路径追踪中的纹理过滤

问题引出

最近在做基于WebGL的路径追踪时，遇到了一个法线（凹凸）贴图的问题，如下图，凹凸效果走样特别严重。通过问题分析，目前渲染器还缺少对不同纹理过滤类型的实现，今天刚好完成了相关内容，趁热将其记录下来。

小球凹凸效果的问题

小球细节

其他渲染器的效果

原因分析

本文示例里小球的凹凸贴图如下图。通过凹凸贴图计算法线的过程如下：

1. 通过对贴图采样得到点 $P\; P$P的高度 $h\; p\; h\_p$hp;

2. 分别右移和上移一个微小的距离得到 $h\; p\; +\; \Delta \; x\; h\_\{p+\backslash Delta\{x\}\}$hp+Δx、 $h\; p\; +\; \Delta \; y\; h\_\{p+\backslash Delta\{y\}\}$hp+Δy;

3. 最终的法线可以表示为：

   $N\; \prime \; =\; N\; +\; \alpha \; (\; h\; p\; +\; \Delta \; x\; -\; h\; p\; )\; T\; +\; \alpha \; (\; h\; p\; +\; \Delta \; y\; -\; h\; p\; )\; (\; N\; \times \; T\; )\; \backslash mathbf\{N\}^\{\text{'}\}\; =\; \backslash mathbf\{N\}\; +\; \backslash alpha(h\_\{p+\backslash Delta\{x\}\}-h\_p)\backslash mathbf\{T\}\; +\; \backslash alpha(h\_\{p+\backslash Delta\{y\}\}-h\_p)(\backslash mathbf\{N\}\backslash times\backslash mathbf\{T\})$N′=N+α(hp+Δx−hp)T+α(hp+Δy−hp)(N×T)

   别忘了归一化： $N\; \prime \; \prime \; =\; N\; \prime \; \parallel \; N\; \prime \; \parallel \; \backslash mathbf\{N\}^\{\text{'}\text{'}\}\; =\; \backslash tfrac\{\backslash mathbf\{N\}^\{\text{'}\}\}\{\backslash begin\{Vmatrix\}\; \backslash mathbf\{N\}^\{\text{'}\}\backslash end\{Vmatrix\}\}$N′′=∥ ∥N′∥ ∥N′

   上式中 $\alpha \; \backslash alpha$α为凹凸强度， $T\; \backslash mathbf\{T\}$T为切向向量。

以上过程，最重要的便是 $\Delta \; x\; \backslash Delta\{x\}$Δx和 $\Delta \; y\; \backslash Delta\{y\}$Δy的选取。已知的是在屏幕空间水平和竖直方向的偏移分别为 $1\; /\; r\; e\; s\; o\; l\; u\; t\; i\; o\; n\; x\; 1/resolution\_x$1/resolutionx和 $1\; /\; r\; e\; s\; o\; l\; u\; t\; i\; o\; n\; y\; 1/resolution\_y$1/resolutiony， $r\; e\; s\; o\; l\; u\; t\; i\; o\; n\; resolution$resolution为渲染屏幕的分辨率，我们需要通过屏幕空间中的偏移去求每个物体在其所在的UV空间的偏移 $\Delta \; x\; \backslash Delta\{x\}$Δx和 $\Delta \; y\; \backslash Delta\{y\}$Δy，最后采样求得最终的法线。显然 $\Delta \; x\; \backslash Delta\{x\}$Δx和 $\Delta \; y\; \backslash Delta\{y\}$Δy还与视角有关，即当物体离摄像机较近时，偏移很小，而距离增加时，偏移增大。

小球凹凸贴图（ $1500\; \ast \; 1500\; 1500*1500$1500∗1500）

对于上述的根据视角自适应采样的方法如何实现？这篇文章详细的介绍了纹理采样，其中的基于MipMap的三线性过滤可以满足我们的要求。在我们使用光栅化渲染，当设置纹理的TEXTURE_MIN_FILTER或TEXTURE_MAG_FILTER为LINEAR_MIPMAP_LINEAR时，OpenGL/WebGL会自动的根据当前像素在UV上的变化率选取合适的MipMap，这是已经集成在硬件上的功能。

解决方案一

基于上述的分析，我们知道光栅化的时候，可以直接利用纹理过滤选项，让硬件帮我们完成最佳的采样。对于凹凸贴图，我们可以直接使用内置的微分函数 $d\; F\; d\; x\; dFdx$dFdx、 $d\; F\; d\; y\; dFdy$dFdy：

float hp = texture2D(bump, uv).r;
float hpdx = texture2D(bump, uv + dFdx(uv)).r;
float hpdy = texture2D(bump, uv + dFdy(uv)),r;

我们怎么将上面的光栅化应用到光线追踪呢？我们可以把法线的结果通过光栅化预计算到FrameBuffer，将计算结果传入光追的Shader，通过坐标变换求得屏幕坐标，采样即可得到法线结果，下图分别为光栅化得到的法线以及最终渲染结果：

但，这种方案有哪些问题呢？

从这种方案的原理出发，很显然，可以预见它有如下的一些问题：

1. 仅对摄像机视角内的像素点有效，且无法得到被遮挡的物体的法线结果；
2. 折射/反射后失真；
3. 视角转动需重新渲染法线结果的FrameBuffer；
4. 光线追踪每个像素都会使用低差异序列的抗锯齿采样，而光栅化并无此特性，造成两者实际的渲染点不一致，容易引起物体边缘的不连续。

基于上述问题，引出本文的重点：光线微分法。

光线微分法

感兴趣的朋友可以搜索原论文：《Tracing ray differentials.》Igehy, H.本文结合这篇文章以及实际工程中的一些问题来介绍这个算法。 对于任一射线 $R\; \to \; \backslash overrightarrow\; \{R\}$R 可以表示为：

$R\; \to \; =\; ⟨\; P\; ,\; D\; ⟩\; \backslash overrightarrow\; \{R\}\; =\; \backslash lang\; \backslash mathbf\{P\},\; \backslash mathbf\{D\}\backslash rang$R =⟨P,D⟩

$P\; \backslash mathbf\{P\}$P为射线的起点， $D\; \backslash mathbf\{D\}$D为射线的方向向量。Ray Tracing的第一次求交时起点为相机的位置，求方向时将屏幕坐标考虑进来，令：

$d\; (\; x\; ,\; y\; )\; =\; V\; i\; e\; w\; +\; x\; R\; i\; g\; h\; t\; +\; y\; U\; p\; \backslash mathbf\{d\}(x,y)\; =\; \backslash mathbf\{View\}\; +\; x\backslash mathbf\{Right\}\; +\; y\backslash mathbf\{Up\}$d(x,y)=View+xRight+yUp

$V\; i\; e\; w\; \backslash mathbf\{View\}$View为相机的朝向， $R\; i\; g\; h\; t\; \backslash mathbf\{Right\}$Right为相机的 $x\; x$x轴方向向量， $U\; p\; \backslash mathbf\{Up\}$Up为相机的 $y\; y$y轴方向向量，因此：

$D\; =\; d\; \parallel \; d\; \parallel \; =\; d\; (\; d\; \cdot \; d\; )\; 1\; /\; 2\; \backslash mathbf\{D\}\; =\; \backslash tfrac\{\backslash mathbf\{d\}\}\{\backslash begin\{Vmatrix\}\; \backslash mathbf\{d\}\backslash end\{Vmatrix\}\}\; =\; \backslash tfrac\{\backslash mathbf\{d\}\}\{(\backslash mathbf\{d\}\backslash cdot\backslash mathbf\{d\})^\{1/2\}\}$D=∥d∥d=(d⋅d)1/2d

初始化时：

$\partial \; P\; \partial \; x\; =\; 0\; \backslash tfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{P\}\}\{\backslash partial\{x\}\}=0$∂x∂P=0

$\partial \; D\; \partial \; x\; =\; \partial \; (\; d\; (\; d\; \cdot \; d\; )\; 1\; /\; 2\; )\; \partial \; x\; =\; (\; d\; \cdot \; d\; )\; R\; i\; g\; h\; t\; -\; (\; d\; \cdot \; R\; i\; g\; h\; t\; )\; d\; (\; d\; \cdot \; d\; )\; 3\; /\; 2\; \backslash tfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{D\}\}\{\backslash partial\{x\}\}=\backslash tfrac\{\backslash partial(\{\backslash tfrac\{\backslash mathbf\{d\}\}\{(\backslash mathbf\{d\}\backslash cdot\backslash mathbf\{d\})^\{1/2\}\})\}\}\{\backslash partial\{x\}\}=\; \backslash tfrac\{(\backslash mathbf\{d\}\backslash cdot\backslash mathbf\{d\})\backslash mathbf\{Right\}-(\backslash mathbf\{d\}\backslash cdot\backslash mathbf\{Right\})\backslash mathbf\{d\}\}\{(\backslash mathbf\{d\}\backslash cdot\backslash mathbf\{d\})^\{3/2\}\}$∂x∂D=∂x∂((d⋅d)1/2d)=(d⋅d)3/2(d⋅d)Right−(d⋅Right)d

$\partial \; D\; \partial \; y\; \backslash tfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{D\}\}\{\backslash partial\{y\}\}$∂y∂D的求解方法与 $\partial \; D\; \partial \; x\; \backslash tfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{D\}\}\{\backslash partial\{x\}\}$∂x∂D类似，本文不再列出。

当光线沿着方向 $D\; \backslash mathbf\{D\}$D传播时，直到与某点相交时，得到交点 $P\; \prime \; \backslash mathbf\{P\}^\{\text{'}\}$P′: $P\; \prime \; =\; P\; +\; t\; D\; \backslash mathbf\{P\}^\{\text{'}\}=\backslash mathbf\{P\}\; +\; t\backslash mathbf\{D\}$P′=P+tD，求微分，得：

$\partial \; P\; \prime \; \partial \; x\; =\; \partial \; P\; \partial \; x\; +\; t\; \partial \; D\; \partial \; x\; +\; \partial \; t\; \partial \; x\; D\; \backslash tfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{P\}^\{\text{'}\}\}\{\backslash partial\{x\}\}=\backslash tfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{P\}\}\{\backslash partial\{x\}\}+t\backslash tfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{D\}\}\{\backslash partial\{x\}\}+\backslash tfrac\{\backslash partial\{t\}\}\{\backslash partial\{x\}\}\backslash mathbf\{D\}$∂x∂P′=∂x∂P+t∂x∂D+∂x∂tD

上式中的 $\partial \; D\; \partial \; x\; \backslash tfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{D\}\}\{\backslash partial\{x\}\}$∂x∂D和前一步的 $\partial \; D\; \partial \; x\; \backslash tfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{D\}\}\{\backslash partial\{x\}\}$∂x∂D一致，因为射线直线传播时方向不变，那么如何求 $\partial \; t\; \partial \; x\; \backslash tfrac\{\backslash partial\{t\}\}\{\backslash partial\{x\}\}$∂x∂t?

如上图，射线从点 $P\; P$P出发，沿方向 $D\; \backslash mathbf\{D\}$D传播，与 $△\; A\; B\; C\; \backslash triangle\{ABC\}$△ABC相交于点 $P\; \prime \; P\{\text{'}\}$P′。设 $△\; A\; B\; C\; \backslash triangle\{ABC\}$△ABC的平面方程为 $A\; x\; +\; B\; y\; +\; C\; z\; =\; d\; Ax+By+Cz=d$Ax+By+Cz=d，则其法线 $N\; =$ A , B , C \mathbf{N}=A,B,C N=A,B,C，法线方向由三角形确定，与 $x\; x$x、 $y\; y$y不相关。由几何关系得到：

$(\; P\; -\; P\; \prime \; )\; \cdot \; N\; =\; -\; t\; N\; \cdot \; D\; \backslash mathbf\{(P-P\text{'})\backslash cdot\backslash mathbf\{N\}\}\; =\; -t\backslash mathbf\{N\}\backslash cdot\backslash mathbf\{D\}$(P−P′)⋅N=−tN⋅D

$\Rightarrow \; t\; =\; -\; P\; \cdot \; N\; N\; \cdot \; D\; +\; d\; N\; \cdot \; D\; \backslash Rightarrow\; t\; =\; -\backslash tfrac\{\backslash mathbf\{P\backslash cdot\backslash mathbf\{N\}\}\}\{\backslash mathbf\{N\}\backslash cdot\backslash mathbf\{D\}\}+\backslash tfrac\{d\}\{\backslash mathbf\{N\}\backslash cdot\backslash mathbf\{D\}\}$⇒t=−N⋅DP⋅N+N⋅Dd

对 $t\; t$t求微分，可得：

$\partial \; t\; \partial \; x\; =\; -\; (\; \partial \; P\; \partial \; x\; +\; \partial \; D\; \partial \; x\; )\; \cdot \; N\; N\; \cdot \; D\; -\; d\; \cdot \; (\; N\; \cdot \; \partial \; D\; \partial \; x\; )\; (\; N\; \cdot \; D\; )\; 2\; \backslash tfrac\{\backslash partial\{t\}\}\{\backslash partial\{x\}\}=-\backslash tfrac\{(\backslash tfrac\{\backslash partial\{\backslash mathbf\{P\}\}\}\{\backslash partial\{x\}\}+\backslash tfrac\{\backslash partial\{\backslash mathbf\{D\}\}\}\{\backslash partial\{x\}\})\backslash cdot\backslash mathbf\{N\}\}\{\backslash mathbf\{N\}\backslash cdot\backslash mathbf\{D\}\}-\backslash tfrac\{d\backslash cdot(\backslash mathbf\{N\}\backslash cdot\backslash tfrac\{\backslash partial\{\backslash mathbf\{D\}\}\}\{\backslash partial\{x\}\})\}\{(\backslash mathbf\{N\backslash cdot\{D\}\})^2\}$∂x∂t=−N⋅D(∂x∂P+∂x∂D)⋅N−(N⋅D)2d⋅(N⋅∂x∂D)

接下来我们来分析 $P\; \prime \; P\{\text{'}\}$P′处的UV坐标。已知 $P\; \prime \; P\{\text{'}\}$P′的UV、法线、顶点坐标均为点 $A\; 、\; B\; 、\; C\; A、B、C$A、B、C三个顶点内差所得，令点 $A\; 、\; B\; 、\; C\; A、B、C$A、B、C处的占比分别为 $\alpha \; 、\; \beta \; 、\; \gamma \; \backslash alpha、\backslash beta、\backslash gamma$α、β、γ，则满足以下条件：

$\alpha \; +\; \beta \; +\; \gamma \; =\; 1\; \backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma=1$α+β+γ=1

$\alpha \; A\; +\; \beta \; B\; +\; \gamma \; C\; =\; P\; \prime \; \backslash alpha\backslash mathbf\{A\}+\backslash beta\backslash mathbf\{B\}+\backslash gamma\backslash mathbf\{C\}=\backslash mathbf\{P\{\}\text{'}\}$αA+βB+γC=P′

$\Rightarrow$ A x A y A z B x B y B z C x C y C z 1 1 1 α β γ = P ′ x P ′ y P ′ z 1 \Rightarrow \left \\begin{array}{ccc} \\mathbf{A}_x \& \\mathbf{A}_y \& \\mathbf{A}_z \\\\ \\mathbf{B}_x \& \\mathbf{B}_y \& \\mathbf{B}_z \\\\ \\mathbf{C}_x \& \\mathbf{C}_y \& \\mathbf{C}_z \\\\ 1 \& 1 \& 1 \\end{array} \\right\left \\begin{array}{ccc} \\alpha \\\\ \\beta \\\\ \\gamma \\end{array} \\right=\left \\begin{array}{ccc} \\mathbf{P{'}}_x \\\\ \\mathbf{P{'}}_y \\\\ \\mathbf{P{'}}_z \\\\ 1 \\end{array} \\right ⇒⎣ ⎡AxBxCx1AyByCy1AzBzCz1⎦ ⎤⎣ ⎡αβγ⎦ ⎤=⎣ ⎡P′xP′yP′z1⎦ ⎤

假定当前的交点是满足上述内差条件的，则可得：

$$ A x A y A z B x B y B z C x C y C z α β γ = P ′ x P ′ y P ′ z \left \\begin{array}{ccc} \\mathbf{A}_x \& \\mathbf{A}_y \& \\mathbf{A}_z \\\\ \\mathbf{B}_x \& \\mathbf{B}_y \& \\mathbf{B}_z \\\\ \\mathbf{C}_x \& \\mathbf{C}_y \& \\mathbf{C}_z \\end{array} \\right\left \\begin{array}{ccc} \\alpha \\\\ \\beta \\\\ \\gamma \\end{array} \\right=\left \\begin{array}{ccc} \\mathbf{P{'}}_x \\\\ \\mathbf{P{'}}_y \\\\ \\mathbf{P{'}}_z \\end{array} \\right ⎣ ⎡AxBxCxAyByCyAzBzCz⎦ ⎤⎣ ⎡αβγ⎦ ⎤=⎣ ⎡P′xP′yP′z⎦ ⎤

且 $\alpha \; +\; \beta \; +\; \gamma \; =\; 1\; \backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma=1$α+β+γ=1。

设 $M\; =$ A x A y A z B x B y B z C x C y C z \mathbf{M}=\left \\begin{array}{ccc} \\mathbf{A}_x \& \\mathbf{A}_y \& \\mathbf{A}_z \\\\ \\mathbf{B}_x \& \\mathbf{B}_y \& \\mathbf{B}_z \\\\ \\mathbf{C}_x \& \\mathbf{C}_y \& \\mathbf{C}_z \\end{array} \\right M=⎣ ⎡AxBxCxAyByCyAzBzCz⎦ ⎤，若 $M\; \backslash mathbf\{M\}$M可逆，可得：

$$ α β γ = M − 1 P ′ x P ′ y P ′ z \left \\begin{array}{ccc} \\alpha \\\\ \\beta \\\\ \\gamma \\end{array} \\right=\mathbf{M}^{-1}\left \\begin{array}{ccc} \\mathbf{P{'}}_x \\\\ \\mathbf{P{'}}_y \\\\ \\mathbf{P{'}}_z \\end{array} \\right ⎣ ⎡αβγ⎦ ⎤=M−1⎣ ⎡P′xP′yP′z⎦ ⎤

由此我们得到了内差系数 $\alpha \; 、\; \beta \; 、\; \gamma \; \backslash alpha、\backslash beta、\backslash gamma$α、β、γ和内差结果的变换关系。然而上述等式成立的条件是变换矩阵可逆，这个条件有的时候可能不满足，比如所有顶点都在 $x\; y\; xy$xy平面上，此时所有点的 $z\; z$z轴分量为0，矩阵不可逆。

为了解决这个问题，笔者构造了一个新的空间，使得该空间的 $x\; x$x轴为三角形其中一边， $z\; z$z轴为与三角形所在平面的法线和新的 $x\; x$x轴都成45度的向量， $y\; y$y轴即为两者的正交向量，令新空间的变换矩阵为 $M\; 1\; \backslash mathbf\{M\_1\}$M1，则变换后的顶点 $A\; \prime \; 、\; B\; \prime \; 、\; C\; \prime \; \backslash mathbf\{A\text{'}\}、\backslash mathbf\{B\text{'}\}、\backslash mathbf\{C\text{'}\}$A′、B′、C′分别为：

$A\; \prime \; =\; M\; 1\; A\; \backslash mathbf\{A\text{'}\}=\backslash mathbf\{M\_1\}\backslash mathbf\{A\}$A′=M1A

$B\; \prime \; =\; M\; 1\; B\; \backslash mathbf\{B\text{'}\}=\backslash mathbf\{M\_1\}\backslash mathbf\{B\}$B′=M1B

$C\; \prime \; =\; M\; 1\; C\; \backslash mathbf\{C\text{'}\}=\backslash mathbf\{M\_1\}\backslash mathbf\{C\}$C′=M1C

且 $A\; \prime \; 、\; B\; \prime \; 、\; C\; \prime \; \backslash mathbf\{A\text{'}\}、\backslash mathbf\{B\text{'}\}、\backslash mathbf\{C\text{'}\}$A′、B′、C′依旧满足：

$$ A ′ x A ′ y A ′ z B ′ x B ′ y B ′ z C ′ x C ′ y C ′ z α β γ = M 1 P ′ x P ′ y P ′ z \left \\begin{array}{ccc} \\mathbf{A'}_x \& \\mathbf{A'}_y \& \\mathbf{A'}_z \\\\ \\mathbf{B'}_x \& \\mathbf{B'}_y \& \\mathbf{B'}_z \\\\ \\mathbf{C'}_x \& \\mathbf{C'}_y \& \\mathbf{C'}_z \\end{array} \\right\left \\begin{array}{ccc} \\alpha \\\\ \\beta \\\\ \\gamma \\end{array} \\right=\mathbf{M_1}\left \\begin{array}{ccc} \\mathbf{P{'}}_x \\\\ \\mathbf{P{'}}_y \\\\ \\mathbf{P{'}}_z \\end{array} \\right ⎣ ⎡A′xB′xC′xA′yB′yC′yA′zB′zC′z⎦ ⎤⎣ ⎡αβγ⎦ ⎤=M1⎣ ⎡P′xP′yP′z⎦ ⎤

令 $M\; 2\; =$ A ′ x A ′ y A ′ z B ′ x B ′ y B ′ z C ′ x C ′ y C ′ z \mathbf{M_2}=\left \\begin{array}{ccc} \\mathbf{A'}_x \& \\mathbf{A'}_y \& \\mathbf{A'}_z \\\\ \\mathbf{B'}_x \& \\mathbf{B'}_y \& \\mathbf{B'}_z \\\\ \\mathbf{C'}_x \& \\mathbf{C'}_y \& \\mathbf{C'}_z \\end{array} \\right M2=⎣ ⎡A′xB′xC′xA′yB′yC′yA′zB′zC′z⎦ ⎤，则：

$$ α β γ = M 2 − 1 M 1 P ′ x P ′ y P ′ z \left \\begin{array}{ccc} \\alpha \\\\ \\beta \\\\ \\gamma \\end{array} \\right=\mathbf{M_2^{-1}}\mathbf{M_1}\left \\begin{array}{ccc} \\mathbf{P{'}}_x \\\\ \\mathbf{P{'}}_y \\\\ \\mathbf{P{'}}_z \\end{array} \\right ⎣ ⎡αβγ⎦ ⎤=M2−1M1⎣ ⎡P′xP′yP′z⎦ ⎤

对于 $P\; \prime \; P\{\text{'}\}$P′的UV坐标 $S\; \prime \; =$ u ′ v ′ 1 \mathbf{S^{'}}=\left \\begin{array}{ccc} u\^{'} \\\\ v\^{'} \\\\ 1 \\end{array} \\right S′=⎣ ⎡u′v′1⎦ ⎤，依然满足内插规则：

$\alpha \; S\; a\; +\; \beta \; S\; b\; +\; \gamma \; S\; c\; =\; S\; \prime \; \backslash alpha\backslash mathbf\{S\_a\}+\backslash beta\backslash mathbf\{S\_b\}+\backslash gamma\backslash mathbf\{S\_c\}=\backslash mathbf\{S\text{'}\}$αSa+βSb+γSc=S′

设 $M\; =\; M\; 2\; -\; 1\; M\; 1\; M=\backslash mathbf\{M\_2^\{-1\}\}\backslash mathbf\{M\_1\}$M=M2−1M1，对 $x\; x$x求微分：

$\partial \; S\; \prime \; \partial \; x\; =\; \partial \; \alpha \; \partial \; x\; S\; a\; +\; \partial \; \beta \; \partial \; x\; S\; b\; +\; \partial \; \gamma \; \partial \; x\; S\; c\; \backslash tfrac\{\backslash partial\{\backslash mathbf\{S\text{'}\}\}\}\{\backslash partial\{x\}\}=\backslash tfrac\{\backslash partial\{\backslash alpha\}\}\{\backslash partial\{x\}\}\backslash mathbf\{S\}\_a+\backslash tfrac\{\backslash partial\{\backslash beta\}\}\{\backslash partial\{x\}\}\backslash mathbf\{S\}\_b+\backslash tfrac\{\backslash partial\{\backslash gamma\}\}\{\backslash partial\{x\}\}\backslash mathbf\{S\}\_c$∂x∂S′=∂x∂αSa+∂x∂βSb+∂x∂γSc

$\partial \; S\; \prime \; \partial \; x\; =\; M$ 0 ∂ P ′ ∂ x S a + M 1 ∂ P ′ ∂ x S b + M 2 ∂ P ′ ∂ x S c \tfrac{\partial{\mathbf{S'}}}{\partial{x}}=\mathbf{M}_{0}\tfrac{\partial{\mathbf{P'}}}{\partial{x}}\mathbf{S}a+\mathbf{M}{1}\tfrac{\partial{\mathbf{P'}}}{\partial{x}}\mathbf{S}b+\mathbf{M}{2}\tfrac{\partial{\mathbf{P'}}}{\partial{x}}\mathbf{S}_c ∂x∂S′=M0∂x∂P′Sa+M1∂x∂P′Sb+M2∂x∂P′Sc

$M$ i \mathbf{M}_{i} Mi为 $M\; \backslash mathbf\{M\}$M的第 $i\; i$i行向量。

下两张图分别为使用光线微分和光栅化计算得到的 $\partial \; S\; \prime \; \partial \; x\; \backslash tfrac\{\backslash partial\{\backslash mathbf\{S\text{'}\}\}\}\{\backslash partial\{x\}\}$∂x∂S′，为了显示更明显，将其值放大了10倍。

现在我们得到了 $\partial \; S\; \prime \; \partial \; x\; \backslash tfrac\{\backslash partial\{\backslash mathbf\{S\text{'}\}\}\}\{\backslash partial\{x\}\}$∂x∂S′，对纹理进行采样时需要利用相关数据计算MipMap的等级。

渲染点 $P\; \prime \; P\{\text{'}\}$P′与其向右和向上一个像素点对应的UV差值为：

$\Delta \; T\; x\; \approx \; \Delta \; x\; \partial \; S\; \prime \; \partial \; x\; \backslash Delta\backslash mathbf\{T\}\_x\backslash approx\backslash Delta\{x\}\backslash tfrac\{\backslash partial\{\backslash mathbf\{S\text{'}\}\}\}\{\backslash partial\{x\}\}$ΔTx≈Δx∂x∂S′

$\Delta \; T\; y\; \approx \; \Delta \; y\; \partial \; S\; \prime \; \partial \; y\; \backslash Delta\backslash mathbf\{T\}\_y\backslash approx\backslash Delta\{y\}\backslash tfrac\{\backslash partial\{\backslash mathbf\{S\text{'}\}\}\}\{\backslash partial\{y\}\}$ΔTy≈Δy∂y∂S′

MipMap的等级 $l\; o\; d\; lod$lod可以表示为：

$l\; o\; d\; =\; 0.5\; l\; o\; g\; 2$ m a x ( Δ x ⋅ Δ x , Δ y ⋅ Δ y ) lod=0.5log_2max(\\Delta{x}\\cdot\\Delta{x},\\Delta{y}\\cdot\\Delta{y}) lod=0.5log2max(Δx⋅Δx,Δy⋅Δy)

计算出了 $l\; o\; d\; lod$lod的值，我们需要对纹理进行三线性插值计算：

插值计算的两级MipMap分别为：

$l\; o\; d\; s\; u\; b\; =\; f\; l\; o\; o\; r\; (\; l\; o\; d\; )\; lod\_\{sub\}\; =\; floor(lod)$lodsub=floor(lod)

$l\; o\; d\; u\; p\; =\; f\; l\; o\; o\; r\; (\; l\; o\; d\; )\; +\; 1\; lod\_\{up\}\; =\; floor(lod)+1$lodup=floor(lod)+1

$F\; u\; p\; =\; l\; o\; d\; -\; l\; o\; d\; s\; u\; b\; F\_\{up\}\; =\; lod\; -\; lod\_\{sub\}$Fup=lod−lodsub

分别采样 $l\; o\; d\; s\; u\; b\; lod\_\{sub\}$lodsub和 $l\; o\; d\; u\; p\; lod\_\{up\}$lodup两个等级的结果，再将两者进行线性插值，其中 $l\; o\; d\; u\; p\; lod\_\{up\}$lodup的占比为 $F\; u\; p\; F\_\{up\}$Fup。

使用光线微分后，渲染的结果如下：

总结

要做出高质量的光线追踪渲染，在做纹理采样时需要应用纹理过滤，光线追踪时由于无法使用诸如 $d\; F\; d\; x\; dFdx$dFdx的函数，需要根据射线的表达式手动计算微分，而本文所用的光线微分便为其中一种方法。需要注意的是，本文仅对光线直线传播时进行了分析，当光线发生折射和反射时，光线的方向发生了变化，还需要将 $\partial \; N\; \partial \; x\; \backslash tfrac\{\backslash partial\{\backslash mathbf\{N\}\}\}\{\backslash partial\{x\}\}$∂x∂N和 $\partial \; N\; \partial \; y\; \backslash tfrac\{\backslash partial\{\backslash mathbf\{N\}\}\}\{\backslash partial\{y\}\}$∂y∂N考虑进来，感兴趣的读者可以阅读上面的Paper，这部分的内容我也将在近期分享。

参考

《Tracing ray differentials.》Igehy, H. (1999). SIGGRAPH '99 Proceedings