路、第 04 章的频谱与 FFT。

前四章我们准备了足够多的理论，现在该听到声音了。

本章分两半。前一半回到一百年前，做一台矿石收音机 ：一个线圈、一个可变电容、一个二极管、一副耳机，不用电池，靠电台发来的电波本身的能量就能发声。它是理解"接收机到底在做什么"的最好起点。后一半跳到今天，用一个两百元左右、U 盘大小的 RTL-SDR 接收器，把一大段频谱直接变成数字，交给电脑和 Python 处理。我们会用 Python 解调 FM 广播，再解码一条飞机发出的 ADS-B 报文。

一、接收机要做的三件事

图 1：一台最简单的 AM 接收机。上：功能方框；下：每一级的信号波形。

不论简单还是复杂，接收机都要完成三件事：

1. 选择：天线收到的是所有电台信号的叠加（图 1 左下）。接收机要从中选出一个。矿石机靠第 03 章的 LC 调谐回路，现代接收机靠超外差（第 15 章）或数字滤波（第 20 章）；
2. 解调 ：选出的信号是已调载波，信息藏在它的幅度、频率或相位里。接收机要把信息取出来。对 AM 来说，就是取出包络；
3. 还原：把解调出的信号变成人能感知的东西，比如声音、图像或文字。

真正的接收机通常还要做第四件事：放大。矿石机没有任何放大，所以只能收听强信号。

二、包络检波

1. 工作原理

AM 信号的信息在包络里，所以只要能"描出"包络就行。最简单的电路是一个二极管加一个 RC 并联网络：

图 2：左：二极管包络检波器。中：检波输出跟随 AM 信号的包络。右：放大看，每个载波周期的峰值附近二极管导通、给电容充电，其余时间电容经电阻放电。

• 输入电压高于电容电压时，二极管导通，电容迅速充电到输入的峰值；
• 输入电压低于电容电压时，二极管截止，电容经电阻 R 缓慢放电，时间常数 $\tau =RC\backslash tau\; =\; RC$ τ=RC。

于是电容电压"骑"在每个载波周期的峰值上，大致描出了包络，只是带有锯齿状的纹波。

2. 时间常数的上下限

RC 的选择有两个相互矛盾的要求。

**下限：要远大于载波周期。**否则电容在两个载波峰之间就放电完了，输出跟着载波起落，纹波很大。所以要求 $RC\gg 1/fcRC\; \backslash gg\; 1/f\_c$ RC≫1/fc。

**上限：放电要跟得上包络的下降。**包络 $1+\mu cos\omega mt1\; +\; \backslash mu\backslash cos\backslash omega\_m\; t$ 1+μcosωmt 下降时，电容电压必须至少以同样快的速度下降，否则输出会脱离包络，变成一段指数曲线。电容放电的速率是 $v/RCv/RC$ v/RC，包络下降的速率是 $\mu \omega msin\omega mt\; \backslash mu\backslash omega\_m\backslash sin\backslash omega\_m\; t$ μωmsinωmt，要求在任何时刻
$$1+\mu cos\theta RC\; \ge \mu \hspace{0.17em}\omega msin\theta ,\theta =\omega mt\; \backslash frac\{1\; +\; \backslash mu\backslash cos\backslash theta\}\{RC\}\; \backslash ge\; \backslash mu\backslash ,\backslash omega\_m\backslash sin\backslash theta,\backslash qquad\; \backslash theta\; =\; \backslash omega\_m\; t$$ RC1+μcosθ≥μωmsinθ,θ=ωmt

即 $RC\le \; 1+\mu cos\theta \; \mu \hspace{0.17em}\omega msin\theta \; RC\; \backslash le\; \backslash dfrac\{1\; +\; \backslash mu\backslash cos\backslash theta\}\{\backslash mu\backslash ,\backslash omega\_m\backslash sin\backslash theta\}$ RC≤μωmsinθ1+μcosθ 对所有 $\theta \backslash theta$ θ 成立。对 $\theta \backslash theta$ θ 求右边的最小值：令导数为零，得到 $cos\theta =-\mu \backslash cos\backslash theta\; =\; -\backslash mu$ cosθ=−μ，代回去，
$$RC\le \; 1-\mu 2\; \mu \hspace{0.17em}\omega m\; \backslash boxed\{\backslash \; RC\; \backslash le\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{1\; -\; \backslash mu^2\}\}\{\backslash mu\backslash ,\backslash omega\_m\}\backslash \; \}$$ RC≤μωm1−μ2

违反这个条件产生的失真称为对角切割失真。调制度越深、音频频率越高，上限越严格。

图 3：三种时间常数下的检波输出（载波 100 kHz，音频 1 kHz，调制度 0.8）。

以载波 100 kHz（为了仿真方便，按比例缩小）、音频 1 kHz、调制度 0.8 为例，上限是 $1-0.64\; /(0.8\times 2\pi \times 1000)=119.4\; \backslash sqrt\{1\; -\; 0.64\}/(0.8\backslash times2\backslash pi\backslash times1000)\; =\; 119.4$ 1−0.64 /(0.8×2π×1000)=119.4 μs，载波周期是 10 μs。附录代码用理想二极管模型逐点仿真了三种时间常数：

RC	音频幅度（理想 0.8）	总谐波失真	100 kHz 纹波幅度
3 μs（太小）	0.373	1.00 %	0.3907
100 μs（合适）	0.764	0.03 %	0.0302
1 ms（太大）	0.375	36.21 %	0.0043

RC 太小时纹波很大，输出幅度只有一半；RC 太大时纹波最小，但对角切割让失真高达 36%；100 μs 时两者兼顾。剩下的纹波频率很高（100 kHz），耳朵听不到，耳机也跟不上，所以无关紧要。

3. 真实的二极管：小信号时是平方律

上面的仿真假设二极管是理想开关。真实二极管的电流由肖克利方程描述：
$$i=Is(e\; v/(nVT)\; -1)\; i\; =\; I\_s\backslash left(e^\{v/(nV\_T)\}\; -\; 1\backslash right)$$ i=Is(ev/(nVT)−1)

其中 $VT=kT/q\approx 25.85\; V\_T\; =\; kT/q\; \backslash approx\; 25.85$ VT=kT/q≈25.85 mV 是热电压（300 K）， $Is\; I\_s$ Is 是反向饱和电流， $nn$ n 是理想因子。当输入 $Acos\omega tA\backslash cos\backslash omega\; t$ Acosωt 加在二极管和负载 $RR$ R 上，稳态时检波输出是一个直流电压 $VV$ V（这里只看载波，不加调制）。在一个载波周期内，二极管的平均电流必须等于流过负载的电流 $V/RV/R$ V/R：
$$Is$$ 12π ∫02π e(Acos⁡θ−V)/(nVT) dθ−1 =VR I_s\left\\frac{1}{2\\pi}\\int_0\^{2\\pi} e\^{(A\\cos\\theta - V)/(nV_T)}\\,d\\theta - 1\\right = \frac{V}{R} Is2π1∫02πe(Acosθ−V)/(nVT)dθ−1=RV

括号里的积分恰好是零阶修正贝塞尔函数 $I0\hspace{0.17em}\; (\; A\; nVT\; )\; I\_0\backslash !\backslash left(\backslash frac\{A\}\{nV\_T\}\backslash right)$ I0(nVTA) 乘以 $e-V/(nVT)e^\{-V/(nV\_T)\}$ e−V/(nVT)。附录代码用二分法解出 $VV$ V。小信号时 $I0(x)\approx 1+x2/4\; I\_0(x)\; \backslash approx\; 1\; +\; x^2/4$ I0(x)≈1+x2/4，可以推出 $V\propto A2V\; \backslash propto\; A^2$ V∝A2：输出与输入振幅的平方成正比 ，这叫平方律检波 。只有信号足够大时，输出才接近理想的 $V\approx AV\; \backslash approx\; A$ V≈A。

图 4：两种二极管的检波特性（负载 100 kΩ，双对数坐标）。

附录代码对比了两种二极管模型（ $Is\; I\_s$ Is 取数量级上的典型值）：

输入振幅 A	低阈值二极管（ $Is=10-7\; I\_s\; =\; 10^\{-7\}$ Is=10−7 A）	普通硅二极管（ $Is=10-12\; I\_s\; =\; 10^\{-12\}$ Is=10−12 A）
10 mV	0.270 mV	$3.8\times 10-63.8\backslash times10^\{-6\}$ 3.8×10−6 mV
30 mV	2.43 mV	$3.7\times 10-53.7\backslash times10^\{-5\}$ 3.7×10−5 mV
100 mV	26.4 mV	$9.1\times 10-49.1\backslash times10^\{-4\}$ 9.1×10−4 mV
300 mV	170 mV	1.24 mV
1000 mV	815 mV	529 mV

$Is\; I\_s$ Is 大的二极管（锗管、肖特基管）在几十毫伏时就能检出可用的信号；普通硅管在 300 mV 以下几乎没有输出，这就是人们常说的硅管"导通电压高"。矿石机收到的信号只有几十到几百毫伏，所以必须用锗二极管。

平方律检波还有一个代价：对 AM 信号 $(1+\mu cos\omega mt)(1\; +\; \backslash mu\backslash cos\backslash omega\_m\; t)$ (1+μcosωmt) 取平方，会产生二倍音频的分量。附录代码算出 $\mu =1\backslash mu\; =\; 1$ μ=1 时二次谐波失真为 25.0%，理论值是 $\mu /4\backslash mu/4$ μ/4。所以弱信号在矿石机里听起来会有些失真。

4. 数字包络检波

在软件无线电里，包络检波变得异常简单。SDR 给出的是复基带信号 $I+jQI\; +\; jQ$ I+jQ（第 19 章详细讲），AM 信号的包络就是它的模：
$$m^(t)=\mid I(t)+jQ(t)\mid =\; I2+Q2\; \backslash hat\; m(t)\; =\; |I(t)\; +\; jQ(t)|\; =\; \backslash sqrt\{I^2\; +\; Q^2\}$$ m^(t)=∣I(t)+jQ(t)∣=I2+Q2

附录代码对任意载波相位的复基带 AM 信号直接取模，得到的音频幅度正好是 0.800，总谐波失真只有 $7.7\times 10-147.7\backslash times10^\{-14\}$ 7.7×10−14%，也就是计算机的舍入误差。没有纹波，也没有时间常数的取舍，因为复基带信号里已经没有载波了。

三、动手做一台矿石收音机

1. 电路

图 5：矿石收音机电路。左半部分是第 03 章设计的调谐回路，右半部分是本章的包络检波器。

元件	规格	作用
天线	10～30 m 的导线，尽量高、尽量远离房屋	接收电波
地线	接地棒，或者自来水管（金属管）	为天线电流提供回路
线圈 L	240 μH：直径 50 mm 的骨架上用 0.3 mm 漆包线密绕 67 匝（第 03 章）	与 C 组成调谐回路
可变电容 C	单联，约 15～365 pF	调谐，覆盖 530～1600 kHz
二极管	锗二极管，如 1N34A、2AP9	检波
电容	1 nF	与 100 kΩ 组成 RC = 100 μs 的检波负载，同时旁路载波
电阻	100 kΩ	电容的放电通路
耳机	高阻耳机（晶体耳机）	发声

几点说明：

• 为什么要 100 kΩ 电阻 ：晶体耳机本身几乎就是一个电容，没有直流通路。如果不并联电阻，检波电容充上电后无处放电，几秒钟后就没声音了。 $RC=100\; k\Omega \times 1\; nF=100RC\; =\; 100\backslash \; \backslash mathrm\{k\backslash Omega\}\backslash times1\backslash \; \backslash mathrm\{nF\}\; =\; 100$ RC=100 kΩ×1 nF=100 μs，正好满足第二节的条件；
• 为什么要高阻耳机：普通的 32 Ω 耳机需要毫瓦级的功率才能听到声音，而且会严重加重调谐回路的负载，让 Q 值大大下降，选择性变差。晶体耳机几乎不消耗功率；
• 安全：天线不要靠近任何电力线；雷雨天气要把天线断开并接地；地线不能接燃气管道。

2. 能量从哪里来

矿石机没有电池，耳机里的每一点声音都来自电台发出的电波。能有多少呢？

由第 01 章，各向同性辐射的功率密度 $S=PtG/(4\pi d2)\; S\; =\; P\_tG/(4\backslash pi\; d^2)$ S=PtG/(4πd2)，又 $S=E2/\eta 0\; S\; =\; E^2/\backslash eta\_0$ S=E2/η0， $\eta 0\approx 120\pi \; \backslash eta\_0\; \backslash approx\; 120\backslash pi$ η0≈120π，所以电场强度
$$E=\; \eta 0PtG\; 4\pi d2\; =\; 30\hspace{0.17em}Pt\hspace{0.17em}G\; d\; E\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{\backslash eta\_0\; P\_t\; G\}\{4\backslash pi\; d^2\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{30\backslash ,P\_t\backslash ,G\}\}\{d\}$$ E=4πd2η0PtG =d30PtG

附录代码以 50 km 外一座 100 kW 的中波电台为例（按自由空间粗略估算， $G=1G\; =\; 1$ G=1）： $E=34.6E\; =\; 34.6$ E=34.6 mV/m。天线的开路电压近似等于场强乘以天线的有效高度 ，对于一根挂在十来米高处的导线，有效高度取 5 m，开路电压约 173 mV。

这个电压再经过调谐回路（谐振时有一定的电压增益）送到二极管上，正好落在图 4 中锗二极管能工作、硅管几乎不工作的区间。这也说明了为什么矿石机需要一根又长又高的天线：天线越高，有效高度越大，收到的电压越高。

需要说明的是，中波主要靠地波传播，经过地面时有额外的损耗，实际场强通常低于自由空间的估算；离电台越近，效果越好。在大城市里，附近的大功率电台很容易收到；在偏远地区，晚上靠天波可能听到远方的电台。

3. 矿石机的局限

• 没有放大：只能听强台；
• 选择性差：只有一个调谐回路，而且天线和耳机都会降低它的 Q。第 03 章练习 5 算过，Q = 150 的回路对相邻 10 kHz 的电台只衰减 2 dB 多。强台常常会"盖住"整个波段；
• 只能收 AM。

这些局限，正是后面几章要一一解决的问题：放大器（第 16 章）、超外差接收机（第 15 章）、FM 与 SSB 的解调（第 12、13 章）。不过，我们也可以绕过这些模拟电路，直接走到最前沿：软件无线电。

四、软件无线电

1. 把一段频谱变成数字

图 6：RTL-SDR 的结构。硬件只负责把一段频谱搬下来、变成数字，剩下的工作全部由电脑完成。

软件无线电（Software Defined Radio，SDR）的思想是：让硬件只做最少的事，即放大、把一段频谱搬到低频、数字化，然后把数字样本交给电脑；选择、解调、解码全部用软件完成。想收 FM 就运行 FM 解调程序，想收飞机信号就运行 ADS-B 解码程序，硬件完全不用改。

RTL-SDR 本来是一种 DVB-T 数字电视接收棒。2012 年前后，爱好者们发现它的芯片 RTL2832U 有一个可以直接输出原始 IQ 样本的模式，于是开源社区为它写了驱动程序。从此，花两百元左右就能拥有一台覆盖几十 MHz 到上千 MHz 的宽带接收机。

2. 关键参数

参数	数值	含义
频率范围	约 24～1766 MHz（R820T2 调谐器）	覆盖 FM 广播、航空波段、业余 2 米和 70 厘米波段、ADS-B 等。部分改进型号（如 RTL-SDR Blog V3、V4）可通过直接采样或内置上变频器接收 HF
ADC	8 位	理想信噪比 $6.02\times 8+1.76=49.96.02\backslash times8\; +\; 1.76\; =\; 49.9$ 6.02×8+1.76=49.9 dB，动态范围有限，强信号附近容易过载（第 18 章）
采样率	稳定工作约 2.4 MS/s（复数）	一次能看到 2.4 MHz 宽的频谱
数据率	2.4 MS/s × 2 字节 = 4.8 MB/s	经 USB 2.0 传给电脑
FFT 分辨率	2.4 MS/s ÷ 2048 = 1171.9 Hz	用 2048 点 FFT 画瀑布图时每个频点的宽度（第 04 章）

3. 安装与第一次开机

1. 驱动 ：Windows 上用 Zadig 工具把接收棒的驱动换成 WinUSB；Linux 上安装 rtl-sdr 软件包；
2. 软件：推荐跨平台的 SDR++，Windows 上也可以用 SDR#，Linux 和 macOS 上可以用 GQRX；
3. 天线：接收棒附带的拉杆天线就能用。收 FM 广播时把两根振子各拉到约 75 cm（100 MHz 的 λ/4，第 01 章），水平或竖直放置都试一试；
4. 收听 FM 广播：把频率调到 87～108 MHz 之间，解调方式选 WFM（宽带调频），带宽约 200 kHz。在瀑布图上，每个电台是一条约 200 kHz 宽的亮带；
5. 调增益：8 位 ADC 很容易过载。增益太高时，瀑布图上会冒出很多原本不存在的"假信号"，这时要把增益降下来。

收听业余 2 米波段的中继台（144～148 MHz，NFM 窄带调频），以及航空波段（118～137 MHz，AM），步骤类似，只是解调方式不同。请遵守无线电管理规定，不要录制、传播收听到的非公开通信内容。

五、用 Python 解调 FM 广播

现在我们用 Python 实现 SDR 软件里的 WFM 解调器。为了让没有硬件的读者也能运行，附录代码先仿真一个 FM 广播信号，再对它进行解调；最后给出接上 RTL-SDR 时需要替换的几行代码。

1. FM 广播的参数

参数	数值
频段	87～108 MHz
最大频偏	±75 kHz
音频带宽	15 kHz
预加重时间常数	50 μs（我国和欧洲；美国为 75 μs）
卡森带宽 $2(\Delta f+fm)2(\backslash Delta\; f\; +\; f\_m)$ 2(Δf+fm)	$2\times (75+15)=1802\backslash times(75\; +\; 15)\; =\; 180$ 2×(75+15)=180 kHz

仿真中的音频是两个单音：1 kHz（幅度 0.6）和 6 kHz（幅度 0.15）。复基带采样率取 240 kHz。

2. 鉴相解调

FM 信号的复基带形式是 $x(t)=ej\phi (t)x(t)\; =\; e^\{j\backslash varphi(t)\}$ x(t)=ejφ(t)，其中相位 $\phi (t)=2\pi \Delta f\int m(\tau )\hspace{0.17em}d\tau \backslash varphi(t)\; =\; 2\backslash pi\backslash Delta\; f\backslash int\; m(\backslash tau)\backslash ,d\backslash tau$ φ(t)=2πΔf∫m(τ)dτ。瞬时频率是相位的导数：
$$fi(t)=\; 12\pi \; d\phi dt\; =\Delta f\cdot m(t)\; f\_i(t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\backslash frac\{d\backslash varphi\}\{dt\}\; =\; \backslash Delta\; f\backslash cdot\; m(t)$$ fi(t)=2π1dtdφ=Δf⋅m(t)

数字实现时，用相邻两个样本的相位差代替导数。一个巧妙的写法是：
$$\Delta \phi$$n=arg⁡(xn x∗n−1),m^n= Δφn fs2πΔf \Delta\varphin = \arg\left(xn\,x^*n-1\right),\qquad \hat mn = \frac{\Delta\varphin\,f_s}{2\pi\Delta f} Δφn=arg(xnx∗n−1),m^n=2πΔfΔφnfs

$x$nx∗n−1xnx^*n-1 xnx∗n−1 的辐角正好是两个样本的相位之差（第 02 章：复数相乘，辐角相加；乘以共轭，辐角相减），而且结果自动落在 $(-\pi ,\pi ](-\backslash pi,\; \backslash pi]$ (−π,π] 内，不用担心相位卷绕。前提是相邻样本间的相位差不能超过 $\pi \backslash pi$ π，所以采样率必须足够高（练习 6）。

3. 预加重与去加重

FM 解调后的噪声有一个特点：频率越高，噪声越大（第 13 章会推导出噪声幅度谱随频率线性上升）。而音乐和话音的能量主要在低频，高频分量本来就弱，于是高频部分的信噪比特别差。

对策是：发射端先把高频提升 （预加重 ），接收端再把高频衰减 回来（去加重 ）。信号经过两次处理后恢复原状，而接收机引入的高频噪声只经过了去加重，被压低了。去加重就是第 03 章的 RC 低通滤波器，时间常数 50 μs，转折频率 $1/(2\pi \times 50\; \mu s)=31831/(2\backslash pi\backslash times50\backslash \; \backslash mu\backslash mathrm\{s\})\; =\; 3183$ 1/(2π×50 μs)=3183 Hz。数字实现是一个单极点滤波器：
$$y$$n=a yn−1+(1−a) xn,a=e −1/(fsτ) yn = a\,yn-1 + (1-a)\,xn,\qquad a = e^{-1/(f_s\tau)} yn=ayn−1+(1−a)xn,a=e−1/(fsτ)

4. 仿真结果

图 7：左：接收到的 FM 信号的频谱（载噪比 20 dB）。右：解调后的音频频谱，红色为不用预加重和去加重，蓝色为使用。

附录代码在载噪比 20 dB 的条件下，分别不用和使用预加重/去加重，解调出音频，再低通滤波到 15 kHz、抽取到 48 kHz 采样率：

	不用预加重 / 去加重	使用预加重 / 去加重
调制信号峰值（满偏 = 1）	0.750	0.944
解调出的 1 kHz 幅度（原 0.6）	0.5999	0.5999
解调出的 6 kHz 幅度（原 0.15）	0.1500	0.1500
音频信噪比	44.6 dB	54.3 dB

两种方式都准确还原了两个单音的幅度，而预加重/去加重把信噪比提高了约 10 dB。代价是预加重让调制信号的峰值变大（0.750 → 0.944），广播电台要相应控制高频的音量，以免超出允许的频偏。

附录代码还测出这个 FM 信号的 99% 功率带宽为 144.0 kHz，比卡森公式 $2\times (75+6)=1622\backslash times(75\; +\; 6)\; =\; 162$ 2×(75+6)=162 kHz 略窄。卡森公式只是一个保守的估计，第 13 章会用贝塞尔函数精确计算 FM 的频谱。

5. 接上真实的 RTL-SDR

如果你有 RTL-SDR，安装 Python 库 pyrtlsdr（python -m pip install pyrtlsdr），把附录代码中生成仿真信号的部分换成从接收棒读取样本即可。下面是一个最小的例子，它把解调出的音频保存成 WAV 文件：

import wave
import numpy as np
from rtlsdr import RtlSdr

FS, DEV, TAU = 240e3, 75e3, 50e-6
sdr = RtlSdr()
sdr.sample_rate = FS              # RTL-SDR 支持 225～300 kS/s 和 0.9～3.2 MS/s 两个区间
sdr.center_freq = 97.4e6          # 改成你所在地区一个 FM 电台的频率
sdr.gain = "auto"
x = sdr.read_samples(int(FS * 5))   # 读 5 秒
sdr.close()

d = np.angle(x[1:] * np.conj(x[:-1])) * FS / (2 * np.pi * DEV)     # 鉴相
a = np.exp(-1 / (FS * TAU))
y = np.empty_like(d)
acc = 0.0
for i, v in enumerate(d):                                          # 去加重
    acc = a * acc + (1 - a) * v
    y[i] = acc
k = np.arange(101) - 50
h = 2 * 15e3 / FS * np.sinc(2 * 15e3 / FS * k) * np.hanning(101)
audio = np.convolve(y, h / h.sum(), mode="same")[::5]              # 低通并抽取到 48 kHz
pcm = (np.clip(audio / np.abs(audio).max(), -1, 1) * 32767 * 0.8).astype(np.int16)
with wave.open("fm.wav", "wb") as w:
    w.setnchannels(1)
    w.setsampwidth(2)
    w.setframerate(48000)
    w.writeframes(pcm.tobytes())

说明 ：这段代码需要接上 RTL-SDR 才能运行。编写本文时手边没有硬件，它没有经过实际运行，只是附录代码中已验证的解调算法加上 pyrtlsdr 的读取接口。如果遇到问题，可以先检查驱动是否装好、center_freq 是不是本地真实存在的电台频率。

六、解码一条 ADS-B 报文

1. 什么是 ADS-B

民航飞机通过 ADS-B（广播式自动相关监视）在 1090 MHz 上不停地广播自己的身份、位置、高度和速度，每秒好几次。这些信号没有加密，任何人都可以接收，用 RTL-SDR 加上 dump1090 之类的软件，就能在地图上看到周围几百公里内的飞机。

1090 MHz 的波长是 27.5 cm，一根 6.9 cm 长的 λ/4 竖直天线（第 01 章）就能收得很好。飞机在万米高空，无线电视距很远（练习 8），接收距离常常超过 300 km。

2. 信号格式

ADS-B 用脉冲位置调制（PPM），速率 1 Mbit/s：

• 前导码：8 μs，在 0、1.0、3.5、4.5 μs 处各有一个 0.5 μs 的脉冲，用来让接收机发现报文的开头；
• 数据位：每位 1 μs，脉冲在前半个微秒表示 1，在后半个微秒表示 0。

扩展电文（DF17）共 112 位：

字段	位数	内容
DF	5	下行格式，17 表示 ADS-B
CA	3	应答机能力
ICAO	24	飞机的全球唯一地址
ME	56	消息内容：前 5 位是类型码 TC，1～4 表示身份识别（航班号），9～18 表示空中位置......
PI	24	CRC-24 校验

图 8：一条 ADS-B 报文的开头。灰线是发射的脉冲，蓝色柱是 2 MS/s 采样得到的幅度（噪声标准差 0.2），上方的 0/1 是逐位判决的结果。

3. 解码过程

附录代码使用的报文是 ADS-B 解码教材中常用的一个例子：8D4840D6202CC371C32CE0576098。代码先把它变成 PPM 波形，加上噪声，然后像真正的接收机一样处理：

1. 找前导码：用前导码的波形模板和接收信号做相关，相关峰的位置就是报文的开头；
2. 判决每一位：比较每一位前半和后半两个采样的大小；
3. 校验 CRC ：把 112 位当作一个二进制多项式，除以生成多项式 $0x1FFF4090x1FFF409$ 0x1FFF409（25 位，模 2 运算），余数为零表示报文正确（第 26 章会讲 CRC 的原理）；
4. 解析字段 ：取出 DF、ICAO 地址、类型码，航班号的每个字符用 6 位编码，查表 #ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ##### ###############0123456789###### 得到字符。

运行结果：

项目	结果
无噪声时的 CRC 余数	0x0（正确）
噪声 σ = 0.2	前导码位置 123（真值 123），误码 0 位，校验通过
噪声 σ = 0.8	前导码位置 190（找错了），误码 57 位，校验失败，丢弃
翻转第 50 位	CRC 余数 0x6159c0，错误被检出
解码内容	DF = 17，ICAO 地址 4840D6，类型码 TC = 4（身份识别），航班号 KLM1023

CRC 的作用在这里体现得很清楚：噪声太大时，接收机可能连报文开头都找错，解出一串乱码；CRC 保证了这样的报文会被可靠地丢弃，而不会在地图上显示一架"幽灵飞机"。哪怕只错一位，CRC 也能发现。

飞机的位置用一种叫 CPR 的紧凑编码，需要两条报文配合才能解出经纬度，留到第 21 章的 SDR 实战再讲。

小结

1. 接收机要完成选择、解调、还原三件事，通常还要放大。矿石机只靠调谐回路选择，没有放大。
2. 包络检波器 是二极管加 RC。下限 $RC\gg 1/fcRC\; \backslash gg\; 1/f\_c$ RC≫1/fc，上限 $RC\le \; 1-\mu 2\; /(\mu \omega m)\; RC\; \backslash le\; \backslash sqrt\{1\; -\; \backslash mu^2\}/(\backslash mu\backslash omega\_m)$ RC≤1−μ2 /(μωm)；太小纹波大，太大产生对角切割失真。
3. 真实二极管 小信号时是平方律 检波，输出 ∝ 输入²，并带来 $\mu /4\backslash mu/4$ μ/4 的二次谐波失真；锗管、肖特基管的 $Is\; I\_s$ Is 大，在几十毫伏就能工作，硅管需要几百毫伏。
4. 数字包络检波 就是复基带信号取模 $\mid I+jQ\mid |I\; +\; jQ|$ ∣I+jQ∣，没有纹波也没有时间常数的问题。
5. 矿石机的能量全部来自电波：100 kW 中波电台 50 km 外的场强约 34.6 mV/m，5 m 有效高度的天线约 173 mV。需要高阻耳机和并联电阻，天线要长、要高。
6. 软件无线电让硬件只负责放大、变频和数字化，选择和解调交给软件。RTL-SDR 覆盖约 24～1766 MHz，8 位 ADC，约 2.4 MS/s。
7. FM 鉴相解调 ： $m^$n∝arg⁡(xnx∗n−1) \hat mn \propto \arg(xnx^*n-1) m^n∝arg(xnx∗n−1)。预加重/去加重（50 μs）在仿真中把音频信噪比从 44.6 dB 提高到 54.3 dB。
8. ADS-B：1090 MHz，PPM，1 Mbit/s，112 位报文，CRC-24 校验。解码出 ICAO 地址 4840D6、航班号 KLM1023。

下一章，我们暂时放下技术，看看怎样成为一名合法的业余无线电爱好者：执照考试、呼号、频率规划和通联规范。

练习题

1. （检波器设计） 广播的调制度最大取 0.5，音频最高 3 kHz。检波负载电阻为 100 kΩ 时，电容最大可以取多少？中波载波频率约 1 MHz，下限条件满足吗？
2. （平方律失真） 调制度 $\mu =0.3\backslash mu\; =\; 0.3$ μ=0.3 的 AM 信号经过平方律检波，二次谐波失真是多少？
3. （场强） 一座 50 kW 的电台在 20 km 外的场强约是多少（自由空间估算）？有效高度 5 m 的天线上开路电压是多少？
4. （ADC 位数） 如果把 8 位 ADC 换成 12 位（一些更高档的 SDR 采用 12 位或 14 位 ADC），理想信噪比提高多少 dB？
5. （去加重） 50 μs 和 75 μs 两种去加重网络的转折频率各是多少？
6. （鉴相的采样率） FM 广播的最大频偏是 75 kHz。复基带采样率为 240 kHz 时，相邻样本之间的最大相位差是多少弧度？如果采样率降到 120 kHz 会怎样？
7. （编程：门限效应） 修改附录代码第 5 部分，把载噪比依次改为 15、10、6、3 dB（使用预加重/去加重），音频信噪比各是多少？你观察到了什么？
8. （ADS-B 的接收距离） 一架飞机在 10000 m 高度，你的接收天线架在 10 m 高处。用第 01 章的公式估算无线电视距。
9. （手工解码） 航班号字段中三个 6 位编码分别是 001011、110001、100000，查表得到哪三个字符？
10. （耳机） 为什么矿石机不能用普通的 32 Ω 耳机？说出至少两个原因。

参考答案

1. $RC\le \; 1-0.25\; 0.5\times 2\pi \times 3000\; =91.9\; RC\; \backslash le\; \backslash dfrac\{\backslash sqrt\{1\; -\; 0.25\}\}\{0.5\backslash times2\backslash pi\backslash times3000\}\; =\; 91.9$ RC≤0.5×2π×30001−0.25 =91.9 μs， $C\le 91.9\; \mu s/100\; k\Omega =C\; \backslash le\; 91.9\backslash \; \backslash mu\backslash mathrm\{s\}/100\backslash \; \backslash mathrm\{k\backslash Omega\}\; =$ C≤91.9 μs/100 kΩ= 919 pF 。载波周期 1 μs， $RC=91.9RC\; =\; 91.9$ RC=91.9 μs 远大于它，下限满足。图 5 中取 1 nF，对应 100 μs，在这个最苛刻的条件下略微超出，实际广播很少同时出现深调制和 3 kHz 的高音，影响不大；也可以改用 820 pF。
2. $\mu /4=\backslash mu/4\; =$ μ/4= 7.5%。调制越浅，平方律失真越小。
3. $E=\; 30\times 5\times 104\; /(2\times 104)=\; E\; =\; \backslash sqrt\{30\backslash times5\backslash times10^4\}/(2\backslash times10^4)\; =$ E=30×5×104 /(2×104)= 61.2 mV/m ，开路电压约 306 mV。
4. $6.02\times 12+1.76=74.06.02\backslash times12\; +\; 1.76\; =\; 74.0$ 6.02×12+1.76=74.0 dB，比 8 位的 49.9 dB 提高 24.1 dB（每多一位提高约 6 dB）。
5. 50 μs： $1/(2\pi \times 50\times 10-6)=1/(2\backslash pi\backslash times50\backslash times10^\{-6\})\; =$ 1/(2π×50×10−6)= 3183 Hz ；75 μs：2122 Hz。
6. 最大相位差 $2\pi \times 75/240=2\backslash pi\backslash times75/240\; =$ 2π×75/240= 1.96 rad ，小于 π，没有问题。采样率降到 120 kHz 时为 3.93 rad ，超过 π， $arg(\cdot )\backslash arg(\backslash cdot)$ arg(⋅) 会把它卷绕成 $3.93-2\pi =-2.363.93\; -\; 2\backslash pi\; =\; -2.36$ 3.93−2π=−2.36 rad，解调出完全错误的结果。所以鉴相解调要求采样率大于最大瞬时频率的 2 倍。
7. 附录代码改参数后的结果：载噪比 15 dB → 49.3 dB ，10 dB → 44.1 dB ，6 dB → 24.9 dB ，3 dB → 14.8 dB 。载噪比在 10 dB 以上时，每降低 5 dB，音频信噪比也只降低 5 dB；降到 10 dB 以下后，音频信噪比急剧恶化，从 10 dB 到 6 dB，载噪比只降了 4 dB，音频信噪比却降了 19 dB。这就是 FM 的门限效应：信号弱到一定程度后，噪声会引起相位的整周跳变，在耳机里听到"喀喀"的噪声，第 13 章会详细分析。
8. $d\approx 4.12\times (10000+10)=4.12\times (100+3.16)\approx d\; \backslash approx\; 4.12\backslash times(\backslash sqrt\{10000\}\; +\; \backslash sqrt\{10\})\; =\; 4.12\backslash times(100\; +\; 3.16)\; \backslash approx$ d≈4.12×(10000 +10 )=4.12×(100+3.16)≈ 425 km。
9. 001011 = 11 → K ；110001 = 49 → 1 ；100000 = 32 → 空格。
10. (a) 32 Ω 耳机需要毫瓦级的功率才能发出可听的声音，矿石机提供的功率远远不够，而晶体耳机几乎只需要电压；(b) 低阻负载会严重降低调谐回路的 Q，使选择性变得极差；(c) 低阻负载使检波器的时间常数和工作点完全改变，检波效率大大降低。

参考资料

1. ARRL. The ARRL Handbook for Radio Communications. 最新版. "Receiving" 与 "Software Defined Radio" 相关章节。
2. W. Hayward, R. Campbell, B. Larkin. Experimental Methods in RF Design. ARRL, 2003. 检波器与接收机相关章节。
3. M. Lichtman. PySDR: A Guide to SDR and DSP using Python . pysdr.org
4. J. Sun. The 1090 Megahertz Riddle: A Guide to Decoding Mode S and ADS-B Signals . 2nd ed. TU Delft OPEN Publishing, 2021. mode-s.org/decode
5. RTL-SDR Blog. www.rtl-sdr.com
6. Osmocom rtl-sdr 项目. osmocom.org/projects/rt...

附录：完整代码

下面的代码复现了本章所有数值：包络检波在三种时间常数下的失真与纹波、数字包络检波、二极管检波特性的数值求解与平方律失真、矿石机的场强估算、RTL-SDR 的几个参数、FM 广播的仿真与解调（含预加重和去加重的对比、99% 带宽），以及 ADS-B 报文的 PPM 波形生成、前导码检测、CRC-24 校验和字段解析，最后画出 FM 解调前后的频谱。只依赖 numpy 和 matplotlib，保存为 example.py 后运行 python example.py 即可，几秒钟就能运行完。

"""无线电自学教程 05：第一台收音机------从矿石机到 SDR ------ 附录代码

1. 包络检波：理想二极管 + RC，三种时间常数下的失真与纹波；数字包络检波（取 IQ 的模）；
2. 二极管的检波特性：小信号时平方律，大信号时线性；
3. 矿石机的"能源"：远处中波电台在天线上感应出多大的电压；
4. RTL-SDR 的几个数字：8 位 ADC 的动态范围、带宽、数据率；
5. 用 Python 解调 FM 广播：仿真发射端（含预加重）与接收端（鉴相、去加重、抽取）；
6. 解码一条 ADS-B 报文：PPM 波形、前导码检测、CRC-24 校验、航班号。
最后画出 FM 解调前后的频谱。
运行：python example.py
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams["font.sans-serif"] = ["Microsoft YaHei", "SimHei", "DejaVu Sans"]
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False


def thd(x, fs, f0, n_harm=10):
    """总谐波失真：2～n_harm 次谐波的有效值与基波之比。x 须包含整数个 f0 周期。"""
    X = np.abs(np.fft.rfft(x - x.mean()))
    k0 = int(round(f0 * len(x) / fs))
    harm = np.sqrt(sum(X[h * k0] ** 2 for h in range(2, n_harm + 1)))
    return harm / X[k0], X[k0] * 2 / len(x)


# ---------------- 1. 包络检波 ----------------
print("=== 1. 包络检波：载波 100 kHz，音频 1 kHz，调制度 0.8 ===")
FC, FM, MU = 100e3, 1e3, 0.8
fs = 10e6
t = np.arange(int(12e-3 * fs)) / fs
am = (1 + MU * np.cos(2 * np.pi * FM * t)) * np.cos(2 * np.pi * FC * t)
rc_max = np.sqrt(1 - MU**2) / (MU * 2 * np.pi * FM)
print(f"不产生对角切割失真的条件：RC <= sqrt(1-μ^2)/(μ ω_m) = {rc_max * 1e6:.1f} μs；载波周期 {1e6 / FC:.0f} μs")


def envelope_detector(x, rc, fs):
    """理想二极管（正向导通电阻为零）+ 并联 RC：输入高于电容电压就充电到输入，否则放电。"""
    decay = np.exp(-1 / (fs * rc))
    v = np.empty_like(x)
    vc = 0.0
    for i, xi in enumerate(x):
        vc = xi if xi > vc else vc * decay
        v[i] = vc
    return v


seg = slice(int(2e-3 * fs), None)                      # 去掉前 2 ms 的建立过程，剩下 10 个音频周期
for rc in (3e-6, 100e-6, 1e-3):
    v = envelope_detector(am, rc, fs)[seg]
    d, a1 = thd(v, fs, FM)
    V = np.abs(np.fft.rfft(v - v.mean())) * 2 / len(v)
    ripple = V[int(FC * len(v) / fs)]
    print(f"RC = {rc * 1e6:6.0f} μs：音频幅度 {a1:.3f}（理想 {MU}），总谐波失真 {d * 100:6.2f} %，"
          f"100 kHz 纹波幅度 {ripple:.4f}")
fs_bb = 100e3
tb = np.arange(int(10e-3 * fs_bb)) / fs_bb
iq = (1 + MU * np.cos(2 * np.pi * FM * tb)) * np.exp(1j * 0.7)   # 复基带 AM，任意载波相位
d, a1 = thd(np.abs(iq), fs_bb, FM)
print(f"数字包络检波 |I + jQ|：音频幅度 {a1:.3f}，总谐波失真 {d * 100:.2e} %")

# ---------------- 2. 二极管的检波特性 ----------------
print("\n=== 2. 二极管检波特性：输入 A cos(ωt)，负载 100 kΩ ===")
VT = 0.02585                                           # 热电压 kT/q（300 K）
R_LOAD = 100e3


def detector_dc(A, Is, n=1.0, R=R_LOAD):
    """解 Is[I0(A/nVt) exp(-V/nVt) - 1] = V/R，得到检波输出的直流电压 V。"""
    x = A / (n * VT)

    def f(V):                                          # A <= 1 V 时 x < 40，np.i0 不会溢出
        return Is * (np.i0(x) * np.exp(-V / (n * VT)) - 1) - V / R

    lo, hi = 0.0, A
    for _ in range(200):
        mid = (lo + hi) / 2
        lo, hi = (mid, hi) if f(mid) > 0 else (lo, mid)
    return (lo + hi) / 2


amps = np.array([0.003, 0.01, 0.03, 0.1, 0.3, 1.0])
for name, Is in (("低阈值二极管 Is = 1e-7 A", 1e-7), ("普通硅二极管 Is = 1e-12 A", 1e-12)):
    V = np.array([detector_dc(A, Is) for A in amps])
    print(name)
    for k, (A, v) in enumerate(zip(amps, V)):
        slope = np.log(V[k] / V[k - 1]) / np.log(amps[k] / amps[k - 1]) if k else float("nan")
        print(f"  A = {A * 1e3:6.0f} mV：输出 {v * 1e3:10.3e} mV，V/A = {v / A:.2e}，"
              f"对数斜率 {slope:.2f}")
th = np.linspace(0, 2 * np.pi, 4096, endpoint=False)
sq = (1 + 1.0 * np.cos(th)) ** 2                       # 平方律检波，μ = 1
S = np.abs(np.fft.rfft(sq)) * 2 / len(th)
print(f"平方律检波 μ = 1：基波 {S[1]:.3f}，二次谐波 {S[2]:.3f}，二次谐波失真 {S[2] / S[1] * 100:.1f} %（理论 μ/4）")

# ---------------- 3. 矿石机的"能源" ----------------
print("\n=== 3. 100 kW 中波电台，相距 50 km（自由空间估算） ===")
P, d_km, h_eff = 100e3, 50.0, 5.0
E = np.sqrt(30 * P) / (d_km * 1e3)                     # E = sqrt(30 P G)/d，G = 1
print(f"场强 E = {E * 1e3:.1f} mV/m，有效高度 {h_eff:.0f} m 的天线开路电压 {E * h_eff * 1e3:.0f} mV")

# ---------------- 4. RTL-SDR 的几个数字 ----------------
print("\n=== 4. RTL-SDR ===")
bits, rate = 8, 2.4e6
print(f"{bits} 位 ADC 的理想信噪比 6.02N + 1.76 = {6.02 * bits + 1.76:.1f} dB")
print(f"采样率 {rate / 1e6} MS/s（复数 IQ）：可同时看到 {rate / 1e6} MHz 宽的频谱，"
      f"2048 点 FFT 的分辨率 {rate / 2048:.1f} Hz，USB 数据率 {rate * 2 / 1e6:.1f} MB/s")

# ---------------- 5. FM 广播的解调 ----------------
print("\n=== 5. FM 广播：频偏 75 kHz，预加重 50 μs，复基带采样率 240 kHz ===")
FS, DEV, TAU = 240e3, 75e3, 50e-6
rng = np.random.default_rng(5)
n = int(0.5 * FS)
t5 = np.arange(n) / FS
audio = 0.6 * np.cos(2 * np.pi * 1000 * t5) + 0.15 * np.cos(2 * np.pi * 6000 * t5)
a = np.exp(-1 / (FS * TAU))                            # 单极点去加重 y[n] = a y[n-1] + (1-a) x[n]


def deemphasis(x):
    y = np.empty_like(x)
    acc = 0.0
    for i, xi in enumerate(x):
        acc = a * acc + (1 - a) * xi
        y[i] = acc
    return y


def preemphasis(y):
    """去加重的逆运算（假设 y 在开始之前一直保持 y[0]，避免开头出现阶跃）。"""
    return (y - a * np.r_[y[0], y[:-1]]) / (1 - a)


def lowpass_taps(cutoff, fs, n_taps=101):
    m = np.arange(n_taps) - (n_taps - 1) / 2
    h = 2 * cutoff / fs * np.sinc(2 * cutoff / fs * m) * np.hanning(n_taps)
    return h / h.sum()


taps = lowpass_taps(15e3, FS)
noise = (rng.standard_normal(n) + 1j * rng.standard_normal(n)) * np.sqrt(0.01 / 2)   # 载噪比 20 dB
for use_emph in (False, True):
    m = preemphasis(audio) if use_emph else audio
    print(f"{'有' if use_emph else '无'}预加重：调制信号峰值 {np.abs(m).max():.3f}（满偏 = 1）")
    x = np.exp(2j * np.pi * DEV * np.cumsum(m) / FS)
    if use_emph:
        X = np.abs(np.fft.fft(x)) ** 2
        fr = np.fft.fftfreq(n, 1 / FS)
        order = np.argsort(np.abs(fr))
        cum = np.cumsum(X[order]) / X.sum()
        print(f"  99% 功率带宽 {2 * np.abs(fr[order][np.searchsorted(cum, 0.99)]) / 1e3:.1f} kHz，"
              f"卡森公式 2(75 + 6) = 162 kHz")
    rx = x + noise
    demod = np.angle(rx[1:] * np.conj(rx[:-1])) * FS / (2 * np.pi * DEV)   # 相邻样本的相位差 → 频率
    if use_emph:
        demod = deemphasis(demod)
    out = np.convolve(demod, taps, mode="same")[::5]                  # 低通 15 kHz，抽取到 48 kHz
    out = out[2400:2400 + 19200]                                       # 去掉开头 50 ms，取 0.4 s
    O = np.abs(np.fft.rfft(out)) * 2 / len(out)
    k1, k6 = int(1000 * len(out) / 48e3), int(6000 * len(out) / 48e3)
    P = np.abs(np.fft.rfft(out)) ** 2
    band = slice(1, int(15e3 * len(out) / 48e3))
    sig = P[k1] + P[k6]
    print(f"  解调输出：1 kHz 幅度 {O[k1]:.4f}（原 0.6），6 kHz 幅度 {O[k6]:.4f}（原 0.15），"
          f"音频信噪比 {10 * np.log10(sig / (P[band].sum() - sig)):.1f} dB")

# ---------------- 6. ADS-B ----------------
print("\n=== 6. ADS-B：1090 MHz，PPM，1 Mbit/s，112 位报文 ===")
MSG = "8D4840D6202CC371C32CE0576098"
GEN = 0x1FFF409                                        # CRC-24 的生成多项式（25 位）


def hex_to_bits(h):
    return np.array([int(b) for b in bin(int(h, 16))[2:].zfill(len(h) * 4)])


def crc24_remainder(bits):
    """对全部 112 位做模 2 除法，余数为 0 表示校验通过。"""
    reg = int("".join(map(str, bits)), 2)
    for shift in range(len(bits) - 1, 23, -1):
        if reg >> shift & 1:
            reg ^= GEN << (shift - 24)
    return reg


def ppm_waveform(bits, fs=2e6):
    """前导码 8 μs（在 0、1、3.5、4.5 μs 处各一个 0.5 μs 脉冲）+ 每位 1 μs：1 = 先高后低，0 = 先低后高。"""
    pre = np.zeros(16)
    pre[[0, 2, 7, 9]] = 1
    body = np.ravel([[1, 0] if b else [0, 1] for b in bits])
    return np.r_[pre, body].astype(float)


CHARSET = "#ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ##### ###############0123456789######"
bits = hex_to_bits(MSG)
print(f"报文 {MSG}：{len(bits)} 位，CRC 余数 = {crc24_remainder(bits):#x}")
template = ppm_waveform(bits)[:16]
for sigma in (0.2, 0.8):
    rng = np.random.default_rng(6)
    clean = np.zeros(1000)
    clean[123:123 + 240] = ppm_waveform(bits)
    iq = clean * np.exp(1j * 1.3) + sigma * (rng.standard_normal(1000) + 1j * rng.standard_normal(1000)) / np.sqrt(2)
    mag = np.abs(iq)                                   # 接收机只看幅度
    corr = np.correlate(mag - mag.mean(), template - template.mean(), mode="valid")
    start = int(np.argmax(corr))
    data = mag[start + 16:start + 16 + 224].reshape(112, 2)
    rx_bits = (data[:, 0] > data[:, 1]).astype(int)
    rem = crc24_remainder(rx_bits)
    print(f"噪声 σ = {sigma}：前导码位置 {start}（真值 123），误码 {np.sum(rx_bits != bits)} 位，"
          f"CRC 余数 {rem:#x}，{'校验通过' if rem == 0 else '校验失败，丢弃'}")
df = int("".join(map(str, bits[:5])), 2)
icao = int("".join(map(str, bits[8:32])), 2)
me = bits[32:88]
tc = int("".join(map(str, me[:5])), 2)
callsign = "".join(CHARSET[int("".join(map(str, me[8 + 6 * i:14 + 6 * i])), 2)] for i in range(8))
print(f"DF = {df}，ICAO 地址 {icao:06X}，类型码 TC = {tc}（身份识别），航班号 "{callsign.strip()}"")
flip = bits.copy()
flip[50] ^= 1
print(f"把第 50 位翻转后，CRC 余数 = {crc24_remainder(flip):#x}（不为 0，错误被检出）")

# ---------------- 画图：FM 解调前后的频谱 ----------------
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4))
Xr = np.fft.fftshift(np.abs(np.fft.fft(rx)) ** 2)
ax1.plot(np.fft.fftshift(np.fft.fftfreq(n, 1 / FS)) / 1e3, 10 * np.log10(Xr / Xr.max()), linewidth=0.5)
ax1.set_xlabel("频率 / kHz")
ax1.set_title("接收到的 FM 信号（复基带）")
ax2.plot(np.fft.rfftfreq(len(out), 1 / 48e3) / 1e3, 20 * np.log10(O + 1e-9), linewidth=0.8)
ax2.set_xlabel("频率 / kHz")
ax2.set_title("解调并去加重后的音频")
for ax in (ax1, ax2):
    ax.grid(True, color="#e6e5e1")
fig.tight_layout()
plt.show()

运行后的完整输出：

=== 1. 包络检波：载波 100 kHz，音频 1 kHz，调制度 0.8 ===
不产生对角切割失真的条件：RC <= sqrt(1-μ^2)/(μ ω_m) = 119.4 μs；载波周期 10 μs
RC =      3 μs：音频幅度 0.373（理想 0.8），总谐波失真   1.00 %，100 kHz 纹波幅度 0.3907
RC =    100 μs：音频幅度 0.764（理想 0.8），总谐波失真   0.03 %，100 kHz 纹波幅度 0.0302
RC =   1000 μs：音频幅度 0.375（理想 0.8），总谐波失真  36.21 %，100 kHz 纹波幅度 0.0043
数字包络检波 |I + jQ|：音频幅度 0.800，总谐波失真 7.74e-14 %

=== 2. 二极管检波特性：输入 A cos(ωt)，负载 100 kΩ ===
低阈值二极管 Is = 1e-7 A
  A =      3 mV：输出  2.428e-02 mV，V/A = 8.09e-03，对数斜率 nan
  A =     10 mV：输出  2.699e-01 mV，V/A = 2.70e-02，对数斜率 2.00
  A =     30 mV：输出  2.434e+00 mV，V/A = 8.11e-02，对数斜率 2.00
  A =    100 mV：输出  2.638e+01 mV，V/A = 2.64e-01，对数斜率 1.98
  A =    300 mV：输出  1.701e+02 mV，V/A = 5.67e-01，对数斜率 1.70
  A =   1000 mV：输出  8.150e+02 mV，V/A = 8.15e-01，对数斜率 1.30
普通硅二极管 Is = 1e-12 A
  A =      3 mV：输出  3.370e-07 mV，V/A = 1.12e-07，对数斜率 nan
  A =     10 mV：输出  3.776e-06 mV，V/A = 3.78e-07，对数斜率 2.01
  A =     30 mV：输出  3.661e-05 mV，V/A = 1.22e-06，对数斜率 2.07
  A =    100 mV：输出  9.092e-04 mV，V/A = 9.09e-06，对数斜率 2.67
  A =    300 mV：输出  1.238e+00 mV，V/A = 4.13e-03，对数斜率 6.57
  A =   1000 mV：输出  5.289e+02 mV，V/A = 5.29e-01，对数斜率 5.03
平方律检波 μ = 1：基波 2.000，二次谐波 0.500，二次谐波失真 25.0 %（理论 μ/4）

=== 3. 100 kW 中波电台，相距 50 km（自由空间估算） ===
场强 E = 34.6 mV/m，有效高度 5 m 的天线开路电压 173 mV

=== 4. RTL-SDR ===
8 位 ADC 的理想信噪比 6.02N + 1.76 = 49.9 dB
采样率 2.4 MS/s（复数 IQ）：可同时看到 2.4 MHz 宽的频谱，2048 点 FFT 的分辨率 1171.9 Hz，USB 数据率 4.8 MB/s

=== 5. FM 广播：频偏 75 kHz，预加重 50 μs，复基带采样率 240 kHz ===
无预加重：调制信号峰值 0.750（满偏 = 1）
  解调输出：1 kHz 幅度 0.5999（原 0.6），6 kHz 幅度 0.1500（原 0.15），音频信噪比 44.6 dB
有预加重：调制信号峰值 0.944（满偏 = 1）
  99% 功率带宽 144.0 kHz，卡森公式 2(75 + 6) = 162 kHz
  解调输出：1 kHz 幅度 0.5999（原 0.6），6 kHz 幅度 0.1500（原 0.15），音频信噪比 54.3 dB

=== 6. ADS-B：1090 MHz，PPM，1 Mbit/s，112 位报文 ===
报文 8D4840D6202CC371C32CE0576098：112 位，CRC 余数 = 0x0
噪声 σ = 0.2：前导码位置 123（真值 123），误码 0 位，CRC 余数 0x0，校验通过
噪声 σ = 0.8：前导码位置 190（真值 123），误码 57 位，CRC 余数 0x87706，校验失败，丢弃
DF = 17，ICAO 地址 4840D6，类型码 TC = 4（身份识别），航班号 "KLM1023"
把第 50 位翻转后，CRC 余数 = 0x6159c0（不为 0，错误被检出）