数学公理体系大全:第五章 序数与基数理论:超限算术与集合的大小在第四章中,我们利用无穷公理与替换公理在ZFC的土壤里埋下了自然数的种子。但集合的宇宙远不止有穷。从空集出发,经由幂集与并集不断攀升,我们不可避免地遭遇无穷集合,并且无穷之间还有大小之别——康托对角线论证已昭示了这一点。为了系统地为良序集“度量长度”和为任意集合“度量大小”,我们需要将自然数的概念向超限世界推开。这正是序数与基数的使命。序数是有穷数的直接延伸,是用“序型”来标定良序集的位置;基数则在等势的等价关系下抽取集合的“纯粹大小”。本章将严格建立序数与基数的理论,包括超限归纳与递归的证明论基础、序数