机器学习笔记之优化算法(七)线搜索方法(步长角度；非精确搜索；Wolfe Condition)

静静的喝酒2023-08-03 20:30

机器学习笔记之优化算法------线搜索方法[步长角度，非精确搜索，Wolfe Condition]

  • 引言
    • 回顾：
      • [Armijo \text{Armijo} Armijo准则及其弊端](#Armijo \text{Armijo} Armijo准则及其弊端)
      • [Glodstein \text{Glodstein} Glodstein准则及其弊端](#Glodstein \text{Glodstein} Glodstein准则及其弊端)
    • [Wolfe Condition \text{Wolfe Condition} Wolfe Condition](#Wolfe Condition \text{Wolfe Condition} Wolfe Condition)
      • [关于仅与参数 C 1 \mathcal C_1 C1相关的武断做法](#关于仅与参数 C 1 \mathcal C_1 C1相关的武断做法)
      • [关于 C 1 \mathcal C_1 C1武断做法不可取的逻辑解释](#关于 C 1 \mathcal C_1 C1武断做法不可取的逻辑解释)
      • [关于 C 1 \mathcal C_1 C1武断做法的改进： Wolfe Condition \text{Wolfe Condition} Wolfe Condition](#关于 C 1 \mathcal C_1 C1武断做法的改进： Wolfe Condition \text{Wolfe Condition} Wolfe Condition)
    • [个人理解： Wolfe \text{Wolfe} Wolfe准则与 Armijo \text{Armijo} Armijo准则](#个人理解： Wolfe \text{Wolfe} Wolfe准则与 Armijo \text{Armijo} Armijo准则)

引言

上一节介绍了 Glodstein \text{Glodstein} Glodstein准则 ( Glodstein Condition ) (\text{Glodstein Condition}) (Glodstein Condition)及其弊端。本节将针对该弊端，介绍 Wolfe \text{Wolfe} Wolfe准则 ( Wolfe Condition ) (\text{Wolfe Condition}) (Wolfe Condition)。

回顾：

Armijo \text{Armijo} Armijo准则及其弊端

在当前迭代步骤中，为了能够得到更精炼 的 ϕ ( α ) \phi(\alpha) ϕ(α)选择范围，Armijo \text{Armijo} Armijo准则 ( Armijo Condition ) (\text{Armijo Condition}) (Armijo Condition)提出一种关于 ϕ ( α ) \phi(\alpha) ϕ(α)的筛选方式 ，使其比 ϕ ( α ) < f ( x k ) \phi(\alpha) < f(x_k) ϕ(α)<f(xk)更加严格：
Armijo Condition : { ϕ ( α ) < L ( α ) = f ( x k ) + C 1 ⋅ [ ∇ f ( x k ) ] T P k ⋅ α C 1 ∈ ( 0 , 1 ) \text{Armijo Condition : } \begin{cases} \phi(\alpha) < \mathcal L(\alpha) = f(x_k) + \mathcal C_1 \cdot [\nabla f(x_k)]^T \mathcal P_k \cdot \alpha \\ \quad \\ \mathcal C_1 \in (0,1) \end{cases} Armijo Condition : ⎩ ⎨ ⎧ϕ(α)<L(α)=f(xk)+C1⋅[∇f(xk)]TPk⋅αC1∈(0,1)

这种操作产生的弊端是： C 1 \mathcal C_1 C1在取值过程中，可能出现数量较少的、并且并非 ϕ ( α ) \phi(\alpha) ϕ(α)主要部分的选择空间。见下图：

这种情况可能导致：
下面的两种情况都指向同一个问题: L ( α ) \mathcal L(\alpha) L(α)所划分的 α \alpha α范围从整个 ϕ ( α ) \phi(\alpha) ϕ(α)角度观察，是片面的、局部的。

  • 可选择的 α \alpha α范围较小；
  • 该小范围内的 α \alpha α结果，其对应的 ϕ ( α ) \phi(\alpha) ϕ(α)并不优质 。
    这里的'优质'是指与整个 ϕ ( α ) \phi(\alpha) ϕ(α)函数结果相比都属于一个较小的结果。最优质的自然是 α ∗ = arg ⁡ min ⁡ α > 0 ϕ ( α ) \alpha^* = \mathop{\arg\min}\limits_{\alpha > 0} \phi(\alpha) α∗=α>0argminϕ(α),但我们在每次迭代过程中并不执著于 α ∗ \alpha^* α∗，仅希望选择出的 α \alpha α结果能够有效地使 { f ( x k ) } k = 0 ∞ \{f(x_{k})\}_{k=0}^{\infty} {f(xk)}k=0∞收敛到最优值 f ∗ f^* f∗。

Glodstein \text{Glodstein} Glodstein准则及其弊端

针对 Armijo \text{Armijo} Armijo准则的问题， Glodstein \text{Glodstein} Glodstein准则在其基础上添加一个下界：
Glodstein Condition : { f ( x k ) + ( 1 − C ) ⋅ [ ∇ f ( x k ) ] T P k ⋅ α ⏟ Lower Bound ≤ ϕ ( α ) ≤ f ( x k ) + C ⋅ [ ∇ f ( x k ) ] T P k ⋅ α C ∈ ( 0 , 1 2 ) \text{Glodstein Condition : } \begin{cases} \begin{aligned} & \underbrace{f(x_k) + (1 - \mathcal C) \cdot [\nabla f(x_k)]^T \mathcal P_k \cdot \alpha}_{\text{Lower Bound}} \leq \phi(\alpha) \leq f(x_k) + \mathcal C \cdot [\nabla f(x_k)]^T \mathcal P_k \cdot \alpha \\ & \mathcal C \in \left(0,\frac{1}{2}\right) \end{aligned} \end{cases} Glodstein Condition : ⎩ ⎨ ⎧Lower Bound f(xk)+(1−C)⋅[∇f(xk)]TPk⋅α≤ϕ(α)≤f(xk)+C⋅[∇f(xk)]TPk⋅αC∈(0,21)

其中分别描述上界、下界 的划分函数：

  • Upper Bound : L U ( α ) = f ( x k ) + C ⋅ [ ∇ f ( x k ) ] T P k ⋅ α \text{Upper Bound : } \begin{aligned}\mathcal L_{\mathcal U}(\alpha) = f(x_k) + \mathcal C \cdot [\nabla f(x_k)]^T \mathcal P_k \cdot \alpha\end{aligned} Upper Bound : LU(α)=f(xk)+C⋅[∇f(xk)]TPk⋅α
  • Lower Bound : L L ( α ) = f ( x k ) + ( 1 − C ) ⋅ [ ∇ f ( x k ) ] T P k ⋅ α \text{Lower Bound : } \mathcal L_{\mathcal L}(\alpha) = f(x_k) + (1 - \mathcal C) \cdot [\nabla f(x_k)]^T \mathcal P_k \cdot \alpha Lower Bound : LL(α)=f(xk)+(1−C)⋅[∇f(xk)]TPk⋅α

关于 f ( x k ) + 1 2 [ ∇ f ( x k ) ] T P k ⋅ α \begin{aligned}f(x_k) + \frac{1}{2} [\nabla f(x_k)]^T \mathcal P_k \cdot \alpha\end{aligned} f(xk)+21[∇f(xk)]TPk⋅α对称。这能保证满足该范围的 α \alpha α结果，其对应的 ϕ ( α ) \phi(\alpha) ϕ(α)总是位于 ϕ ( α ) \phi(\alpha) ϕ(α)的核心部分，而不是 片面的、局部的部分。见下图：
其中两条绿色实线之间区域内的 ϕ ( α ) \phi(\alpha) ϕ(α)结果相比 Armijo \text{Armijo} Armijo准则，其描述的范围更加核心。

但 Goldstein \text{Goldstein} Goldstein准则自身同样存在弊端：当参数 C \mathcal C C靠近 1 2 \begin{aligned}\frac{1}{2}\end{aligned} 21时，对应上下界包含的 ϕ ( α ) \phi(\alpha) ϕ(α)结果极少。从而可能使一些优质 α \alpha α结果丢失。见下图：

Wolfe Condition \text{Wolfe Condition} Wolfe Condition

首先，我们可以发现一个关于 Armijo \text{Armijo} Armijo准则与 Goldstein \text{Goldstein} Goldstein准则的共同问题：被选择的仅仅是满足划分边界 条件的 α \alpha α结果，而被选择的 α \alpha α结果是否存在被选择的意义是未知的。
换句话说，基于这两种准则选择出的 α \alpha α结果仅仅是因为：

  • 该 α \alpha α对应的 ϕ ( α ) \phi(\alpha) ϕ(α)位于决策边界 L ( α ) = f ( x k ) + C 1 ⋅ [ ∇ f ( x k ) ] T P k ⋅ α \mathcal L(\alpha) = f(x_k) + \mathcal C_1 \cdot [\nabla f(x_k)]^T \mathcal P_k \cdot \alpha L(α)=f(xk)+C1⋅[∇f(xk)]TPk⋅α的下方 ( Armijo Condition ) (\text{Armijo Condition}) (Armijo Condition);
  • 该 α \alpha α对应的 ϕ ( α ) \phi(\alpha) ϕ(α)位于上决策边界 L U ( α ) \mathcal L_{\mathcal U}(\alpha) LU(α)与下决策边界 L L ( α ) \mathcal L_{\mathcal L}(\alpha) LL(α)所围成的范围之间 ( Glodstein Condition ) (\text{Glodstein Condition}) (Glodstein Condition)。

这意味着：我们确实得到了若干 α \alpha α结果，但是这些结果是否优质 属于未知状态。

我们尝试从满足 Armijo \text{Armijo} Armijo准则的基础上，通过某种规则 剔除掉部分没有竞争力 的 α \alpha α结果，从而在剩余 结果中找到优质 的 α \alpha α结果。见下图：

初始状态下，我们找到了一个 C 1 ∈ ( 0 , 1 ) \mathcal C_1 \in (0,1) C1∈(0,1)，并描述出了它的划分边界 L ( α ) \mathcal L(\alpha) L(α)；由于 L ( α ) \mathcal L(\alpha) L(α)的斜率 C 1 ⋅ [ ∇ f ( x k ) ] T P k \mathcal C_1 \cdot [\nabla f(x_k)]^T \mathcal P_k C1⋅[∇f(xk)]TPk必然大于 l ( α ) l(\alpha) l(α)的斜率 [ ∇ f ( x k ) ] T P k [\nabla f(x_k)]^T \mathcal P_k [∇f(xk)]TPk，因此从 α = 0 \alpha = 0 α=0出发，找到切线斜率与 L ( α ) \mathcal L(\alpha) L(α)斜率相同的点：
下图中的绿色虚线表示切线斜率与 L ( α ) \mathcal L(\alpha) L(α)斜率相同的 α \alpha α点，短绿线表示寻找过程，点 A \mathcal A A表示满足条件的切点。

通过观察可以发现：点 A \mathcal A A必然不是极值点(虽然看起来有点像~)，因为该点处的斜率 ≠ 0 \neq 0 =0。这里能够确定：从 [ 0 , f ( x k ) ] [0,f(x_k)] [0,f(xk)]到 A \mathcal A A点这一段函数内的所有点 相比于 A \mathcal A A都没有竞争力。而这些点的切线斜率 ϕ ′ ( α ) \phi'(\alpha) ϕ′(α)满足：

∇ f ( x k ) \] T P k ≤ ϕ ′ ( α ) ≤ C 1 ⋅ \[ ∇ f ( x k ) \] T P k \[\\nabla f(x_k)\]\^T \\mathcal P_k \\leq \\phi'(\\alpha) \\leq \\mathcal C_1 \\cdot \[\\nabla f(x_k)\]\^T \\mathcal P_k \[∇f(xk)\]TPk≤ϕ′(α)≤C1⋅\[∇f(xk)\]TPk ### 关于仅与参数 C 1 \\mathcal C_1 C1相关的武断做法 如果将这些没有竞争力的点**去除掉**，保留剩余的点，结合 Armijo \\text{Armijo} Armijo准则，会有如下的**步长 α \\alpha α选择方式**： * `其中` ϕ ′ ( α ) = ∂ f ( x k + α ⋅ P k ) ∂ α = \[ ∇ f ( x k + α ⋅ P k ) \] T P k \\begin{aligned}\\phi'(\\alpha) = \\frac{\\partial f(x_k + \\alpha \\cdot \\mathcal P_k)}{\\partial \\alpha} = \[\\nabla f(x_k + \\alpha \\cdot \\mathcal P_k)\]\^T \\mathcal P_k\\end{aligned} ϕ′(α)=∂α∂f(xk+α⋅Pk)=\[∇f(xk+α⋅Pk)\]TPk`,在后续的计算中均简化写作` ϕ ′ ( α ) \\phi'(\\alpha) ϕ′(α)。 * `关于斜率` ϕ ′ ( α ) ≤ C 1 ⋅ \[ ∇ f ( x k ) \] T P k \\phi'(\\alpha)\\leq \\mathcal C_1 \\cdot \[\\nabla f(x_k)\]\^T \\mathcal P_k ϕ′(α)≤C1⋅\[∇f(xk)\]TPk`点不再理会，而` \[ ∇ f ( x k ) \] T P k \[\\nabla f(x_k)\]\^T \\mathcal P_k \[∇f(xk)\]TPk`是` ϕ ( 0 ) \\phi(0) ϕ(0)`的斜率，作为下界`。 { ϕ ( α ) ≤ f ( x k ) + C 1 ⋅ \[ ∇ f ( x k ) \] T P k ⋅ α ϕ ′ ( α ) ≥ C 1 ⋅ \[ ∇ f ( x k ) \] T P k C 1 ∈ ( 0 , 1 ) \\begin{cases} \\phi(\\alpha) \\leq f(x_k) + \\mathcal C_1 \\cdot \[\\nabla f(x_k)\]\^T \\mathcal P_k \\cdot \\alpha \\\\ \\phi'(\\alpha) \\geq \\mathcal C_1 \\cdot \[\\nabla f(x_{k})\]\^T \\mathcal P_k \\\\ \\mathcal C_1 \\in (0,1) \\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ϕ(α)≤f(xk)+C1⋅\[∇f(xk)\]TPk⋅αϕ′(α)≥C1⋅\[∇f(xk)\]TPkC1∈(0,1) 基于上述逻辑，**被选择的** ϕ ( α ) \\phi(\\alpha) ϕ(α)见下图： `其中` A ′ \\mathcal A' A′`点表示该图像中斜率与` L ( α ) \\mathcal L(\\alpha) L(α)`相同的其他位置的点。` ![被选择的phi(alpha)](https://file.jishuzhan.net/article/1687078453834158082/2b269967f79b4c07a6b8b44421cc963c.png) 上述这种方式可取吗 ? ? ?从逻辑角度上是可行的，但不可取。 ### 关于 C 1 \\mathcal C_1 C1武断做法不可取的逻辑解释 * 由于 C 1 ∈ ( 0 , 1 ) \\mathcal C_1 \\in (0,1) C1∈(0,1)，因而 C 1 ⋅ \[ ∇ f ( x k ) \] T P k \< 0 \\mathcal C_1 \\cdot \[\\nabla f(x_k)\]\^T \\mathcal P_k \< 0 C1⋅\[∇f(xk)\]TPk\<0恒成立。也就是说：无论 C 1 \\mathcal C_1 C1如何趋近于 0 0 0， Armijo \\text{Armijo} Armijo准则划分边界 L ( α ) \\mathcal L(\\alpha) L(α)如何趋近于 ϕ ( α ) = f ( x k ) \\phi(\\alpha) = f(x_k) ϕ(α)=f(xk)，都无法获取使 ϕ ′ ( α ) = 0 \\phi'(\\alpha) = 0 ϕ′(α)=0的极值解。 `很简单，就是因为取不到~` 而与此同时，我们为了追求这个**极值解** ，可能反而会损失一系列 ϕ ( α ) \\phi(\\alpha) ϕ(α)**优质** 的 α \\alpha α点。 `如果仅使用` C 1 \\mathcal C_1 C1`一个参数，那么要去除的点在` Armijo \\text{Armijo} Armijo`准则划分边界` L ( α ) \\mathcal L(\\alpha) L(α)`确定的那一刻就已经被确定了，这势必会`误伤`一些` ϕ ( α ) \\phi(\\alpha) ϕ(α)`优质的` α \\alpha α`结果`。 * 其次，这里的操作是**非精确搜索** ，因而不执著去追求**极值解** (那不就变成精确搜索了吗\~)，并且这仅仅是一次迭代的计算过程，没有必要消耗计算代价去追求**更优质** 的 ϕ ( α ) \\phi(\\alpha) ϕ(α)，这也是我们希望尽量保留 ϕ ( α ) \\phi(\\alpha) ϕ(α)优质解的核心原因： `与上一张图被选择的` ϕ ( α ) \\phi(\\alpha) ϕ(α)`值对比观察，红色椭圆形虚线区域中描述的` ϕ ( α ) \\phi(\\alpha) ϕ(α)`值是比较优质的，但因为` C 1 \\mathcal C_1 C1`的原因导致该部分结果被'一刀切'了。这并不是我们希望看到的结果。` ![一刀切描述](https://file.jishuzhan.net/article/1687078453834158082/7d38fab9f8b94b0f913435adc2f45d7a.png) ### 关于 C 1 \\mathcal C_1 C1武断做法的改进： Wolfe Condition \\text{Wolfe Condition} Wolfe Condition 如何避免上述一刀切的情况出现 ? ? ? Wolfe \\text{Wolfe} Wolfe准则提供了而一种更软性的操作。 设置一个参数 C 2 ∈ ( C 1 , 1 ) \\mathcal C_2 \\in (\\mathcal C_1,1) C2∈(C1,1)，该参数对应的斜率表示为 C 2 ⋅ \[ ∇ f ( x k ) \] T P k \\mathcal C_2 \\cdot \[\\nabla f(x_k)\]\^T \\mathcal P_k C2⋅\[∇f(xk)\]TPk，而该斜率在 ( \[ ∇ f ( x k ) \] T P k , C 1 ⋅ \[ ∇ f ( x k ) \] T P k ) (\[\\nabla f(x_k)\]\^T \\mathcal P_k,\\mathcal C_1 \\cdot \[\\nabla f(x_k)\]\^T \\mathcal P_k ) (\[∇f(xk)\]TPk,C1⋅\[∇f(xk)\]TPk)之间滑动(变换)。此时会出现一种缓和的情况：即便假设 C 1 \\mathcal C_1 C1无限接近于 0 0 0，但由于 C 2 \\mathcal C_2 C2的作用，使 ϕ ( α ) \\phi(\\alpha) ϕ(α)点的选择与 C 1 \\mathcal C_1 C1没有太大关联： * `这里相当于将斜率` C 1 ⋅ \[ ∇ f ( x k ) \] T P k \\mathcal C_1 \\cdot \[\\nabla f(x_k)\]\^T \\mathcal P_k C1⋅\[∇f(xk)\]TPk`视作一个边界。` * `上面的`一刀切情况`相当于` C 1 ⇒ 0 \\mathcal C_1 \\Rightarrow 0 C1⇒0`的同时，` C 2 ⇒ C 1 \\mathcal C_2 \\Rightarrow\\mathcal C_1 C2⇒C1`的情况。` * `由于` C 2 ∈ ( C 1 , 1 ) \\mathcal C_2 \\in (\\mathcal C_1,1) C2∈(C1,1)`因而完全可以`通过调整 C 2 \\mathcal C_2 C2针对那些斜率小于 C 1 ⋅ \[ ∇ f ( x k ) \] T P k \\mathcal C_1 \\cdot \[\\nabla f(x_k)\]\^T \\mathcal P_k C1⋅\[∇f(xk)\]TPk，但 ϕ ( α ) \\phi(\\alpha) ϕ(α)**优质** 的结果进行**酌情选择**。 最终根据 Armijo \\text{Armijo} Armijo准则， Wolfe \\text{Wolfe} Wolfe准则操作如下： { ϕ ( α ) ≤ f ( x k ) + C 1 \[ ∇ f ( x k ) \] T P k ⋅ α ϕ ′ ( α ) ≥ C 2 ⋅ \[ ∇ f ( x k ) \] T P k C 1 ∈ ( 0 , 1 ) C 2 ∈ ( C 1 , 1 ) \\begin{cases} \\phi(\\alpha) \\leq f(x_k) + \\mathcal C_1 \[\\nabla f(x_k)\]\^T \\mathcal P_k \\cdot \\alpha \\\\ \\phi'(\\alpha) \\geq \\mathcal C_2 \\cdot \[\\nabla f(x_k)\]\^T \\mathcal P_k \\\\ \\mathcal C_1 \\in (0,1) \\\\ \\mathcal C_2 \\in (\\mathcal C_1,1) \\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ϕ(α)≤f(xk)+C1\[∇f(xk)\]TPk⋅αϕ′(α)≥C2⋅\[∇f(xk)\]TPkC1∈(0,1)C2∈(C1,1) ## 个人理解： Wolfe \\text{Wolfe} Wolfe准则与 Armijo \\text{Armijo} Armijo准则 在开头部分提到关于 Armijio \\text{Armijio} Armijio准则的弊端，在介绍完 Wolfe \\text{Wolfe} Wolfe准则之后，有种 Armijo \\text{Armijo} Armijo准则的弊端卷土重来的感觉。个人认为： Wolfe \\text{Wolfe} Wolfe准则提出的这种基于 C 2 ∈ ( C 1 , 1 ) \\mathcal C_2 \\in (\\mathcal C_1,1) C2∈(C1,1)的**软性下界** 同样也在影响 C 1 \\mathcal C_1 C1的选择： * 如果是单纯的 Armijo \\text{Armijo} Armijo准则，我们可能更偏好 C 1 \\mathcal C_1 C1远离 0 0 0一些。因为 C 1 ⇒ 0 \\mathcal C_1 \\Rightarrow 0 C1⇒0意味着这种状态越趋近[优化算法(四)](https://blog.csdn.net/qq_34758157/article/details/132005509)中描述的必要不充分条件；这种 C 1 \\mathcal C_1 C1的选择方式也势必会增加 Armijo \\text{Armijo} Armijo准则弊端的风险； * 而 Wolfe \\text{Wolfe} Wolfe准则中，即便 C 1 \\mathcal C_1 C1偏向 0 0 0方向，我们依然可以通过调整 C 2 \\mathcal C_2 C2对相对不优质的 ϕ ( α ) \\phi(\\alpha) ϕ(α)点进行过滤。从剩余的**优质**点中选择并进行迭代。 相关参考： [【优化算法】线搜索方法-步长-Wolfe Condition](https://www.bilibili.com/video/BV1Nz4y1J7Wt/?spm_id_from=333.999.0.0&vd_source=ee3db26455f240fbeec8f8602f920420)

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