1.矩阵加减法
1.1矩阵加法
矩阵加法就是把两个矩阵对应的每一项相加，得出答案矩阵。 显然，只有同型矩阵才能相加。
例：
\\\begin{pmatrix} 1 \& 2 \\\\ 3 \& 4 \\\\ \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} 2 \& 5 \\\\ 6 \& 1 \\\\ \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 3 \& 7 \\\\ 9 \& 5 \\\\ \\end{pmatrix} \\
1.2矩阵减法
矩阵减法就是把两个矩阵对应的每一项相减，得出答案矩阵。也显然，只有同型矩阵才能相减。
例：
\\\begin{pmatrix} 9 \& 6 \\\\ 8 \& 7 \\\\ \\end{pmatrix} - \\begin{pmatrix} 3 \& 5 \\\\ 4 \& 2 \\\\ \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 6 \& 1 \\\\ 4 \& 5 \\\\ \\end{pmatrix} \\
1.3矩阵加法单位元矩阵
在某种运算下，任意元素与一个元素进行运算后还是其本身，那么这个元素就是单位元。例如加法的单位元是 \(0\)，乘法的单位元是 \(1\)。
设矩阵运算的单位元矩阵为 \(O\)。
1.4矩阵加法的运算律
\(①A+B=B+A\)
\(②(A+B)+C=A+(B+C\)
\(③A+O=A\)
\(④A+(-A)=O\)
\(⑤A+B=C\Leftrightarrow A=C-B\)
2.矩阵的数乘
2.1矩阵的数乘
一个数乘上一个矩阵，让这个数乘上矩阵的每一个数，得到答案矩阵，例如：
\5\\cdot \\begin{pmatrix} 1 \& 2 \\\\ 3 \& 4 \\\\ \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 5 \& 10 \\\\ 15 \& 20 \\\\ \\end{pmatrix} \\
2.2矩阵数乘的运算律
\(①k(A+B)=kA+kB\)
\(②(p+q)A=pA+qA\)
\(③pq(A)=(pq)A\)
3.矩阵的乘法
3.1矩阵乘法运算法则
设两个矩阵 \(A_{n,m}\)、\(B_{m,p}\)，则它们相乘得到矩阵 \(C_{n,p}\)。
\C_{i,j}=\\sum_{1\\leq k\\leq m}A_{i,k}\\ast B_{k,j} \\
显然可得：
(1)两矩阵做乘法运算时，只有当左边矩阵列数与右边矩阵的行数一致时才有意义。
(2)结果矩阵 \(C\) 的行数与 \(A\) 的行数相同，与 \(B\) 的列数相同。
例：
\\\begin{pmatrix} 2 \& 1 \& 0 \\\\ 1 \& 0 \& 1 \\\\ \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 1 \& 0 \& 1 \\\\ 0 \& 1 \& 1 \\\\ 0 \& 1 \& 1 \\\\ \\end{pmatrix} \\
\(①\) 用第一个矩阵的第 \(1\) 行乘上第二个矩阵的第 \(1\) 列，即对应元素相乘再相加，放在结果矩阵的第 \(1\) 行第 \(1\) 列；
\\\begin{pmatrix} \\color{red}{2} \& \\color{red}{1} \& \\color{red}{0} \\\\ 1 \& 0 \& 1 \\\\ \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} \\color{red}{1} \& 0 \& 1 \\\\ \\color{red}{0} \& 1 \& 1 \\\\ \\color{red}{0} \& 1 \& 1 \\\\ \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} \\color{red}{2\\times1+1\\times0+0\\times0} \& \\cdots \\\\ \\vdots \& \\ddots \\\\ \\end{pmatrix} \\
\(②\) 用第一个矩阵的第 \(1\) 行乘上第二个矩阵的第 \(2\) 列，即对应元素相乘再相加，放在结果矩阵的第 \(1\) 行第 \(2\) 列；
\\\begin{pmatrix} \\color{red}{2} \& \\color{red}{1} \& \\color{red}{0} \\\\ 1 \& 0 \& 1 \\\\ \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 1 \& \\color{red}{0} \& 1 \\\\ 0 \& \\color{red}{1} \& 1 \\\\ 0 \& \\color{red}{1} \& 1 \\\\ \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 2 \& \\color{red}{2\\times0+1\\times1+0\\times1} \& \\cdots \\\\ \\vdots \& \\vdots \& \\ddots \\\\ \\end{pmatrix} \\
\(③\) 用第一个矩阵的第 \(1\) 行乘上第二个矩阵的第 \(3\) 列，即对应元素相乘再相加，放在结果矩阵的第 \(1\) 行第 \(3\) 列；
\\\begin{pmatrix} \\color{red}{2} \& \\color{red}{1} \& \\color{red}{0} \\\\ 1 \& 0 \& 1 \\\\ \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 1 \& 0 \& \\color{red}{1} \\\\ 0 \& 1 \& \\color{red}{1} \\\\ 0 \& 1 \& \\color{red}{1} \\\\ \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 2 \& 1 \& \\color{red}{2\\times0+1\\times1+0\\times1} \\\\ \\vdots \& \\vdots \& \\ddots \\\\ \\end{pmatrix} \\
\(④\) 同理，依次用第一个矩阵的第 \(2\) 行乘上第二个矩阵的第 \(1\) 列、第 \(2\) 列和第 \(3\) 列，分别放在结果矩阵的第 \(1\) 列、第 \(2\) 列和第 \(3\) 列。
\\\begin{pmatrix} 2 \& 1 \& 0 \\\\ \\color{red}{1} \& \\color{red}{0} \& \\color{red}{1} \\\\ \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} \\color{red}{1} \& \\color{red}{0} \& \\color{red}{1} \\\\ \\color{red}{0} \& \\color{red}{1} \& \\color{red}{1} \\\\ \\color{red}{0} \& \\color{red}{1} \& \\color{red}{1} \\\\ \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 2 \& 1 \& 3 \\\\ \\color{red}{1} \& \\color{red}{1} \& \\color{red}{2} \\\\ \\end{pmatrix} \\
最终得到答案矩阵：
\\\begin{pmatrix} 2 \& 1 \& 3 \\\\ 1 \& 1 \& 2 \\\\ \\end{pmatrix} \\
3.2矩阵乘法的运算律
3.2.1结合律
\(AB)C=A(BC) \\
3.2.2分配律
\A(B+C)=AB+AC\\\\ (B+C)A=BA+BC \\
3.2.3交换律
在矩阵乘法中，交换律不一定成立，例：
\A= \\begin{pmatrix} 2 \& 1 \\\\ 1 \& -1 \\\\ \\end{pmatrix}\\space B= \\begin{pmatrix} 0 \& 1 \\\\ -1 \& 2 \\\\ \\end{pmatrix}\\\\ \\
按照上面的计算方法分别可得：
\AB= \\begin{pmatrix} -1 \& 4 \\\\ 1 \& -1 \\\\ \\end{pmatrix} \\
\AB= \\begin{pmatrix} 1 \& -1 \\\\ 0 \& -3 \\\\ \\end{pmatrix} \\
显然 \(AB\neq BA\)。
当然从另一个方面也可证矩阵乘法的交换律不一定成立：
设 \(A\) 是一个 \(m\times n\) 的矩阵，\(B\) 是一个 \(r\times s\) 的矩阵，那么 \(AB\) 是一个 \(m\times s\) 的矩阵，\(BA\) 是一个 \(r\times n\) 的矩阵，也显然 \(AB\neq BA\)。
矩阵乘法的交换律不一定成立，那么下面的推论也不一定成立：
\(A+B)\^2=(A+B)(A+B)=A\^2+AB+BA+B\^2\\neq A\^2+2AB+B\^2 \\
\(A+B)(A-B)=A\^2-AB+BA-B\^2\\neq A\^2-B\^2 \\
以上两种情况只有在 \(AB=BA\) 时，不等号变为等号。
3.3例题
洛谷B2105 矩阵乘法，讲了这么多，直接上代码。
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m,k,a[105][105],b[105][105],ans[105][105];
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cin>>n>>m>>k;
for(ll i=1;i<=n;i++){
for(ll j=1;j<=m;j++){
cin>>a[i][j];
}
}
for(ll i=1;i<=m;i++){
for(ll j=1;j<=k;j++){
cin>>b[i][j];
}
}
for(ll p=1;p<=m;p++){
for(ll i=1;i<=n;i++){
for(ll j=1;j<=k;j++){
ans[i][j]+=a[i][p]*b[p][j];
}
}
}
for(ll i=1;i<=n;i++){
for(ll j=1;j<=k;j++){
cout<<ans[i][j]<<" ";
}
cout<<"\n";
}
return 0;
}4.矩阵快速幂
快速幂不会的看这里：快速幂模版，会了矩阵运算，会了快速幂，那么矩阵乘法 \(+\) 快速幂 \(=\) 矩阵快速幂。
因为矩阵乘法是满足结合律的，所以一个单位矩阵用快速幂乘上 \(n\) 次就是我们的矩阵快速幂了，或者说，矩阵快速幂就是把快速幂里的乘法换成矩阵乘法。
上代码
cpp
#include<bits/stdc++.h>//求矩阵A的k次方
using namespace std;
typedef long long ll;
uint8_t buf[1<<20],*p1,*p2;
#define gc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
ll rd(){
ll x=0,f=1,ch=gc();
while(ch<'0'||ch>'9'){
if(ch=='-'){
f=-1;
}
ch=gc();
}
while(ch>='0'&&ch<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-'0');
ch=gc();
}
return x*f;
}
void write(ll x){
if(x<0){
x*=-1;
putchar('-');
}
if(x>9){
write(x/10);
}
putchar(x%10+'0');
}
const ll maxn=1e2+5,mod=1e9+7;
ll n,k,a[maxn][maxn],c[maxn][maxn],ans[maxn][maxn];
void mul1(){
for(ll i=1;i<=n;i++){
for(ll j=1;j<=n;j++){
c[i][j]=0;
}
}
for(ll i=1;i<=n;i++){
for(ll j=1;j<=n;j++){
for(ll k=1;k<=n;k++){
c[i][j]=(c[i][j]+ans[i][k]*a[k][j])%mod;
}
}
}
for(ll i=1;i<=n;i++){
for(ll j=1;j<=n;j++){
ans[i][j]=c[i][j];
}
}
}
void mul2(){
for(ll i=1;i<=n;i++){
for(ll j=1;j<=n;j++){
c[i][j]=0;
}
}
for(ll i=1;i<=n;i++){
for(ll j=1;j<=n;j++){
for(ll k=1;k<=n;k++){
c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*a[k][j])%mod;
}
}
}
for(ll i=1;i<=n;i++){
for(ll j=1;j<=n;j++){
a[i][j]=c[i][j];
}
}
}
void ksm(ll b){//快速幂模版
while(b){
if(b&1){
mul1();//把这里改成矩阵的乘法
}
mul2();//这里也是，注意这两次相乘的矩阵不一样
b>>=1;
}
}
int main(){
n=rd();
k=rd();
for(ll i=1;i<=n;i++){
for(ll j=1;j<=n;j++){
a[i][j]=rd();
}
ans[i][i]=1;
}
ksm(k);
for(ll i=1;i<=n;i++){
for(ll j=1;j<=n;j++){
write(ans[i][j]);
putchar(' ');
}
putchar('\n');
}
return 0;
}